1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Рассмотрим снова какую-либо точку Р твердого тела н обозначим ее радиус-вектор относительно начала 0' через г'. Тогда г = г' + и и подстановка в (24,2) дает: в = Ч+ [йа]+ [тат']. С другой стороны, по определению Ч' и ьа', должно быть в=Ч'+[Я'г']. Поэтому мы заключаем, что Ч'=У+[ага], Я'=й. (24,3) Второе па этих равенств весьма существенно. Мы видим, что угловая скорость, с которой вращаешься в каждый данный момент времени жестко связанная с телом система коор. линат, оказывается не зависящей от выбора этой системы. Все такие системы вращаются в заданный момент времени вокруг параллельных друг другу осей с одинаковой по абсо-- лютной величине скоростью П.
Это обстоятельство и дает нам право называть ьа угловой скоростью врагцения твердого тслг как такового. Скорость же поступательного движения такого «абсолютного» характера отшодь не имеет. Из первой формулы (24,3) видно, что если У и ьа (в данный момент времени) взаимно перпендикулярны при каком-либо выборе начала координат О, то онн (г, е. Ч' и И') взаимно перпендикулярны и при определении по отношению к любому другому началу О'. Из формулы (24,2) видно, жо в этом ТЕНЗОР ИНЕРЦИЯ случае скорости н всех точек тела лежат в одной и той же плоскости — плоскости, перпендикулярной к ьл, При этом всегда можно выбрать такое начало О"), скорость Ч' которого равна.
нулю, так что движение твердого тела (в данный момент) будет представлено как чистое вращение вокруг оси, проходящей через О'. Эту ось называют лггнавенной осью вращения тела '). В дальнейшем мы будем всегда предполагать, что начало движущейся системы координат выбрано в центре инерции тела, так что и ось вращения тела проходит через этот центр. При движении тела меняются, вообще говоря, как абсолютная величина лл, так и направление оси вращения. ф 25.
Тензор инерции Лля вычисления кинетической энергии твердого тела рзссмагривзем его как дискретную систему материальных точек и пишем: где суммирование производится по всем точкам, составляющим тело. Здесь и ниже мы опускаем индексы, нумерующие эти точки, с целью упрощения записи формул.
Подставив сюда (24,2), получим: т='~ г (Ч -[аг])'=~ч-~'+'~тЧ [аг]+'у -2[аг]'. Скорости Ч и ьл одинаковы для всех точек твердого тела. Поэтому в первом члене Чз/2 выносится за знак суммы,' а сумма ~Ч; т есть масса тела, которую мы будем обозначать посредстноы р. Бо втором члене пишем: '5 ', лчУ]Пг] = '5', и [Ч(2] г=[УЙ] '~ тг. Отсюда видно, что если начало движущейся системы ') Оно может, конечно, оказаться лежащим и вне объема тела.
*) В общем нее сл) чае не взаимно перпендикулярнык направлсл ний У н Г) начало координат можно выбрать тайны образом, чтобы Ч и Г) стали парзллсльнымн, т. е. движение (в данный момент времени) будет совокупностью вращения вокруг некоторой оси и поступательного перемещения вдоль атой же оси. эг ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ЗЕЛЛ 1ГЛ; ЧГ коордннзт выбрано, как условлено, в центре инерции, то этог член обращается в нуль, так как тогда ~ гпг = О.
Наконец, в третьем члене раскрываем квадрат векторного произведения и в результате находим: (25,1) Таким образом, кинетическая энергия твердого тела может быть ° представлена в ниде суммы двух частей, Первый член в (25,1) есть кинетическая энергия поступательного движения — она имеет такой вид, как если бы вся масса тела была сосредоточена в его центре инерции. Второй член есть кинетическая энергия вращательного движения с угловой скоростью ьа вокруг оси, проходящей через центр инерции. Подчеркнем, что возможность такого разделения кинетической энергии па две части обусловлена выбором начала связанной с телом системы координат именно в его центре инерции. Перепишем кинетическую энергшо врзщення в тензорных обозначениях, т. е. через компоненты хь й1 векторов г, ьа '), 1!меем: 1 С~ у, = —,~~тп (2',"х) — 21х;оаха) = 1 — у лг Я2ь51ах) — 2112ахгха) = 'ет о,.с) х гп (х13ы — х1ха).
Здесь использовано тождество 121= 31а()а, где 8ы — единичный тензор (компоненты которого раВНЫ ЕДиНицЕ при 1=5 и нугно нри 1~'= 1)). Введя тензор )ы = ~ щ (х)3,» — х;ха) (25,2) ') Ьуввами 1, я, 1 обозначаются тензорные яндексы, пробегающие значения 1, 2, 3. Прн агом везде применяется известное правило суммирования, согласно которому знаки сумм опускаются, а по всем дважды повторяющимся (так называемым «немймъ) индексам подразумевается суммирование по значениям 1, 2, 3; гак, АГВ1 = =АВ, А) —— АГА1= А.
"и т. я. Обозначение немых индексов можно, очевидно, менять произвольным образом (лишь бы оно вс совпало с обозначением других фигурирующих в данною выражении тепзорных ннасксов). тпнзоп инн пни Функция Лагранжа твердого тела получается из (25,3) вычитанием потепниальной энергии: ,ю~" 1 г»о,о» (у (2б,4) Потенциальная энергия являешься в общем случае фунт»ней шести переменных, определяющих положение твердого тела, например, трех координат Х, У, г. центра ииерпии н трех углов, определяющих ориентанию движущихся осей координат относительно неподвижных. Тензор 1;» называется тензоро,и .иожентоа инерции или просто тснзоро.и инерция тела. Как ясно иа определения (2:>,2), он симметричен, т, е. У»=У»г Выпишем для наглядности его компоненты в яаном виде в следую~пей таблице: /~~ ~л7 (у — г») — ~ тух ' — ~ тгх — ~ тлу ~ т (л» вЂ” '- ая) — ~~~ тгу — ~ тхг — ~' пауз (2б,б) ~" т (х'+у'); Компоненты 7,.„1лп У„иногда называюг моментами иперпии относительно соответствующих осей.
Тензор инерции, очевидно, аддитивен — моменты инернии тела равны суммам моментов инерпии его частей. Если твердое тело ыожно рассматривать как сплокн|ое (с плотностью р), то в определении (25,2) сумма заменяется интегралом по объему тела; !а» = ~ о(х)й㻠— х;х») ЫК (2 з,у) Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор инерции может быть приведен к диагональному виду путем соответствующего выбора направлений осей хн ха, х,.
Эти направления называют главяылаг осялгя пяерц~ги, а соответствующие значения компонент тензора — глааяылщ лтожвягла»га получим окончательное выражение для кинетической энергии твердого тела в виде У- + 1ОО иь' 1 (25,3) движение твввдого талл !гл. ш икерцпн; обозначим их как 1в 1„1м При такол1 выборе осей хь х„хя вращательная квнетическая энергия вырахгается особенно просто: Т. — — 2(1~()~+ 423+ 1я-„). (25,8) Отметим, что каждый из трех главных моментов инерции не может быль больше суммы двух других.
Так, 1, + 1, = '5~ т (х( + х1я + 2х;") ~ ~~ т (х1 + х;-) = 1в (25,9) Тело, у которого все три главных момента инерции рззличны, называют асимметрическим волчком. Если два главных момента инерции равны друг другу, 1г —— 1я ф !„то твердое тело называют спмметрпческпм волчком. В этом случае выбор направления главных осей в плоскости хатха произволен. Если же все три главных момента инерции совпадают, то тело называют шаровым волчком. В этом случае произволен выбор всех трех главных осей инерции: з качестве их можно взять любые три взаимно перпендикулярные оси. Нахождение главных осей инерции очень упрощается, если твердое тело облздает той или иной симметрией; ясно, что положение центра инерции и направления главных осей инерции должны обладать той же симметрией.
Так, если тело обладзет плоскостью симметрии, то центр инерции долгкен лежать в этой плоскости, В ней же ле кат две главные оси инерции, и третья — перпендикулярна к ней. Очевидным случаем такого рода является система частиц,, расположенных в одной плоскости, В этом случае существует простое соотношение между тремя глзвными моментами инерции.
Если плоскость системы выбрана в качестве плоскости х,х„ то поскольку для всех частиц ха = О, имеем: 11=Лгпи, 1я= глх3, 13=..~т(х1+х,'), так по 1ь = 1~ + 1я. (25,10) Если тело обладает осью симметрии какого-либо порядка, то центр инерции лежит на этой оси. С ней же совпадает одна из главных осей инерции, а две другие — перпендикулярны к ней, При этом, если порядок осп симметрии выше второго, то тело является симметрическим волчком, Действи- тензоР инеРции $»ч тельно, каждую глзвиую ось (перпендикулярную к оси симметрии) можно повернуть тогда на угол, отличный от 180о, т. е. пыбор этих осей становится неоднозначным, а это возможно лишь в случае симметрического волчка.
Особым случзем является система частиц, располоткеннык вдоль одной прямой линии. Если выбрать эту прнмую в иачестве оси х„то для всех частиц х,=хт — — О, и пото»:у два глаппых момента инерции совпадают, а третий равен нулю: ут = !е = 2„. тих», !» — О. (25,11) Такую систему называют роиталчоро.к, Характерной особенностью ротатора в отличие от об!цего случая произвольного тела является то, что он имеет всего две (а не три) вращательные степени свободы, соответствующие вращениям вокруг осей х, и х,; говорить же о вращении прямой вокруг самой себя, очепндно, не имеет смысла.
Наконец, сделаем еще одно замечание по поводу вычисления тензора инерции, Хотя мы определили этот тензор по отношению к системе координат с начзлом в центре инерции (только прн таком определении справедлива основная формула (25,3)), но для его вычисления может оказаться удобным вычислить предварительно аналогичный тензор !!»=2; лт(х»о!» — х;'х»), определенный по отношению к другому началу 0'.
Если расстояние 00' дается вектором а, то г=г'+ а, х; = = х! + ай учнтывза также, что У тг = О, по определени)о точки О, найдем: 1;» — — уы + р (атьм — а;а»). (25,12) По этой формуле, зная 1;», легко вычислить искомый тенаор !ы. Задачи ). Определить главные моменты инерции дтя молекул, рассматриваемых как системы частиц, находящихся на неизменных расстояниях друг от друга, в следующих случаях: а) Молекула из трех атомов, расположенных на одной прямой. Ответ: у,=! = — (лйя!»!»»»+ т,я!»!), +тл»тл !»»), у,=О, )А где тя — массы атомов, !» — расстоянле между атомами а и Ь. 96 ДВИДСЕКИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА >ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
