1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Для вычисления напряженностей электрического и л~агниююго полей по формулам 1 дА Е = — -- — — ига г( ср, Н = го1 А с дс надо дифференцировать 7 и А по координатам х, у, е точки и моменту 1 наблюдения. Между тем формулы (78,5) выражают потенциалы как функции от !' н лищь через соотношение (78,!) — как неявные функции от х, у, г, 1. Поэтому для вычисления искомых производных надо предварительно вычислить производные от 1'. при скорости э=О давал для р и А значения (78,2). Замечая, что согласно (78,1) р иэ (78,2) мокно написать также и в виде е с (с — с') ' 280 излучение влек!'Ромлгннтных ВОлн !гл. х!ч дифференцируя равенство гх(!')=с(! — !') один раз по Г, а другой раз по г, имеем: — = —,— =с!! — — ), дг де' !)г ! дг (78,8) игас$ Й: — — = — — —, и!ад !'-'- — = — с и!ад !'. дй д7с, дй дг дг' дг производну!о дйг'дг' нзйдсм дифференцированием тождества !хя=йя и подстановкой дй,'др= — ч(!') (знак минус связан с тем, что й есть радиус-вектор от заряда е в точку П, скорость же есть производная по времени от координат заряда); отсюда дй йч дг' й' Производная же д77 й дг гт' Подставив этн значения в равенства (78,6), найдем из них (78,7) дг' 1 й — я!ад 8=в ! —— дг чй' ! йч Ю с (гс — — 1.
с !' С помощью этих формул не представляет труда вычислить поля Е и Н. Опуская промежуточные вьшислепия, приведем получающийся результат: ч2 1 — —, Е=. „' — '.„'й —" й'1-;- ' „„,, ~й ~(й —,'-й) ч11, (78,8) Н=- !йЕ). (78,9) Здесь ч=дч!д!'; Все величины в правых сторонах равенства берутся в молгент г'. Интересно отметить, что магнитное поле оказывается везде перпендикулярным к электрическому. Электрическое поле (78,8) состоит из двух частей различного характера. Первый член зависит только от скорости частицы (но пе от ее ускорения) и на больших расстояниях в та1 поле системы злвядов нч далеких плсстоянцях 251 меняется кзк 1,'Й'. Второй член зависит от ускорения, а цри больших Й меняется как 1 Й.
Мы увидим ниже, что именно этот последний член связзп с излучаемыми частицей электромагнитными волнами. Что касается первого члена, то, будучи независимым от ускорения, он должен соответствовать полю, создаваемому равномерно движущимся зарядом. действительно, можно показать (на чем мы не будем здесь останавливаться), что поле, определяемое этим членом, тождественно с полем (61,5).
ф 79. Поле системы зарядов на далеких расстояниях Й = ', й„— г ', — Й, — пг. Подставим это в формулы запаздываюших потенциалов (77,10 — 11). В знаменателе подынтегральных выражений можно пренебречь гп по сравнению с Йм В аргументе же 1 — ЙГс этого пренебрежения, вообще ~оворя, сделать нельзя; возможность такого пренебрежения определяется здесь не относительной величиной Йч~'с и гп;с, а тем, насколько меняются сами р и 1 за время гп7с.
Учитывая, что при интегрировании Й„ является постоянной и потому может быть вынесено за знак интеграла, находим для потенциалов поля на большом расстоянии ог системы зарядов следующие выражения: 9=-- ~Р 1 ч г а+ с с А= — ~1 НК с ч (79,1) (79,2) Рассмотрим поле, создаваеяюе системой движущихся зарядов на расстояниях, больших по сравнению с ее собственными размерами. Выберем начало коордипзт О где-либо внутри системы зарядов. Радиус-вектор нз О в точку наблюдения поля Р обозначим посредствоь1 йм а единичный вектор в этом направлении — через п. Радиус-вектор элемента заряда Ые= 1итУ пусть будет г, а радиус-вектор от 0е в точку Р обозначим как й; очевидно, что й=й„— г. На больших рзсстояпиях от системы Й„'> г и приближенно имеем: излшгениг элгктпомлгннтных Волн !гл х!и На достаточно больших расстояниях от системы поле в малых участках пространства можно рассматривать как плоскую волну.
Лля этого надо, чтобы расстояния были велики не только по сравнению с раамерами системы, цо и по сравнению с длиной излучаемых системои электрол!апнппых волн. Об этой области поля говорят как о волновой золе излучения. В плсскои волне поля Е и Н связзны друг с другом соотношением (69,4) Е=[Нп). Поскольку Н=го1А, то для полного определении иола в волновои зоне достзточно вычислить только векторный потенциал. В плоской волне имеем Н=)Ап)/с (ср. (69,3)), где точка пад буквой означает дифференцирование по времени. Таким образом, зная А, найдем Н и Е по формулам'): Н= — (Ап), Е= — ЦАп) п). ! 1 (79,3) 6 =с — п.
Пл 4к Интенсивность Л излучения в элементе телесного угла !го определяют как количество энергии, протекаюшеп в единицу времени через элеиепт г(у= Йзг)о шаровои поверхности с центром в начале координат и с радиусом Йм Это количество равно, очевидно, плотности потока энергии Ю, помноженной на г(у; т.
е. )Р 4к (79 4) ') Формула Е = — А)е (ем. (69,3)) здесь неприменима, так кзк потенциалы Ч, А не удовлетворяют тем дополнительным условиям, которые были изложены на них в 9 69. Отметим, что поле на далеких расстояниях оказывается обратно пропорциональным первой степени расстояния Й„от излучаго!цеи системы. Следует также заметить, что время 1 входит в выражения (79,1 — 3) везде в комбинации 1 — Йз)с с расстоянием Йм Излучаемые системой электромзгни.гпыо волны уносят с собой определенную энергию. Поток энергии дзется вектором Поиптипгз, равным в плоскои волне дипольное излкчсниз Поскольку поле И образно пропорпиопальио Йь то мы видим, что количесчво энергии, излучаемой системой в единину времени в элемент телесного угла 0о, одинаково для всех расстояний (при одинаковых для них значениях разности à — )т,,Гг).
Так, разумеется, и должно быть, поскольку излучаемая системой энергия распространяется в окружающем пространстве со скоростью с, нигде пе накопляясь и пе исчезая. ф 80. Дипольное излучение Временем гп,'с в подынтегрзльных выражениях запаздываюшях потеппиалов (79,1 — 2) можно пренебречь, если за это время распределение зарядов мало меняется. Легко найти условия осушес гвления этого требования. Пусть Т означает порядок величины времени, в течение которого распределение зарядов в системе меняется заметным образом. Излучение этой системы будет, очевидно, обладать перводом порядка 7 (т. е. частотой порядка 11'7).
Обозначим далее посредством а порядок величины размеров системы. '1 огда время гп,,'с а, г. Для того чтобы за это время распределение зарядов в системе не успело значительно измениться, необходимо, чтобы аГс м Т. Но гТ есть не что иное, как длина волны ), излучения, Таким образом, условие а ~ сТ можно написать в виде ам~),, т. е.
размеры системы должны быть малы по сравнению с длиной излучземой волны. Это условие можно написать сше и в другом виде, заметив, что Т а1п, так что 1, самец если и есть порядок величины скорости зарядов, Из а м,'*А находим тогдз; пм..с, (80,2) т. е. скорости зарядов должны быть малы по сравнению со скоростью света. Будем предползгать, что это условие выполнено, и займемся изучением излучения на расстояниях от излучающей системы, больших по сравнению с длиной волны (а следовательно, во всяком случзе больших по сравнению с размерами системы).
1(ак было указано в ф 79, на таких расстояниях поле можно рассматривать как плоскую волну, и потому для определения поля достаточно вычислить только векторный потенпиал. 254 излучение электвомлгнг!тных Волн !гл Х1ч Векторный потенциал (79,2) имеет теперь вид А= — - ~ )! г7!', (80,3) где суммирование производи~ся по всем зарядам системы; для краткости мы будем опускать индекс !' — все величины в правых сторонах равенств берутся в момент времени !'.
Но где й — дппольпый момент системы. Такни образом, А = — — д. ! С помощью формул (79,3) находим, 1то магнитное поле Н = —,,— (г(п1, (80,5) а электрическое поле Е = —.—,— Цд п1 и). ! е"77о (80,6) Отмегим, что в рассматриваемом приближении излучение определяется второй производной от дипольного момента системы. Такое излучение называется 51щольныж. Поскольку й = ~5"„ ег, то й = ~ еу. Таким образом, заряды могут излучать только, если они движутся с ускорением. Равномерно двнжующиеся заряды не излучают. Это следует, впрочем, и непосредственно из принципа относительности, так как равномерно движущийся заряд можно рассмзтривать в такой инерциальной системе, где он покоится, а покоящиеся заряды пе излучают.
Подставляя (80,5) в (79,4), получим интенсивность дипольпого излучения: я 1! . а гО= — „(Йп)'17о = — ып' 5 ьго, где время !'=г — Йа!с и уже не зависит от переменных интегрирования. Подставляя ) = рУ, переписываем (80,3) в виде 255 ДНПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ з 80! != — й 2 Зе' (80,8) Если имеется всего один заряд, движущийся во внешнем поле, то й=ег и г) =ету, где ту — ускорение заряда. Таким образом, полное излучение движущегося заряда 2еаэ' Зс' Создзваемое системой излучение может быть подвергнуто спектральному разложению.
Очевидно, что за создание определенных монохроматических компонент излучения ответственны такие же компоненты дипольного ыоментз системы г(((). При этом надо различать случаи разложения в ряд или интеграл Фурье. Если заряды совершают периодическое движение (с часготоп ма), то дипольныи момент (а с ним и поле излучения) должен быть разложен в ряд Фурье. Согласно общей формуле (72,4) интенсивность монохроматическоп компонеьны (с частотой м = лм,) получится из формулы для средней интенсивности излучения путем замены среднего квадрата Й' на удвоенный квадрат модуля соответствующей компоненты Фурье: )„=,—, ! «.)'. (80,10) Компоненту Фурье вектора Й(г) мокно выразить через компоненту Фурье вектора ЕД Для этого заметим, что каждый член разложения Й(Г) должен получаться дифференцированием по времени соотаетствуюгдего члена разложения н((), т.
е. лн где 0 — угол между векторами й и п. Это есть количество энергии, излучаемой системой а единицу времени в элемент телесного угла Ыо; отметим, что угловое распределение излучения дается множителем з!п ' 0. Подставив по=2язш080 и интегрируя по н0 от 0 до я, получим полное излучение нэлгчвннс элсктоомлгннтных волн 1гл хго откуда Поэтому д = — кдд,„ (80,11) (80,13) Отметим, ч1о замкнутая система, состоящая из частиц с одинаковым отношением зарядов к массе, не может излучать 1динольно).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
