1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Если две системы отсчетз движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно и если одна из них инерциальнз, то очевидно, что и другая тоже является инерциальной: всякое свободное движение и в этой системе будет происхолить с постоянной скоростью. <" аким образом, имеется сколько угодно инерцизльных систем отсчета, движущихся друг относительно друга с постояннымн скоростями. Оказывается, однако, что различные инерциальные системы отсчета эквивалентны ие только по отношению к свойствам свободного лана<ения. Опыт показывает, что справедлив так называемый нрннцнл о<дно< нл<ельного<ц.
Согласно этому принципу все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Лругих<и слонами. урзвнения, выража<ощие законь< природы, инвариантны по отношению к преобразованию координат и времени от одной инерциальной снстемь< к другой. Это зна'пп, по уравнения законов природы, будучи выражены через координаты н время в различных ннерциальных системах отсчета, имеют один и тот же вил, Наряду с принципом относительности, в самой 'основе представлений клогсочсгкой (илн ньютоновской) механики') лежит предположение об абголюглнослш врсжснн — одинаковости хода времени во всех инерциальных системах отсчета.
Объединенный с этим предположением принцип относительности называют лоинпнпож оглногн<лсльноглл< Галилея. 1йоординаты г н г' одной н той же точки в двух различных инерциальных системах отсчета К и К', из которых вторая движется со скорость<о <! относительно первой, связаны друг с другом соотношением г=г'+ <гг, (З,1) где < — время, одинаковое в обеих системах! (3,2) ') В отличие от релятовистской (иви эйнжтсйновской) механики, о которой будет идти речь а гв.
'<<!!1, !Х, увлвнеьгия дВижения !гл г Продифференцировав обе с~оравы равенства (3,1) по времени, получим обычныи закон сложенпл скоростей ч=ч'+ Ч. (3,3) Формульг (3,1 — 2) называют яреобразоеанле.и Галилеи. Принцип относительности Галилея требует инвариантносчи законов природы по отношению к этому преобразованию.
Все сказанное достаточно ясно свидегельствует об псклгочигельности свойств инерциальных систем отсчета, в силу которых именно эти системы должны, как прзвило, использоваться при пзучешш механических явлений Везде ниже, тле обратное не оговорено особо, будет подразумевзться такой выбор системы отсчета. Полная физическзя эквивалентность всех ннерцнальных снсгем отсчета показывает, в то же время, что не сушествует никакой «абсолютногЬ системы, которую можно было бы предпо честь всем другим системам.
ф 4. Функция Лагранжа свободноуг частицы Переходя к определению вида функции Лагранжз, начнем с нролеишего случая — свободного движения одной частицы (оююснтельно инерциальной системы отс:ета), В силу однородности пространства и времени функция Лаграп.ка свободной частицы не может зависеть явным образом нв от радиус-вектора частицы г, ни от времени 1, т.
е. 1. является функцией только от скорости ч. В силу же изотропиц пространства функция Лагранжа не может зависеть также и от направления вектора ч, так что является функцнеи лишь от его абсолютной вели 1иньг, т. е. от квадра1а ч'= и': Впд втой фугггсцг~и однозначно устанавливается принципом относительности Галилея. В силу итого принципа фубкция А(оя) должна имегь одинаковый внд во всех инерциальных системах отсчета.
С другой стороны, при переходе ог одпв! системы отсчета к другои скорость частицы преобразуется согласно (3,3), так что 1.(о«) переходит в 1.1(ч' + Ч)") Йеобходимо, следовательно, ч.тобы последнее выражегше, если и отличалось от 1. (он), то лишь на по:еую производную от З 41 Функция ЛАГРАюкл своводноп 1|Астицы 1т функции координат и времени; как было указано в копне э 2, такая производная всегда может быть опущена.
Этому требованию удовлетворяет только зависимость вида 1. = ап-'. При преобразовании У = У'-'; — Ч имеем: ь(Ч)=аз'=а(ч'.1-Ч)з=ап'+2ауЧ+ ар|, нли, замечая, чго ч'=г(г' М: Ь (пз) = Е. (в')+ „— (2аг'Ч+ у'Ч). Появляющийся лишний член действительно оказывается полной производной и может быть опущен. Постоянную а принято обозначать как гп,'2, так что окончательно напишем функцию Лагранжа свободно движущейся точки в виде (4,1) 2 Величина Ач называется,кассо|| материальной точки. В силу свойства аддитивности функции Лагранжа, для системы ыевзаимодействующих точек имеем ') Следует подчеркнуть, что лишь при учете этого снойства данное опрелеленне массы приобретает реальный смысл.
Как уже было отмечено в ~ 2, все|да можно умножить функцию Лагранжа на гнобую постоянную; это пе отражается на уравнениях движения. Лля функц|ш (4,2) такое умножение сводится к изменению единицы измерения массы; отношения же масс различных частиц, которые только и имеют реальный фпзнческии смысл, осгшотся при этом преобразовании неизменш||ш, Легко видеть, ч|о масса не может быть отрицательной. В самом деле, согласно принципу наименьшего действия длл ') В качестве индекса, указмвающс~о номер частицы, ны бтлсм по|ьзовагься псрвммн б|квамн латинского алфав|па, а для индексов, нумчв|ющих коорапна|ы, испол~ зуев о|азы |, А, /, ...
~гл г УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ реального движения частицы из точки 1 пространства в точку 2 интеграл г 2 Поэтому для составления функции Лагранжа достаточно найти квадрат длины элемента дуги й1 в соответствующей системе координат. В декартовых координатах, например, й1'=Ыхв+ йув + + йг', поэтому 2( +1 (4,4) В цилиндрических йгч= йгв+ гэйл'+ йг", откуда ~ =';"(1Я+ гт+ 2') (4,5) В сферических й1в=йг'+гЧ8в+г'з(п'8йав и 1- = (Г'+ г'0'+ г' з(п'8 )Я).
В 5. Функция Лагранжа системы частиц (4,6) рассмотрим теперь систему частиц, взаимодействующих друг с другом, но ни с какими посторонними телами; такую систему называют замкнуигой. Оказываетсв, что взаимодействие между частицами может быть описано прибавлением к функции Лагранжа невзаимодеяствующих точек (4,2) определенной (зависящей от характера взаииодействия) функции имеет минимум. Если бы масса была отрицательной, то для траектория, по которым частица сначала быстро удаляется от 1, а затем быстро прибли кается к 2, интеграл деяствия принимал бы сколь угодно большие по абсолютной величине отрицательные значения, т. е. не иог бы иметь минимума.
Полезно заметить, что эй Функция лАГРАнжА Гистсмы члстиц 19 координат'). Обозначив эту функцию через — (»', напишем.' ~~ м„о« 1= ~~ — "— — (.Г(гь г„...) 2 а (г, — радиус-вектор а-й точки). Это есть общий вид функции Лагранжа замкнутой системы. Сумму называют кинетической энергией, а функцию (« — потенпггальной энергией системы; смысл этих названий выяснится в 9 6. Тот факт, что потенциальная энергия зависит только от расположения всех материальных точек в один и тот же момент времени, означает, по изменение положения одной из них мгновенно отражается на всех остальных; можно сказать, что взаимодействия «распространя1отся» мгновенно.
Неизбежность такого характера взаимодействий в классической механике тесно связана с основными предпосылками последней — абсолютностью времени и принципом опюсительности Галилея. Если бы взаимодействие распространялось не мгновенно, т. е. с конечной скоростью, то эта скорость была бы различна в разных (двнжущихся друг относительно друга) системах отсчета, так как абсолютность времени автоматически означает применимость обышюго правила сложения скоростей ко всем явленияль Но тогда законы движения взаимодействующих тел были бы различны в разных (инерциальных) системах отсчета, что противоречило бы принципу относительности. В 9 3 мы говорили только об однородности времени.
Вид функции Лагранжа (5Л) показывает, что в механике время не только однородно, но и изотропно, т. е, его свойства Г(дииаковы по обоим направлениям, В самом деле, замена ( на — г (обраГаенне врелгенп) оставляет функцию Лагранжа, а следовательно, и уравнения движения неизменными. Другими словами, если в системе возможно некоторое движение, то всегда возможно и обрзтное движение, т. е.
такое, при ко ~Г ром система ') Это «тверждение относится лишь к классической механике, хиявнпиия движения 1гл 1 д дт. дЕ дг дт„дг„' (5,2) Подставив сюда (о,1), получим: дта д(' т —,— '= — — — -, дг = дг, (б,3) Уравнения движения в этой форме называются уравнениями Ньютона и представляют собой основу механики системы взаимодействующих частиц. Вектор ди дг стоящий в правой стороне уравнений (5,3), называется ссслог1, действующей на а-ю частицу. Вместе с (У она зависит лишь от координат всех частиц, но не от их скоростей.
Уравнения (5,3) показывают поэтому, что и векторы ускорения частиц являются функциями только от координат. Потенциальнэя энергия есть величина, определяемая лишь с точностью до прибавления к ней произвольной постоянной; тзкое прибавление не изменило бы уравнений движения (частный случай указанной в конце э 2 неоднозначности функции Лагранжа). Наиболее естественный и обычно принятый способ выг>ора этой постоянной заключается в том, чтобы потенциальная энергия стремилась к нулю при увеличении расстояний между частицами. Если для описания двихгения используются не декартовы координаты точек, а произвольные обобщенные координаты дь то для получения лагранжевой функции надо произвести соответствующее преобразование '~~ ду длль х,=у,(дь дь ..., д,), '1 11од производной скалярной величины по вектору подразумевается вектор, компоненты которого равны производным от этой велвчияы по соответствующим компонентов вектора.
проходит те же состояния в обратном порядке. В этом смысле все движения, происходящие по законам классической механики, обратимы. Зная функцию Лагранжа, мы молем составить уравнения движения ') $51 ФУНКЦИЯ ЛЛГРЛНЖЛ СИСТЕМЫ ЧЛСТИЦ 2! Подставляя эти выражения в функцию 1 'к! 7 лга(.га+уа+ а) (7~ а получим искомую функцию Лагранжа, которая будет иметь внд 2 а7а !Л(т) 7'7" 1 'кт (5,5) где аы — функции только от координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
