1611143554-2751c415c5775cb40b07ebcab0fe74f2 (825015), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Корень этого уравнения а = 1!ч(л — 4+ т л(и+ 8)). Знак минус перед корнем физического смысла не имеет (т не может быть отрицательным), поэтому он опущен. 2!7 Таким образом, при больших скоростях кинетическая энергия частицы определяется релятивистской формулой ,(7,9), отличной от тооз/2. Заметим, что (7.9) нельзя представить и в виде тоз)2, где гл — релятивистская мас- ( ! гл; са. Иа рнс. 7.5 показаны для ' ' Г сравнения графики зависимостей от р релятивистской Тр, и ньютоновской Т„ кинетических энергий.
Их различие особенно сильно проявляется в области скоростей, сравнимых со скоростью Рис 78 света. Пример ! Частица с массой покоя шч движется со скоростью, при которой ее релятивистская кинетическая энергия Т в л раз превышает значение кинетической энергии Т, вычисленное по нерелятивистской формуле.
Найдем Т. Введем для упрощения записей обозначение т= Т)шФ. Тогда заданное условие Т=лт,сЦ2 можно записать так: т = л)в)2 Приведем четыре значения т, вычисленные по последней формуле для следующих значений л: и = Т)Тя: 1 01 1 ! 1 5 2 О и = — Т!тосе: 0,0067 0,065 0,32 0,62 Отсюда видно, что, например, при Т)таст.с0,0067 использование не- релятивистской формулы для кинетической энергии гарантирует точ.
ность ие хуже 17о Пример 2. Какую работу необходимо совершить, чтобы увеличить скорость частицы с массой покоя то от 0,6 до 0,8 су Сравним полученный результат со значением, вычисленным по иерелятивистской формуле. Искомая работа з соответствии с формулой 17.9) равна 1 1 А = Тх — Т! = то сз 0,42 то сз. ~/! 62 )7' 1 Рх ! Соответствующая же работа, по нерелятивистской формуле, А = то 1оз — о!)/2 =- 0,14 то сз. Как видно, различие между обоими результатами весьма значительное.
Закон взаимосвязи массы и энергии. Из формулы (7.7) следует, что приращение кинетической энергии частицы сопровождается пропорциональным приращением ее релятивистской массы. Вместе с тем известно, что прп протекании различных процессов в природе одни виды энергии могут преобразовываться в другие.
11апример, кинетическая энергия сталкивающихся частиц может преобразоваться во внутреннююэиергию образовавшейся частицы, Поэтому естественно ожидать, что масса тела будет возрастать не только при сообщении ему кинетической энергии, но и вообще при любом увеличении общего запаса энергии тела независимо от того, за счет какого конкретного вида энергии это увеличение происходит. Отсюда Эйнштейн пришел к следующему фундаментальному выводу; общая энергия тела !или системы тел), из каких бы видов энергии она ни состояла !кинетической, электрической, химической и т. д.), связана с массой этого тела соотношением (7.10) Эта формула выражает один из наиболее фундаментальных законов природы — закон взаимосвязи (пропорциональности) массы т и полной энергии Е тела.
Во избежание недоразумений обратим внимание на то, 216 что в полную энергию Е не включена потенциальная энергия тела во внешнем поле, если таковое действует на тело. Соотношение (7.10) можно записать и в другой форме, если учесть формулу (7.8). Тогда полная энергия тела Е=гпа сз+Т, где пта — масса покоя тела, Т вЂ” его кинетическая энергия. Отсюда непосредственно следует, что покоящееся тело (7=0) также обладает энергией Ее=та ез. (7.11) Эту энергию называют энергией покоя илн собственной энергией. Мы видим, что масса тела, которая в нерелятивистской механике выступала как мера инертности (во втором законе Ньютона) или как мера гравитационного действия (в законе всемирного тяготения), теперь выступает в новой функции — как мера энергосодержания тела.
Даже покоящееся тело, согласно теории относительности, обладает запасом энергии — энергией покоя. Изменение полной энергии тела (системы) сопровождается эквивалентным изменением его массы Лет =ЛЕ/сз, и наоборот. При обычных макроскопичсских процессах изменение массы тел оказывается чрезвычайно малым, недоступным для измерений. Это можно проиллюстрировать на следующих примерах. Пример 1.
Для выведения спутника массы т=100 кг на орбиту вокруг Земли ему сообщили скорость о=в км/с. Это значит, что его энергия увеличивается на ЛЕ=таз/2 (здесь учтено, что овцс). Соответствующее увеличение массы спутника йт = йЕ/ст = тот/2ст = З,б 1Π— з„кг. Пример 2. При нагревании 1 л воды от 0 до 100 С ей сообщают энергию ЬЕ=тсгйб где ср — — 4,2 Дис/(г.К) — теплоемкость воды, й/ — разность температур. Соответствующее увеличение массы воды йт = йЕ/сз = 0,47 1О-щ кг.
Пример 3. Пружину с коэффициентом жесткости я=10з Н/см сжали на й/=1 см. При этом пружина приобрела энергию ЬЕ= =я(й/)з/2. Эквивалентное приращение массы ее йт = йЕ/ст = О,б 1Π— гз кг. Нетрудно видеть, что во всех трех случаях изменение массы лежит далеко за пределами точности эксперимента. 219 Однако уже в астрономических явлениях, связанных, например, с излучением звезд, изменение массы представляет собой весьма внушительную величину. В этом можно убедиться на примере излучения Солнца.
ПРимер. Из астрономических наблюдений установлено, что количество энергии, которое приносит на Землю солнечное излучение за 1 с на площадку 1 и', перпендикулярную солнечным лучам, составляет около 1,4 1Оз Дж!'(с м'). Это дает возможность вычислить суммарную энергию, излучаемую Солнцем за 1 с: аЕ = 1 4,10з.4пйз 4.10эа Дж(с, где Л вЂ” расстояние от Земли до Солнца. Следовательно, Солнце ежесекундно теряет массу дгл.=.
ЬЕ/сз =-4,4 109 кгус. Совершенно иначе обстоит дело в ядерной физике. Именно здесь впервые оказалось возможным экспериментально проверить и подтвердить закон взаимосвязи массы и энергии. Это обусловлено тем, что ядерные процессы и процессы превращения элементарных частиц сопровождаются весьма большими изменениями энергии, сравнимыми с энергией покоя самих частиц. Но к этому вопросу мы еще вернемся в 5 7.5. й 7.4. Связь между энергией и импульсом частицы Ясно, что как энергия Е, так и импульс р частицы имеют различные значения в разных системах отсчета.
Оказывается, однако, что существует величина — некоторая комбинация Е и р, которая является инвариантной, т. е. имеет одно и то же значение в разных системах отсчета. Эта величина есть Е' — р'с'. Убедимся, что это так. Воспользовавшись формуламн Е=пгсз и р=пто, за- пишем тос 4 Ез рз сз гп нч гпт оз ст 11 †(о/с)з~ ! (о!с)2 или после сокращения Ет — раса=тасе. ~ о (7.12) 220 Величина грандиозная с точки зрения земных масштабов, однако по сравнению с массой Солила эта потеря ничтожно мала: Ат!из= =2 10 "с-'.
Тот факт, что скорость и в правой части сократилась, означает независимость величины Е' — р'св от скорости частицы, а следовательно, и от системы отсчета. Другими словами, величина Е' — р'с' действительно является инвариантом и имеет одно и то же значение гпеяс' во всех инерциальных системах отсчета: ~ Е' — рт с'= (пу.~ (7.13) Этот вывод чрезвычайно важен: он позволяет, как будет видно из дальнейшего, во многих случаях резко упростить анализ и решение различных вопросов. Приведем еще два полезных соотношения, с которыми приходится часто встречаться. Первое: р = гп и = Е тт)ст (7.14) и второе — связь между импульсом и кипетическои энер- гией Т частицы; его легко получить, подставив в (7.12) Е = ш,с'+ Т, тогда ~ рс = )7 T (Т+ 2гпз с'). ~ (7.15) Рассмотрим попутно весьма интересный вопрос о возможности существования частиц с нулевой массой покоя (то = 0) .
Из формул * Заметим, что в вастоящсе нремя импульсы релятивистских частип выражают в единицах энергия/с(с — скорость света). Например, если энергия выражается в МэВ (1 МэВ = 1,5 10-' зрг), то импульс— в МзВ)с. Использование такой едииипы импульса заметно упрощает многие расчеты.
221 Последнее соотношение при Т«!пост переходит в ньютоновское: р=))2тсТ, а при Т»т,с' приобретает вид р=Т!с. Пример. Считая, что энергия покоя электрона равна 0,51 МэВ, вычислим; 1) импульс ' электрона с кинетической энергией, равной его энер. гни покоя; 2) кинетическую энергию электрона с импульсом 0,51 МэВ)с, где с — скорость света. 1. Согласно (7,15), при Т=тес' получим р=УЗтзс=09 МэВ)с, 2 Этот вопрос можво решить также с помощью (7.15). Но можно и проще, воспользовавшись (7 12); Т =-Š— а!осе =- )г Рвет+ глас! — шест = 0,2! МзВ.
2 Е= щ ст с Р= гл о с г' ! — (о/с)з г~! — (оус)з следует, что частица с массой покоя я!с=О может иметь энергию и импульс в том и только в том случае, если она движется со скоростью света с. При этом обе последние формулы принимают вид О,'О. Однако это не означает неопределенности энергии и импульса такой частицы, Дело в том, что обе эти величины, оказывается, не зависят от скорости, причем связь между импульсом Р и энергией Е дается формулой (7.14), где о=с, т. е. Р=Е/с. (7.1б) Таким образом, согласно теории относительности, существование частиц с нулевой массой покоя возможно, причем эти частицы могут двигаться только со скоростью с, Это движение не есть результат предшествующего ускорения, а вообще единственное состояние, в котором такие частицы могут существовать.
Остановка подобной частицы равносильна ее поглощению (нсчезновению). Как сейчас известно, такими частицами являются фотон и, по-видимому, нейтрино. Преобразования импульса и энергии. Пусть частица движется со скоростью о=щ/Ш в К-системе отсчета Из формулы (6.13) следует, что элементарный интервал между двумя событиями, которые про. исходит с частицей, есть бз = ТГса (бс)з — (Ж)з = сб! У! — (о)с)з . Имея в виду это выражение, представим проекции импульса и энер- гии частицы в следующем виде: Р = — =- ' 3 Й(~) ~ ь* бу рн =..тос —; сз бс сбт с лгс сз Р— х, Рв У, Е(сз !.
Делая эту замену в преобразованиях Лоренца (6.8), получим сразу искомые преобразования импульса и энергии: 222 Из инвариантностн тс, с и ивтервала дз сразу следует, что при переходе к другой инерциальной системе отсчета р„ и рз преобразуются подобно бх и бу, т.
е. подобно коордиаатам х и у, а энергия  — по. добно времени 1. Поскольку координаты и время входят в преобразования Лоренца (6.8) линейно, мы выделили в предыдущих выражениях для р и и одинаковую часть (т,с). Тогда мо»сно сделать следующее сопоставление; р, — Е!г/сз, Š— р Р у! — <г»г ' " "' уг — ~~74' (7. 18) 3 = о/с1 3) часто встречающийся множитель 117! — !!з обозначают у— так называемый лоренц-ф а к тор: у =- 1/)'! — 32 (7.19) Эти обозначения резко упрощают как внд самих формул, так и все преобразования и расчеты.
Приведем оснозвыс формулы релятивистской динамики в этих обозначенинх: релятивистский импульс (7.3) лго р Р= - — =УтоР! т~ 1 — 32 (7,20) кинетическая (7.9) и полная (7.10) энергии: 1 7 =то( — 1) =то(у — 1) т' ! — 32 (7.21) (7.22) Е = т = то + Т = 7 то1 связь между энергией и импульсом (7.12) — (7.15): Ех — р2 = т =1пч, 2 — а— (7.23) (7.24) (7.25) Р=ЕВ, р = ~Г Т (Т + 2то); преобразовании импульса и энергии (7.17): р» — 3 Е Р.г= )г! 32 =7(Р» — ре) Ру = Ру Š— рр. аз т(Е 3Р )' (7. 26) 223 где у' — скорость Кпсистемы относительно К-системы. Эти формулы выражают закон преобразования проекций импульса и энергии частицы при переходе от К- и К'-системе. Запись формул в более компантиом виде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
