1611143554-2751c415c5775cb40b07ebcab0fe74f2 (825015), страница 39
Текст из файла (страница 39)
положим, что т~и= =пееи' Отсюда с учетом (7.!) получим тельно частицы 1. Поэтому последнюю формулу можно переписать так: гп = тД~ 1 — (~~с)', (7.2) где т — масса движущейся частицы (напомним, что обе частицы одинаковые). Массу т называют р ел я т ив и стской.
Последняя, как видно из (7.2), больше массы покоя и зависит от скорости частицы (рис. 7.2). ! й~аг ! г ! ! 4 ! ! ! ~ с Рас. 7.2 Рис. 7.3 Таким образом, мы пришли к важному выводу: релятивистская масса частицы зависит от ее скорости. Другими словами, масса одной и той же частицы различна в разных инерциальных системах отсчета.
В отличие от релятивистской массы масса покоя частицы тр †величи инвариантная, т. е. одинаковая во всех системах отсчета. По этой причине можно утверждать, что именно масса покоя является характеристикой частицы, В дальнейшем, однако, мы часто будем использовать релятивистскую массу т, что продиктовано только стремлением упростить ряд выводов, рассуждений и расчетов. Теперь сделаем последний шаг — напишем выражение для импульса релятивистской частицы. С учетом (7.2) этот импульс записывают в виде (7.3) Это и есть так называемый релятивистский ими у л ь с частицы. Опыт подтверждает, что так определенный импульс действительно подчиняется закону сохранения независимо от выбора ннерциальной системы отсчета. Отметим, что при о«с из (7.3) следует ньютоновское определение импульса: р=теу, где то не зависит от око.
рости о. На рис. 7.3 показаны для сравнения графики зависимостей релятивистского р„л и ньютоновского р, импульсов частицы от ее скорости. Как видно, различие между обоими импульсами становится весьма значительным по мере приближения скорости частицы к скорости света. Рассмотрим два примера на применение формул (7,2) и (7.3). Пример 1. В современных гигантских ускорителях протоны ускоряются до скоростей, отличающихся от скорости света на 0,0003те. Найдем, во сколько раз релятивистская масса таких протонов превышает их массу покоя.
Согласно (7.2), ш/шз — — !/ф à — Рт, где О=с/с, Так как Р мало отличается от единицы в данном случае, то подкоренное выражение следует представить в виде 1 — из=(1+ Р)(1 — 9) = 2(! — й). Тогда искомое отношение ш/шо !7 ~2(1 — Р) 4 !Оз. Пример 2. Выясним, при каких значениях скорости частицы ее ньютоновский импульс отличается от релятивистского на 1тю? на 10 То? Из условия Ч=(р — рч)?р=! — ~' ! — (и!с') получим Г 0,14 при ч =0,01, о/с = )г Ч (й — д) = ~ ~ 0,45 при и = О,!О. Таким образом, использование нерелятивнстской формулы для импульса гарантирует точность не хуже 1$! при о/с~О,!4 и не хуже 10% при о(сл:0,45.
$7.2. Основное уравнение релятивистской динамики Согласно принципу относительности Эйнштейна, все законы природы должны быть инвариантны по отношению к инерциальным системам отсчета. Другими словами, математические формулировки законов должны иметь один н тот же вид во всех этих системах отсчета. В частности, это относится и к законам динамики. Однако, как показывает более детальное рассмотрение, уже основное уравнение динамики Ньютона та= и' не удовлетворяет принципу относительности Эйнштейна.
Преобразования Лоренца при переходе к другой инерциальной системе придают ему совершенно иную форму. 213 Чтобы удовлетворить требованиям принципа относительности, основное уравнение динамики должно иметь другой вид и лишь при с~с переходить в ньютоновское уравнение. Этим требованиям, как доказывается в теории относительности, удовлетворяет уравнение др)бу=Г, где à — сила, действующая на частицу.
Данное уравнение по виду полностью совпадает с основным уравнением ньютоновской динамики (3.1). Однако физический смысл здесь уже другой: слева стоит производная по времени от релятивистского импульса, определяемого формулой (7.3). Подставив (7.3) в (7.4), запишем последнее уравнение так: Это и есть о снов йое уравнение релятивистской динамики. Нетрудно видеть, что именно в таком виде уравнение динамики приводит к сохранению импульса для свободной частицы и при малых скоростях (о<<с) принимает форму основного уравнения ньютоновской динамики (!па = Г). Кроме того, именно в таком виде основное уравнение динамики оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца и, следовательно, удовлетворяет принципу относительности Эйнштейна.
Не останавливаясь иа способе доказательства этого, отметим только, что при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой необходимо принять, что сила Г преобразуется по определенным законам. Другими словами, сила Г в теории относительности — величина неинвариантная, в разных системах отсчета ее числовое значение и направление будут различны". Из основного уравнения релятивистской динамики следует неожиданный вывод: вектор ускорения а частицы в общем случае не совпадает по направлению с век"в*.,и теории относительности проекции силы, перпендикулярные направлению вектора относительной скорости систем отсчета, различны в разных системах. Эти проекции нмеют максимальные значения в тон системе отсчетз, где частица в данный момент покоится: Р„=зч„, Р', =Ран' 1 !в (оуе)з.
214 тором силы г. Чтобы зто показать, запип)ем (73) в та- кой форме: д (т тг)/гз1= г, где т — релятивистская масса частицы. Выполнив дифференцирование по времени, получим (бт/Ми+ т (бу/б/)=Р. (7.6) Это выражение графически представлено на рис. 7.4. Таким образом, действительно, вектор ускорения а в общем случае не коллинеарен вектору силы Р. Вектор ускорения а совпадает по направленто с вектором Г только в двух случаях: 1) если Глт (попер е ч н а я с ил а). При этом вектор скорости т по модулю не меняется, т, е.
о=сапз1, и уравнение (7.5) принимает вид ~"' и г/1 тон/)г1 — (о/с)а = Р, Рис. 7.4 откуда ускорение а —.... (Р/т„) 3~"! — (о/с)з; 2) если Г! т (п р о д о л ь н а я с и л г) . В данном случае уравнение (7.5) мо'кно записать в скалярном виде. Выполнив в его левой части дифференцнрование по времени, получим — — '-' ) — =" то то из/сз ~ бо Г) — (./)з + (! — (/)з)" / б/ откуда ускорение (в векторном виде) есть а = (Р/то) (1 — (о/с)з)'гт. Нетрудно заметитгь что при одинаковых в обоих случаях значе. пнях силы Р н скорости о поперечная сила сообгцает частицс большее ускорение, чем продольнан сила. Основное уравнение релятивистской динамики позволяет найти закон действующей на частицу силы Г, если известна зависимость от времени релятивистского импульса р(/), а с другой стороны, найти уравнение движения частицы г(/), если известны действуюгцая сила и начальные условия — скорость чо и положение г, частицы в начальный момент времени.
В качестве примеров на применение уравнения (7.5) могут служить задачи 7.! — 7.3. $2.3. Закон взаимосвязи массы н энергии Кинетическая энергия релятивистской частицы. Оппрсделим эту величину таким же путем, как н в ньютоновской механике, т. е. как величину, приращение которой равно работе действующей на частицу силы. Сначала найдем приращение кинетической энергии ЙТ частицы под действием силы Г на элементарном пути дг= = тб(: бТ=Гчбг'. Согласно основному уравнению релятивистской динамики (7.4), ГЖ=б(тт) =бт ч+тбт, где т — релятивистская масса. Поэтому бТ=т(бт ч+тдт)=о' бт+то<Ь, где учтено, что тбт=обо (см, с, 98), Это выражение можно упростить, используя формулу (7.2) зависимости массы от скорости. Возведем зту формулу в квадрат и приведем ее к виду >и' с'= т' о'+ т' с'.
о Найдем дифференциал этого выражения, имея в виду, что т„и с — постоянные величины: 2тсо бт=2ттл бт+ 2тт ~с1~. Если теперь разделить это равенство на 2т, то его правая часть совпадет с выражением для дТ. Отсюда следует бТ=со бт. (7.7) Таким образом, приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее релятивистской массы. Кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя то. Поэтому, проинтегрировав (7.7), получим Т=(т — т,) с', (7.8) илн (7.9) где р=п/с. Это и есть выражение для релятивистской кинетической энергии частицы.
Как видно, оно сильно отличаетсЯ от ньютоновского топо)2. Убедим- ся, однако, что при малых скоростях (р«1) выражение (7.9) переходит в ньютоновское, Для этого воспользуемся формулой бинома 11ьютона, согласно которой — (1 12) — 1/з — 1 + (чт + (Зч+ — 2 8 При р«1 можно ограничиться первыми двумя членами этого ряда и тогда Т=т, с' Я'2=та о'/2. а~ аг ау аа и,: аг аг аа аг (а 77=!ус где 9=о(с. Имея в виду, что Р связано с Т формулой (79), найдем из нее рв =- ! — ! Л ! + т)з. Исключив Рт из этих двух уравнений, получим 2эз + (4 — л) т — 2 (л — ! ) =. О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
