1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 33
Текст из файла (страница 33)
2!б млгннтный мОмент ф 66. Магнитный момент Рассмотрим срелнее магнитное поле, создзваемое системой стационарно лввжущихся зарядов на больших расстояниях от этой системы. Введем систему коорлинат с началом тле-нибуль внутри системы ззрядов, аналогично тому, как мы делалп в 6 62. Обозначим опять радиус-векторы отдельных зарялов посредством г„, а ралиус-вектор точки, в которой мы ищем поле, посредством йр. Тогда й, — г, есть радиус-вектор от заряда е„ к точке наблюдения.
Согласно (65,6) имеем для векторного потенциала: (66, !) Как и в ф 62, разложим это выражение по степеням г С точностью до членов перво~о порядка (индекс а для крат косги опускзем): А= )' еч — — ~~еч (г7 — ', В первом члене мо кно написать ~~) еч= — !р ег. Но среднее значение производной от мепюощеися в конечном интервале величины ~'ег равно нулю.
Таким обрззом, для А остается выражение А= — — 1 еч'~гр — )= —.. 7 еч(гй,). Преобразуем его слелующим образом. Замечая, что ч=г, мы можем написать (помпа, что йр есть постоЯннын всктоР)1 =-.Х ' '-Х 1 1 рг жт ! жр е(й г) ч=-,— — у ег(гй )+ —,— 7 е(ч(гйа) — г(чй)). При подстановке этого выражения в А срелнее значение от первого члена (с произволной по времени) снова обратится в нуль, и мы получим: — ! жр А=~ ~, 7 е (ч(гйр) — г(чйр)1. 216 постояннон элнктэомлгнитнои поли Введем вектор 1гл.
хи ш= — у е (гч') 1 ЪЗ 2с Ля (66, 2) навываемыи магнитным лгоментом -системы. Тогда Зная векторный потенциал, легко нанти напряженность магнитного поля. С помощью формулы го1 (аЬ1 = (Ь7) а — (а7) Ь + а 61 ч Ь вЂ” Ь 61 ч а (66,3) находим: — à — йзт —. й, — йз В= го! ~ ш — '1=ш 61ч — ' — (шЧ) — ',, Л", Ро Далее, 6!ч — ', = йо агаб —, + у 61ч йз = 0 й, ! 1 Ра (ш ч) — = — (ш7) йз+ йз ~шч — '= —— — йЗ ! / — 1 1 зп Зй,(вй,) Я Ре ов! ра оз Таким образом, — зя (зля) — й3 ЗЗ! 3 где п — снова единичный вектор в направлении йь Мы видим, что магнитное поле выражается через магнитный момент такой же формулои, какой электрическое поле выражается через дипольныи момент (ср. (62,5)).
Если у всех эарядов системы отношение заряда к массе одинаково, то мы можем написать: из = ~~,1 с (гчз = 2~~~,З лз (гч~. Если скорости всех варядов о «.~ с, то тч есть импульс р эаряда, и мы получаем: (66,5) где М= ) , '[гр1 есть механический момент импульса системы.
Таким образом, в этом случае отношение магнитного момента к механическому постоянно и равно е/2знс, г17 ЛАРМОПОИА ПРЕЦПССИЯ Задача Определить отношение магнитного н механического моментов для системы иа двух зарядов 1скорости о ~с). Р е ш е н н е. Выбирая начало координат л центре инерции обеих частиц, бУдем иметь ю,г, +тиас,=п и Р, = — Р,=Р, тле Р— импульс относительного движения. С помощью атих соотношений найдем: ф 67. Ларморова прецессии Рассмотрим систему зарядов, находящуюся во внешнем постоянном однородном магнитном поле. Средняя (по времени) сила, действующая на систему, Г =,'~ — 'Щ = — „",~' —; ~гН) обращается в нуль как среднее значение производной по времени от всякой величины, меняющейся в конечных пределах.
Среднее же значение момента сил К = ~> — (г (тН1) отлично от нуля. Иго можно вырааить через магнитный момент системы, для чего пишем, раскрывая двойное векторное произведение: К= ~ — (т(гН) — Н(тг)) = ~) — (т(гН) — — Н вЂ” га~. При усреднении второй член обращается в нуль, так что К= ~т — т(гН)=.— ~~~~~е(ч(гН) — г(чН)) (последнее преобразование аналогично произведенному при выводе (66,3)), или окончательно К=[шН1 (67,1) Обратим внимание на аналогию с формулой (64,6) злектрического случая.
Рассмотрим систему одинаковых заряженных частиц, совершающих финитное дни>кение (со скоростями о ~ с) в центрально-симметрическом поле некоторой неподвижной частнцы 2!8 ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ !ГЛ. Х!1 лм — -=К, где К вЂ” момент действующих на систему внешних сил (усредненные по тем же промежуткам времени, что и М).
Согласно (67,1) и (66,5) имеем: К = [аН[ = —,, [МН[. Поэтому ФМ вЂ” = — [ьаМ[, лс где мы обознзчили Н= — 'Н. 2слс (67,3) Уравнение вида (67,2) означает, что вектор М (а с пим и л!агнитныи момент п!) вращается с угловой скоростью — Й вокруг направления поля, сохраняя при этом свою абсолютную величину и угол, образуемый им с этим направлением, Это явление называют ларморовой г!рсцесспей, а углову!о скорость (67,3) — ларжоровой часлгоглоК Мы можел! теперь уточнить, чтб подразумевалось выше под досгаточпои слабостью поля: требуется, чтобы ларморова частота й была мата по сравнению с частотами собственного финитного движения зарядов в системе.
Очевидно, что только в таких условиях может иметь смысл рассматривать изменение со временем момен!а, усредненного указанным выше образом. (скажем, система электронов в а!оке в поле ядра). Предположим, что эта система находится в слабом однородном магнитном поле. В отсутствие внешнего поля полный механический момент системы М оставался бы постоянным.
Наличие слабого магнитного поля приведет к медленному изменению М со временем. Рассмотрим характер этого изменения. Нля того чтобы исключить при этом влияние быстро меняющегося Основного движения зарядов в системе, усредннм М по периодам этого дви.кения.
Согласно известному уравнению механики (сл!. (27,3)) имеем: Г л а э а Х!Н ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В 68. Волновое уравнение Электромагнитное поле в пустоте определяется уравнениями Максвелла, в которых надо положить р=О, 1=0. Выпишем их еще раш 1 дИ го1Е= — —— Дг ' го! Н= — —, 1 дЕ е ггт ' 61эН=О, 61чЕ=О. (66,1) (66,2) Эти уравнения могут иметь отличные от нуля решения, Это значит, что электромагнитное поле может существовать даже при отсутствии каких бы то ни было зарядов, Электромагнитные поля, сушествуюшие в пустоте при отсутствии зарядов, называют электромаашгтньгмгг волнами, Мы займемся теперь исследованием свойств таких полей.
Прежде всего отметим, что эти поля обязательно должны быть переменными. Действительно, в прог явном случае дН/д(=дЕ/д(=0, и уравнения (68,1 — 2) переходят в уравнения постоянного поля (59,1 — 2) и (65,1 — 2), в которых, однако, теперь р=О, )=О. Но решения этих уравнений, определенные формулами (59,9) и (65,5), при р=О, 1=0 обрашаются в нуль, Выведем уравнения, определяющие потенциалы электро магнитных волн. Как мы уже знаем, в силу неоднозначности потенциалов всегда можно наложить на них некоторое дополнительное ВЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ !ГЛ ХН1 условие.
На этом основании выберем потенциалы электромагнитных волн тьк, чтобы скалярный потенциал был равен нулю: у=о. (68,3) 'Тогда 1 дА Е = — — —, г(=го! А. г д1' (68,4) Подставляя оба эти выражения в первое из уравнений (68,2), находим: ! д"А го! го(А= — ЬА+йгад 6!чА= — —,—,. (68,6) Несмотря на то, что мы уже наложили одно дополнительное условие на потенциалы, потенциал А все же еще не вполне однозначен. Именно, к нему можно прибавить градиент любой не зависящей от времени функции (не меняя прн этом 7), В частности, можно выбрать потенцизл электромзгнатной волны тзким образом, чтобы 6!ч А=О.
(68,6) Действителы1о, подставляя Е нз (68,4) в 6!ч Е =О, имеем: и!чу- —— у 6!чА=О, дА д от от (68,7) Это и есть уравнение, определяющее потенциал электромагнитных волн. Оно называется уравнением д'Аламбера или волновым уравнением. Применяя к (68,7) операции го! и о/д(, убедимся в том, что нзпряженности Е и Н удовлетворяют таким жв волновым .уравнениям, т. е. 6!чА есть функция только от координат. Эту функцию 'всегда можно обратить в нуль прибавлением к А градиента От СООтзЕтетВУЮщЕй НЕ ЗаВИСЯ1ЦЕИ От ВРЕМЕНИ фУНКцИИ. Уравнение (68,6) приобретает теперь вид ЬА — — — = О. ! д'А с' дР 22! ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ $69. Плоские волны Рассмотрим частный случай электромагнитных волн, в котором поле зависит только от одной координаты, скажем х (и от времени).
Такие волны называются плоскими В этом случае уравнения поля принимают вид д»У а д'~ —,— с —,=О, ~69,)) дх» где под т подразумевается любая компонента векторов Е или Н. Для решения этого уравнения перепишем его в виде ( — — с — )( — +с — )у — О и введем новые переменные — — а=!+— х х с' с' так что 2= — (Ч+6) х= 2 (»! — ЕЛ ! с Тогда д )!д д) д ггд д$ 2 !да дх!' д» 2 !,дг + дх!' и уравнение для у! — =О. д»У с!сдв Очевидно, что его решение имеет вид У=А 6)+Л! !) где /, и У,— произвольные функции. Таким образом, У=А!'2 — —;)+У,(!-+-,). !69,2) Пусть, например, уз=О, так что у=у,!с — х!с).
Выясним смысл этого решения. В каждой плоскости х= сопя! поле меняется со временем; в ка'кдый данный момент поле различно для разных х. Очевидно, что поле имеет одинаковое значение для координат х и моментов времени 2, удовлетворяющих соотношениям 2 — хгс=сопз$, т. е. х=сопа1+ с1.
99г электпомлп!итные ВОлны 1гл. х1И Это значит, что если в некогорый момент 1 =О В некоторой точке х пространства поле имело определенное значение, то через промежуток времени 1 то же самое значение поле имеет на расстоянии сг вдоль оси х от первоначального места. Мы можем сказать, что все значения электромагнитного поля распространяются в пространстве вдоль оси х со скоростью, рзвнои скорости света с.
Таким образом, Д,(1 — х1с) представляет собой плоскую волну, бегущую в положительном направлении оси х. Очевидно, что уя(1+х,'с) представляет собой волну, бегущую в противоположном, отрицательном, направлении оси х. В предыдущем параграфе было показано, чго потенциалы электромагнитной волны можно выбрать так, чтобы 1э =О, причем 61ч А = О.
Выберем потенциалы рассматриваемой теперь плоской волны именно таким образом. Условие д!нА =О дает в этом случае — -=О, дД„ дх поскольку все величины не ззвпсят от у и г. Согласно (69,1) будем иметь тогда и д'А дН=О, т. е, дА„,,'д1= сопз1. Ио производная дА,'д1 определяет электрическое поле, и мы видны, ~1то отличная от нуля компонента Л означала бы в рассмагриваемом случае наличие постоянного продольного электрп~1еского поля. Поскольку такое поле не имеет отно- шения к элекгромагнигиоп волне, то можно положить 4 =О, Таким образом, векторпын потенциал плоской волны мо- жет быть выбран перпегпикулярны11 к оси х, т.
е. к направ- лению распрос1ранения этой волны. Рассмотрим плоскую волну, бегущую в положительном направлении осн х; в такой волне все величины, в часмщети и А, являются функциями только от 1 — х1'с. Из формул 1 дА Е= — — —, Н=го1А е дт' мь1 находим поэтому: Е= — — А', Н=(У А~ =~ р ~1 — — '~ А'~= — — (пА'), (69,3) где штрих обозначает дифференцирование по 1 — х,'с, а п единичный вектор вдоль направления распространения волны.
Подставляя первое равенство во второе, находим: Н = (пЕ1. (69,4) 223 плоские волны Мы видим, что электрическое и магнитное поля Е н Н плоской волны направлены перпендикулярно к направлению распространения волны. На этом основании электромагнитные волны называют поперечными. Из (69,4) видно также, что электрическое и магнитное поля плоской волны перпендикулярны друг к другу и одинаковы по абсолютной величине. Поток энергии в плоской волне: Таким образом, поток энергии направлен вдоль направления 1 а Е' распространения волны. Поскольку 1Г= — (Еа+ гт'"-) = — „ есть плотность энергии волны, то можно написать В=с йуп, (69,5) в согласии с тем, что поле распространяется со скоростью света. Импульс единицы объема электромагнитного поля есть 3/ст.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
