1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (825021), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Кинетическая энергия в обобщенных координатах по-прежнему является квадратичной функцией скоростей, но может зависеть также и от координат. Ло сих пор мы говорили только о замкнутых системах. Рассмотрим теперь незамкнутую систему А, взаимодействующую с другой. системой В, совершаюгцей заданное движение. В таком случае говорят, что система А движется в заданном внешнем голе (создаваеь:ом системой В). Поскольку уравнения движения голучаются из принципа наименьшего действия путем независимого варьирования каждой из координат (т. с.
как бы считая остальные известными), мы можем для нахождения функции Лагранжа ЕА системы А воспользоваться лагранжевой функцией Е всей системы А+В, заменив в ней координаты 17В заданными функциями времени. Предполагая систему А+В замкнутой, будем иметь: 7. = ТА ('7А 4А) + ТВ (67В Ы вЂ” Ег(~УА ДВ) где первые дзз члена представляют собой кинетические энергии систем А и В, а третий член — их совместную потенциальную энергию. Подставив вместо дв заданные функции времени и опустив член Т(г7В(!), дв(!)), зависящий только от времени (и поэтому являющийся полной производной от некоторой другой функции времени), получии: 7.А = ТА (ч.г '?А) (7(7А ~7В (г)). Таким образом, движение системы во внешнем поле описывается функцией Лагранжа обычного типа с тем лишь отличием, что тегерь потенциальная энергия может зависеть от времени явно.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 1гл. г Так, для движения одной частицы но внешнем поле общий внд функции Лзгранжа Е=-,— — и(г, 1), (5,6) н уравнение движения ди гнч = — ~;-. (5,7) Однородным называют поле, во всех точках которого на частицу действует одна и та же сила Е Потенциальная энергия в таком поле равна, очевидно: (5,8) Задачи Найти функцию Лагранжа следующих систем, нахндягцнхся н однородном ноле тяжести (ускоренйе силы тяжести — е).
1. Двойной плоский маятник (рнс. 1). Решение. В качестве координат берем углы т, н я„кото. рые нити Г, н Г, ойраанот с Вергиаалью. Тогда дхя точки ю, В заключение этого парзграфа сделаем еще следующее замечание по поводу применения уравнений Лагранжа к различным конкретным задачам. Часто приходится иметь дело с такими механическими системами, в которых взаимодействие между телами (материальными точками) имеет, как говорят, характер связей, т.
е. ограничений, налагаемых на взаимное расположение тел. Фактически такие связи осуществляются путем скрепления тел различными стержнями, нитями, шарнирами и т. н. Это обстоятельство вносит в движение новый фактор — движение тел сопровождается трением в местах их соприкосноненнн, в результате чего задача выходит, вообще говоря, за рамки чистой механики (см.
Э 20). Однако во многих случаях трение в системе оказывается настолько слабым, гго его влиянием на двимгенне можно полностью пренебречь. Если к тому же можно пренебречь массами «скрепляющих элементов> системы, то роль последних сведется просто к уменьшению числз степеней св.боды системы з (по сравнению с числом ЗФ).
Лля определения ее движения можно прн этом снова польаоваться функцией Лагранжа вида (5,5) с числом независимых обобщенных ксордннат, отвечающих фактическому числу степеней свободы. 23 ФУНКЦИЯ ЛАГРЛНДСА СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ имеем: 1 Т,= 2 т,()то ()= — т,к(, сов ее Чтобы найти кинетическую энергию второй точки, выражаем ее ! Юд !у Рнс. !. Рис. 2. Ув — — —," (х,' —,У!) = —, ((втчат+ !ввез+2!!асов(а,— кв) йтф ]. Окончатевьио: 2 —.в !1:!+ 2 !рК+ т ! (*тд сш (т — Р.) + + (т, + т,) ф, сов Р, + тва!в совет. 2. Паоский маятник, точка подвеса которого совершает вертииааьные коаебання по закону асозтт (рис. 2!. Р е ш е н и е. Координаты точки т.' х=(яп р, у=!саит+асов!т.
Ф> нкция !! агранжа тН .„ б = —; — ч» + та!1' сов ТГ ссн Р + ти! сов Ф 2 Здесь опушены чзспы, завксяшие только от времени, и исклгочсна полная производная по времени от та!Т сов та!и ТЛ декартовы координаты хм у, (нзчаао координат в точке подвеса, ось У в по веРтикали вниз) чеРез УГлы еи Тв: л; = 1, Яп Р, + 1, Ян Гм У, = 1, сгм Т, + 1, сов Тв. После шаго получим: Глава Н ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 6 6. Энергия При движении механической системы 2а величин дг и Д (1=1,2,..., а), определяющих ее состояние, изменяются со временем.
Существуют, однако, такие функции этих величин, которые сохраня|от при движении постоянные значения, зависящие только от начальных условий. Эти функции называют янтегр амгг данженпн. Число независимых интегралов дзгпкения для замкнутой механической системы с а степенями свободы равно 2а — 1. Это очевидно из следующих простых соображений. Общее решение уравнений движения содержит 2з произвольных постоянных (см.
стр. 13). Поскольку урзвнения движения замкнутой системы не содержат времени явно, то выбор начала отсчета времени совершенно произволен, и одна иэ произвольных постоянных в решении уравнений всегда может быть выбрана в виде аддитнвной постоянной 1, во времени. Исключив 1 + 1, из 2а функций у~= уг (1+ 1. Сь С~ ", Са. ), дг=д; (1-'-(„С,, Св ., С„,), мы выразим 2з — 1 произвольных постоянных Сн С„..., С„г в виде функций от д н ф, которые и будут интегралами движения. Однако далеко не зсе интегралы движения играют одинзково важную роль з механике. Среди них есть несколько, постоянство которых имеет весьма глубокое происхождение, связанное с основными свойствами пространства и времени— нх однородносат(ю и изотропией.
Все эти, кзк говорят, энаигня дг=Хдц, ~~+ХО;,~~ дЕ дй . дй (если бы Ь зааисела язно от времени, к правой стороне равенства добавился бы член дь,Гд() Заменяя произаолные д дб дЦду согласно уразненням Лагранжа на — —, получим: йг ддг ' 1 . д дй дй ч а' дй =.У'" д;+ХОР= ~дй,") ! или Отсюда аидно, что величина Е = ч~Д дд — Е (6,1) остается неизменной при движении замкнутой системы, т. е. является одним из ее иптегралоз движения.
Эта величина называется знергггей системы. Алдитизпость энергии непосрел сохраняющиеся величины имеют иажное обп1ее свойство лллитизности — нх значение для системы, состоящей из нескольких неззаимодейстаующих настен, равно сумме значений для каждой из частей з отлельпости. Именно свойство аддитивности придает и механике соотяетстаующим зеличинам особенно аажную роль. Предположим, например, что лза тела ззаимоленстауют лишь и течение некотогого времени.
Поскольку как до, так и после взаимодействия кагклыи из адлитпвных интегралоа всей системы равен сумме нх зьгаченнй для обоих тел а отдельности, то законы сохранения этих величин сразу дают возможность сделзть ряд заключения о состоянии тел после взаимодействия, если нх состояния ло взаимоленстзия иззестпы. Начнем с закона сохранения, возникающего и связи с однородностью времени. Гь силу этой олноролпости лагранжеза функция замкнутой системы не зазисит яппо от времени.
Поэтому полная производная функции Лагранжа по времени может быть записана слелующим образом; "6 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 1гл. и ственно следует из аддиаивпости функции Лагранжа, через которую она выражается согласно (6,1) линейным образом. Закон сохранения энергии справедлив не только для замкнутых систем, но и для систем, находящихся в постоянном (т. е. не зависящем от времени) внешнем поле; елинственное использованное в приведенном выводе свойство функции Лагранжа в отсутствие явной зависимости от времени — имеется и в этом случае.
Механические системы, энергия которых сохраняется, иногда называют консерватпвнымсь Как мы виделн в й 5, лагранжева функция замкнутой (или находящейся в постоянном иоле) системы имеет вид где Т вЂ” квадратичная функция скоростей, Применяя к ней известную теорему Эйлера об однородных функциях, получим: дй ч дТ Х'саду; ь' ° )'дВ а ( Подставляя это значение в (6,1), найдеж Е = Т(), с)) -',— Е1(<)); (6,2) в декартовых координатах 2 Таким образом, энергия системы может быль представлена в виде суммы двух существенно различных членов: кинетической энергии, зависящей от скоростей, и потенциальной ввергни, зависящей только от координат частиц.
ф 7. Импульс Другой закон сохранения возншсает в связи с однород. ностью пространства. В силу этой однородности механическое свойства замкну. той системы пе меняются прн любом параллельном переносе системы как целого в прострзнстве. В соответствии с этиь рассмотрим бесконечно малый перенос на отрезок е и потре буем, чтобы функция Лагрзнжа осталась неизменной, 27 импьльс Параллельный перенос ознзчает преобрааование, при котором все точки системы смещаются на один и тот же отрезок, т. е. их радиус-векторы гв -ь г, + е. Изменение функции Б в результате бесконечно малого изменения координат при неизменных скоростях чзстиц есть лад ' Хд ада дЕ дгч о дга ' а а где суммировзние производится по всем материальным точкам системы, Ввиду произвольности е требование 31.=0 эквивалентно требовзнию 'у' д„' =0.
а (7,1) В силу уравнений Лагранжа (б,2) получаем отсюда: а л Таким образом, мы приходим к выводу, что в залткнутой механической системе векторная величина а (7,2) Р= ~ь тч„. (7,3) Лддитнвность импульса очевидна. Более того, в отличие от энергии импульс системы равен сумме импульсов Ра глава отдельных чзствц вне зависимости от возможности пренебрежения взаимодействием между ними.
Закон сохранения всех трех компонент вектора импульса имеет место лишь в отсутствие внешнего поля. Однзко ') Устаревшее название — количество движения. остается неизменной при движении. Вектор Р называется импульсом ') системы. Дифференцируя функцию Лагранжа (5,1), найдем, что импульс следу1ощцм образом выражается через скорости точек: 28 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 1гл. н отдельные компоненты импульса могут сохраняться и при наличии поля, если потенциальная энергия в нем не зависит от какой-либо из декартовых координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
