1611143554-2751c415c5775cb40b07ebcab0fe74f2 (825015), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Отсюда Тз4 Тш = (гл! '+ шз) сз (/пз + л44) сз. Левая часть этого равенства есть приращение суммарной кинетической энергии ядер данной системы — то, что называют э н е р г с т ическим выходом ядерной реакции и обозначают Я, Итак, 47 = Нт4+тз) — (та+ т4)) сз. Эта величина может иметь любой знак — в зависимости от характе. ра той или иной ядерной реакции.
Таким образом, энергетический выход ядерной реакцни определяешься разностью суммарных масс покоя ядер до и после реакции. Все величины, входящие в это соотношение, могут быть экспериментально измерены с достаточно высокой точностью, тем самым можно проверить н сзмо равенство.
Рассмотрим конкретную ядерную реакцию: ть! + 4Н 24Не Измеренные массы покоя этих ядер (в атомных единицах массы а. е. м.) равны соответственно 7,0160, 1,0078 н 4,0024 а. е. м. Отсюда нетрудно подсчитать, что сумма масс покоя ядер в результате ядерной реакции уменыцилась на 0,019 а, е. м.
Учитывая, что 1 а. е. м. соответствует энергии 931,4 МэВ, найдем О=0,019 931,4 МэВ= = 17,7 МэВ. Этот результат с большой точностью совпадает с данными эксперимента. Пример 2. Распад частицы. Пусть покоящаяся частица А, самопроизвольно распадается на частицы Ат и Аз. Согчасно закону сохранения полной энергии, Е! —. Ез+ Ез Так как полная энергии каждой частяпы Е=тзсз4Т, то предыду- щее равенство примет вид 228 тзсг = (та + та) сг+ таз где ты — суммарная кинетическая энергия образовавшихся частиц. Эту энергию называют э н е р г и е й р а с и а д а (с, Таким образом, () = [т,— (тг-1-тз)) сг Поскольку сс — величина существенно положительная, самопроиз.
вольный распад частицы возможен только при условии т1) тг -1- тз т. е. если масса покоя первичной частицы больше суммы масс покоя возникающих частиц В противном случае самопроизвольный распад невозможен. Эксперимент полностью подтверждает этот вывод. Рассмотрим, например, распад и-мезона. Экспериментально установлено, что заряженные и-мезоиы распадаются иа мюои н нейтрино: и-ам+ш Согласно табличным данным, массы покоя этих частиц (в единицах массы покоя электрона) рваны соответственно 273,2, 206,8 и О. Отсюда следует, что масса покоя в результате распада уменьшается иа 66,4 электронной массы. Так как массе покоя электрона соответствует энергия 0,6! МэВ, то энергия давного распада С)=664 0,51 МэВ=34 МэВ, что находится в точном соответствии с результатами эксперимевта.
Тот факт, что в результате столкновения частиц и последующего затем распада составной частицы полная энергия системы (а значит, н ее импульс) не меняется, приводит к другому важному выводу: величина Е' — р'с' для системы будет инварнантной не только по отношению к разным инерциальным системам отсчета, но и для указанных выше стадий процесса столкновения. Пусть, например, две релятивистские частицы испыталн столкновение, в результате которого образовалась новая частица с массой покоя Мо. Если в К-системе отсчста полные энергии частиц до столкновения равны Е, и Еш а их импульсы — соответственно рг и рг, то мы сразу можем записать, что при переходе от К-системы (до столкновения) к Ц-системе (п о с л е столкновения) будет выполняться следующее равенство: (Е +Е )г — (р, + р )г сг= Мсо с', (7.35) К.аисте и а Ц-сиссема где учтено, что в Ц-системе образовавшаяся частица покоится.
Инварнантность величины Е' — р'с' дает нам незаменимый инструмент при изучении различных процессов распада и столкновения релятивистских частиц, с помощью которого чрезвычайно упрощается как анализ самих процессов, так и соответствующие расчеты. 229 Пример. В К-системе отсчета частица с массой покоя то и кинетической энергией Т налетает на другую, покоящуюся, частицу с той же массой покоя. Найдем массу покоя М, и скорость К составной частицы, образовавшейся в результате столкновения. Воспользовавшись инвариантностью величины Е"" — р'с', запишем Ег — рг сг =- Л4о~со где левая часть равенства относится к К.системе отсчета (до столкновения), а правая — к Ц-системе (послс столкновения), В данном случае Е=Т-1-2т,с'. Кроме того, согласно (7.15), р'с'=Т(Т+2тос').
Поэтому (Т + 2то сг)г — Т (Т 1-2тс сг) — Моосо Отсюда 1 Мо = —,У'2тз(Т + 2то сз). с Скорость образовавшейся частицы — зто скорость Ц.системы. Со. гласно (7.32), )г =- рог/Е .= с ) г Т /(Т -1- 2тз со) . Задачи В н и м а н и е! В задачах 7.4 — 7.11 использованы сокращенные обозначения, приведенные в конце $7.4 (иапример, р и то — это сокращенные записи величии рс и того).
ф 7.1. Движение под действием продольной силы Частица с массой покоя то аачала двигаться под действием постоянной силы Г. 11айти зависимость скорости частицы от времени, Решен не. Уооножим обе части уравнения (7.5) на бй тогда (.') ( Р 1 — (о/с)г ) Проинтегрировав это выражение с учетом того, что в начальный момент о=О, получим пгоо/)1 — (о/с)'=Гй Отсюда п(1) = г//тз )г 1+ (Р//тс с)г Сравним полученное выражение с ньютоновским.
Согласно второму закону Ньютона, а/ Е/то и скорость оо=р!/то, поэтому предыдущее выражение для скорости и(1) можно представить так: пн о (1) = тг 1 -1- (он/с)г Отсюда видно, что оч.,о„т. е. действительная скорость и частицы растет со временем медленнее, чем о„причем при 1-ооо скорость о-ос (рис. 7.7).
Интересно, что импульс частицы при этом будет расти линейно со временем; из уравнения др/б)=Р следует, что р/ Ей В этом ха- 230 рактерная особенность релятивистского движения; в то время как скорость частицы стремится к определенному пределу (т. е. практически устанавливается), импульс частицы продолжает расти. ф 7.2. Движение под действием поперечной силы. Релятивистская чзстнца с массой покоя та и зарядом е движется в постоянном однородном магнитном поле, индукпия которого В Движение происходит по окружности радиуса р в плоскости, перпендикулярной вектору В. Найти импульс и круговую частоту обращения частицы по окружности. Решен н е.
В данном случае частица движется под действием силы Лоренца Р= =е(чВ], где ч — скорость частицы. Так как РХч, то модуль скорости частицы о=сопз1 и уравнение (7.5) принимает вид та = л (чВ], где т — релятивистская масса частицы, Имея в виду, что а представляет собой нормальное ускорение, равное по модулю и'/р, перепишем предыдущее уравнение так: тоз/р=еоВ. Отсюда импульс частицы Рис.
7.7 р = ти = е р В. Значит, круговая частота ю зависит от скорости частицы; чем боль. ше скорость частицы, а следовательно, и ее релятивистская масса т, тем меньше частота м. Однако прн малых скоростях (о Сс) т-ьта и м = дВ/то = сопят, т. е. при нерелятивистскнх скоростях частота и практически не зависит от скорости. ° 7.3. Релятивистский протон с импульсом р, влетел в момент 7=0 в область, где имеется поперечное однородное электрическое поле с напряженностью Е, причем р,.( Е.
Найти зависимость от времени угла 6, на который протон будет отклоняться от первоначального направления движения. Ре ш е ни е. Выбрав оси координат (х — вдоль вектора рз, У— вдоль вектора Е), запишем уравнение (7.4) в проекциях на эти оси: бл,/б/=О, бре/а(=еВ, где е — заряд протона. Из этих уравнений следует, что р, Рз, Р,= =е/ й или 23! Видно, что произведение рВ может служить мерой релятивистского импульса частицы. Период обращения частицы по окружности Т=2кр/и, откуда круговая частота обращения м=2п/Т=,и/р.
Учитывая (1), получим м = УВ/т. шо ох то оп =- Ро =- еЕП (1) !'! — (о/с)з эг! — (о/с)з Взяв отношение последних двух равенстн, найдем !2 Ь =. ок/о„= еЕ(/Ро. Интересно отиетить, что в отличие от нерелятивистского случая здесь о„ уменьшается со временем. Чтобы в этом убедиться, возведем оба равенства (1) в квадрат и затем сложим отдельно их левые и правые части: шв(о +од/ 1 — (о/с)з = ро+ (сЕ/)'. Заметив, что о,э+п„з=о', получим Подставив это выражение в первое из (1), найдем гг! + (лгз с/рэ)з+ (еЕ//ро)з т.
е. действительно, о, уменьшается с ростом й ° 7,4. Симметричное упругое рассеяние. Релятивистский протон с кинетической энергией Т испытал упругое столкновение с покоившимся протоном, в результате чего обз протона разлетелись симметрично относительно первоначального направления движения. Найти угол между иапранлениями разлета протонов после столкновения. Р е ш е и и е. При симметричвом разлете протонов их импульсы и эаергин должны быть одинаковы по модулю. Это сразу видно из треугольника импульсон (рис 78), выражающего закон сохранения импульсов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
