1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Из приведенного выше вывода очевидно, что всегда сохрзняется проекция момента нз такую ось, относительно которой данное поле симметрично, н потому механические свойствз системы не меняются при любом повороте вокруг этой оси; при этом, конечно, момент должен быть определен относительно какой-нибудь точки (начала координат), лежащей на этой же оси. Наиболее важным случаем такого рода является поле с центральной симметрией, т.
е. поле, в котором потенциальная энергия зависит только от расстояния до некоторой определенной точки (центрз) в пространстве. Очевидно, что при движении в таком поле сохраняется проекция момента на любую ось, проходящую через центр. Другими словами, сохраняется весь вектор М момента, но определенного не относительно произвольной точки пространства, а относительно центра поля. Пругой пример: однородное поле вдоль оси з, в котором сохраняется проекция М, момента, причем начало координат иожет быть выбрано произвольным образом.
Отметим, что проекция момента на какую-либо ось (назовем ее з) может быть найдена дифференцированием функции Лагранжа по формуле м,=5',—, дА а где координата ч есть угол поворота вокруг оси ж Это ясно уже из характера изложенного выше вывода закона сохрзнения момента, но в том же можно убедиться и прямыи вычислением. В цилиндрических координатзх г, р, г имеем (подставляя ж = г, соз в„у„= г„з1п ч ): М» =,'5л~ лга (тауа у«ха) = ~„'~ л1«га1« (9 8) а « С другой стороны, функция Лагранжа в этих переменных момвнт импульсА 5 м имеет вид Š— ) ~~)~ нт (уз + гав + 2') — Ц а и ее подстановка в формулу (9,7) приводит к тому же выра- жению (9,8).
Задача Какие компоненты импульса р и момента М сохраняются при движении в слсдуюгцих полях: а) поле бесконечной однородной плоскости, О т в е т: Р,„РЮ Мл (бесконечная плоскость — плоскость ху). б) Позе бесконечного однородного цилиндра. От в е т~ Ми Р, (ось цилиндра — ось л). в) Поле бесконечной однородной призмы. О т в ет: Р, (ребра призмы параллельны оси л). г) Поле двух точек. О т ее т: М, (точки находятся на оси л).
д) Поле бесконечной однородной полуплоскости, О т в е т; Ру (бесконечная полуплоскость — часть плоскости ху, ограниченная осью у). е) Поле однородного конуса. От ве т: М» (ось конуса — ось л). Глава Н! ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИИ В 10. Одномерное движение Одномерным называют дана<ение системы с одной степенью свободы. Наиболее общий внд лагранжевои функцни такой системы, находящейся в постоянных внешних условиях, есть (10,!) где а(у) — некоторая функция обобщенной координаты д.
В частности, если у есть декартова координата (назовем ее х), 1. = — ' — — 11(х). (10,2) Соответствующие этим лагранжевым функциям уравнения движения интегрируются в общем виде, 11ри этом нет даже необходимости выписывать само уравнение движения, а следует всходить сразу из его первого интеграла — уравнения, выражающего закон сохранения энергии. Так, для функции Лагранжа (10,2) имеем: тх' — + 0(х)=Е. 2 Это есть дифференциальное уравнение первого порядка, интегрирующееся путем разделения переменных.
Имеем: откуда % ю1 одномш ноп движения Роль двух произвольных постоянных в решении уравнения движения играют здесь полная энергия Е и постоянная интегрирования сопз1, Поскольку кинетическзя энергия — величина существенно положительная, то при движении полная энергия всегда больше потенциальной, т. е. движение может происходить только в тех областях пространства, где У(х)( Е. Пусть, например, зависимость ()(х) имеет вид, изобрамгепный на рис. 4. Проведя на этом же графике горизонтальную прямую, соответствующую заданному значению полной энергии, мы сразу же выясним возможные области движения.
Так в изображенном на рнс. 4 случае движение может происходить лишь в области АВ или в об- й ласти спрзва от С. Ус Точки, в которых потенциальная энергия равна полной, ()(х) = Е, (10,4) Рвс. 4 определяют границы двимгения. Они явля1отся гноч. ками останознп, поскольку в них скорость обращается в нуль. Если область движения ограничена двумя такими точками, то движение происходит в ограниченной области пространства; оно является, как говорят, фпнитным. Если же область движе. ния не ограничена или ограничена лишь с одной стороны,— движение ннфпннтно, частица уходит на бесконечность.
Одномерное финитное движение является колебательным— частица совершает периодически повторяющееся движение между двумя границами (на рис. 4 в потенциальной нме АВ между точкаь1н х, и ха). При этом, согласно общему свойству обратимости (стр. 19), время двилсения от хг до ха равно времени обратного движения от хт до хь Поэтому период колебаний Т, т.
е. время, аа которое точка пройдет от х1 до хь и обратно. равен удвоенному времени прохождения отрезка х,х, или соглзсно (10,3) тЩ Т(Е) = 'г' 2т ~, (1О,б) )~Š— В(х) ' 38 ннтегпнеовлнне гелвненин движения 1гл. ен причем пределы х1 и х, являются корнями уравнения (10,4) при дзнном значении Е Эта формула определяет период движения в зависимости от полной энергии частицы. В 11. Приведенная масса Полное решение в общем виде допускает чрезвычайно важная задача о движении системы, состоящей всего из двух взаимодействующих частиц (задача двух тлел). В качестве предварительного шага к решению этой задачи покажем, каким образом она может быть существенно упрощена путем разложения движения системы на движение центра инерции и движение точек относительно последнего.
Потенциальная энергии взаимодействия двух частиц зависит лишь от расстояния между ними, т. е. от абсолютной величины разности их радиус-векторов. Поэтому лагранжева функция такой системы Е = — '' + —,' ' — У(! г, — г, () Введем вектор взаимного расстояния обеих точек г=г,— г, н поместим нзчало координат в центре инерции, что дает: т,г, + тат, = О. Из двух последних рзвенств находим: г, = * г, г, = — ' г. (1 1,2) т+т, ' ий+т, Подставляя эти выражения в (11,1), получим; тг" — — У (г), 2 (1 1,3) где введено обозначение т= (л и л1, +т, (11,4) величина т называется приведенной массой.
Функция (11,3) формально совпадает с функцией Лагранжа одной материальной точки с массой т, движущейся во внешнем поле ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНЕРАЛЬНОМ ПОЛЕ Зй а ы! ее(г), симметричном относительно неподвижного начала координат. Таким образом, задача о движении двух взаимодействующих иатернальных точек сводится к решению задачи о движении одной точки в заданном внешнем поле У(г). По решению г=г(е) этой задачи траектории г,=г,(Е) и гя —— =г,(Е) каждой из частиц ле, и ия в отдельности (по отношению к их общему центру инерции) получаются по формулам (11,2).
2 12. Движение в центральном поле Сведя задачу о движении двух тел к задаче о движении одного тела, мы пришли к вопросу об определении движения частицы во внешнем поле, в котором ее потенциальная энергия зависит только от расстояния г до определенной неподвижной точки; такое поле называют ценлеральпыле. Сила дЕЕ(г) д(l г с=в дг дг г' действующая на частицу, по абсолютной величине зависит при этом тоже только от г и направлена в каждой точке вдоль ралиус-вектора Как было уже показано в 9 9, при движении в центральном поле сохраняется момент системы относительно центра поля. Для одной частицы это есть М =1гр).
(12,1) Эта функция не содержит в явном виде коорлинату 12. Всякую обобщенную координату лп не входящую явным Поскольку векторы М и г взаимно перпендикулярны, постоянство М означает, что при движении частицы ее радиус-вектор все время остается в одной плоскости — плоскости, перпендикулярной к М. Таким образом, траектория движения частицы в центральном поле лежит целиком в одной плоскости. Введя в ней полярные координаты г, р, напишем функцию Лзгранжа в виде (ср.
(4,5)) 1. = — 2 (У'+ г'фя) — У(г). 40 интегРиРовлние уРАВнении движения 1гл. и! образом в лагранжеву функцию, называют Нг!нее!чесмой. В силу уравнения Лагранжа имеем для такой координаты: дй дй дс дд! дд~ т. е. соответствующий ей обобщенный импульс р! — — д1/д!)! является интегралом движения. Это обстоятельство приводит к существенному упрощению задачи интегрирования уравнений движения при наличии циклических координат.
В данном случае обобщенный импульс р =тгяф совпадает с моментом М,=М (см. (9,8)), так что мы возвращаемся к известному уже нам закону сохранения момента М = тггф = сопз(. (12,2) Заметим, что для плоского двисг ження одной частицы в централь. ном поле этот закон допускает простую геометрическу!о интерРис. 5. ! претацию, Выражение — г г !1р 2 представляет собой площадь сектора, образованного двумя бесконечно близкими радиус-векторами и элементом дуги траектории (рис.
5). Обозначив ее как йг, напишем момент частицы в виде М= 2т/ (12,3) где производную у" называют секториальной скоростью. Поэтому сохранение момента означает постоянство секторнальной скорости — за равные промежутки времени радиус-вектор движущейся точки описывает равные плошади (так называемый второй закон Кеплера ')). Полное решение задачи о движении частицы в центральном поле проще всего получить, исходя из законов сохранения энергии и момента, не выписывая при этом самих урав- ') Закон сохранения момента дая частицы, движущейся в центральном поле, иногда называют интегралом ллощпдей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
