1611143554-2751c415c5775cb40b07ebcab0fe74f2 (825015), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Ограничимся лишь анализом полученного решения, которое имеет вид Р(Р) = (!) а+ (1 — а) сову где а=а(трооо'. Из математики известно, что уравнение (1) определяет кривую второго порядка. В зависимости от значения параметра это может быть эллипс (окружность), парабола илн гипербола. 1. Сразу видно, что при а=) величина р не зависит от ор, т. е. траекторией является окружность. Такую траекторию частица будет иметь при скорости оо, равной пг = )г а (т Ро . (2) 2. Для всех значений параметра а, при которых р конечно вплоть до ф=п, траектория будет иметь форму эллипса. Как следует из (1), при о?=а Р(п) = РоЛ2а — !). Отсюда видно, что р(п) будет конечным лишь при 2а>1, т. е.
при скорости оо(огг, где а! г = )г 2а(т Ро. (3) 239 3. Если же 2а=1, т. е. о,=оы, то эллипс вырождается в параболу — частица обратно не вернется. 4. При оэ)оы траектория будет иметь форму гиперболы. Все зтн случаи показаны на рис. 4. Следует обратить внимание на то, что для эллиптических орбит центр поля совпадает с одним нз фокусов эллипса: при ээ(ис — с задним фокусом, а при оэ)ос— с передним.
Заметим, что уравнение (1) описывает, например, траектории планет Солнечной системы (при этом а=утМ, М вЂ” масса Солнца). Применительно к движению космических аппаратов скорости ос и оп г,, Рис. 5 Рис. 4 являются соответственно первой и второй космнческими скоростями. Ясно, что их значения зависят от массы тела, являющегося источником почя.
3. Доказательство теоремы Штейиера Теорема: момент инерции ! твердого тела относительно пронзвольной осн О равен моменту инерции )с этого тела относительно оси С, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы и тела на квадрат расстояния а между осями: у=ус+тат, Доказательство. Пусть положение рго элемента твердого тела относительно осей О н С характеризуется векторами р; и рм а положение осн С относительно осн Π— вектором а (рис. 5, плоскость которого перпендикулярна осям О н С).
Воспользовавщись связью между этими векторами (р;=р; +а), преобразуем выражение для момента инерции тела относительно оси О следующим образом: у = ~„иг р т = ~~'~ вц (р с + в) з, нли ! = "р~ т; рта+ 2а ~~ и; рс+ ~м", и; ат. В правой части этого равенства первая сумма представляет собой момент инерции тела (с относительно оси С, а последняя сумма просто равна та'.
Остается показать, что средняя сумма равна нулю. Пусть г~ — радиус-вектор 1-го элемента тела относительно центра масс, тогда относительно последнего суммарный вектор ~тгг;= =О, согласно (3.8). Но р! — это составляющая вектора гь5 перпендикулярная осям О и С.
Отсюда ясна, что если суммарный вектор равен вулю, то и сумма его составляющих в плоскости, перпендикулярной осям О и С, также равна нулю, т. е. ~дыр,=О, Теорема, таким образом, доказана. 4. Греческий алфавит Р, р — ро 2, и — сигма 1, г — йота К,н — каппа Л, л — ламбда Т, т — тау Т, и — ипснлон М, р — мю "г(, ъ — ню гр, ~р — фи Х, )! — хи Ч', ф — пси Й, ы — омега Я,  — кси О, о — омикрон П, и — пи Это единицы времени — секунда (с), единица длины — метр (м) и единица мэссы — килограмм (кг). Секунда — это промежуток времени, в течение которого совершается 9 192 631 770 колебаний электромагнитного излучения, соответствующего переходу между двумя определенными сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133.
Эталон времени и частоты состоит из атомно-лучевой трубки с пучком атомов цезия н радиотехнического устройства, которое дает набор электрических сигналов фиксированной частоты. Секунда приблизительно равна 1(86400 средних солнечных суток. Метр — это длина, равная 1 650 763,73 длин волн в вакууме оранжевой линии атома крнптона-86 (линии, соответствующей переходу между уровнямн 2р„и бааз данного атома) Эталон для воспроизведения метра представляет собой комплекс аппаратуры, включающей интерферометры для точного измерения длин.
Метр приблизительно равен 1/40 000 000 доле длины земного меридиана. Килограмм — это масса платино-иридиевого эталона, хранящегося в Международном бюро мер и весов (в Севре, близ Парижа). Масса эталона близка к массе 1 дм' чистой воды при 4'С. 241 А, а — альфа В, 11 — бета Г, у — гамма Л, 8 — дельта Е, е — эпсилон Х, Ь вЂ” дзэта Н, т) — эта !8, О, Π— тэта 5.
Основные единицы СИ в механике 6. Формулы алгебры н тригонометрии Корни квадратного уравнения ахв+бх+с=О: — б з ~Г бт — 4ас х|л = 2а Некоторые приближенные формулы. Гслн а« |, то (1~а)"=.1+ па е" =1+а |п (!+а) =а з!и а =а сова =1 — ат(2 !Яа =а в|пта + соьва =- 1 веста — !нва =! света — с!нта = — 1 з!па своа = 1 сова веса =-1 а 1 — сова з|пт — =— 2 2 а 1+ соьа созв — =— 2 2 Основные трнгоноиетрнчески !Ка с!Ка = ! 1 в|па = бг1+ с!нва 1 сов а = бг! + !Ята в|и 2а = 2 в|на сова сов 2 а = савв а — в|пв а 2!на !н2а =— 1 — !нт а с!||ь а — 1 с!2 2а = 2с!и а е формулы: з!и (а'~ р) = з|п а сов р ~ сова з!и р сов (а +,'р) =- сов а соз р ~ з!и а з!и р !2(а * р) = !яа ~!Дб Н!да !2р с!да сгу р ~ 1 с!а (а ~ р) =- с!2 р у с!на а+р а — б з|п а + з|п р = 2з!и — сов— 2 2 а -|-р а — р з!и а — з|п (| = 2 соз — з!и— 2 2 а +б а — р соз а + соз р = 2 соь — соз— 2 2 а+р.
а — р сова — соз р = — 2ь!и з1п— 2 2 ь!и (а ~р) !2 а ~ !н р = сов а'соз р з|п (а ~ р) с!2 а ~с!н р = ~ з|п а.з|п р 2ып а з!пр = сов(а — р) — соь(а + р) 2сов а соьр = соз(а — р)+ сов(а + в) 2ь!па.соь р = з|п(а — р) + з1п(а + р) 7. Таблица производвыи и интегралов Фрикции Проивводвая Производная Функция б!и х ПХи — 1 соз х 1 х — 51П Х С05 Х х2 1 х соззх 1 3!'Б2х 1 2)г х е сфх У еи агс51п х )г 1 —,х2 1 агссоз х пеки ! 1 — х2 1 агсЦ х а" !и а 1 х 1+ х2 1 !Пх агссф х 1+х2 СЬХ 511 х и' и — ЗЬ Х ойх !пи 1 сЬ2 х 1 1п х сйх дх — — 1п х х л+1 хядх = —, пд — 1 и+ 1 51п х дх = — соз х )СОЗХ дх = 5!П Х )' фх бх= — 1псозх ) сгд х дх = 1п 51 п х дх = 1в х со52 х бх = — сга х 51пз х ) еиг1х = ел дх — = агс!ах 1+ хз дх = агс51п х ф'1 — х2 дх 1п(х + 3' хз — 1) ргх — 1 8.
Некоторые сведения о векторах Скалярное произведение векторов: аЬ = Ьа = аЬ соэ а а(Ь+ с) =аЬ+ ас. Векторное произведение векторов: [аЬ] = — [Ьа]; ] [аЪ! ] =- аЬ з!в а; [а, Ь+ с] = [аЬ] + [ас]. Смешанное, или векторно-сквлярное, произведение трех некто. роз является скалярам и численно равно обьему пвраллелепеда, построенного на этих векторах: а ]Ьс] = Ь[са] = с[аЬ]; а [Ьс] = — Ь[ас] =- — а[сЬ]. Двойное векторное произведение: [а [Ьс]] =- Ь(ас) — с(аЬ). Произведение векторов в координатном представлении, Если а = агез + азез + азез, Ь =- Ьзез + йзез + 6зез, где ео еь е,— координатные орты (взаимно перпендикулярные и образующие правую тройку), то аЬ = азй! + азйз+ азйз ег ез ез [аЬ] = аз аз аз вз =(азез — азбз) ез+ (азз, — а,йз)ез+ (а,йз — аза!)ез.
Правила дифференцирования векторов, зависящих от некоторой скалярной переменной й о да бЬ вЂ” (а+ Ь) =- — -~- —, Иа да — (аа) = — а+ о —; су от ос д ба дЬ вЂ” (аЬ) =- — Ь -р а —; Ж бг — [аЬ] = ~ — Ь ~ -г [а — ]. Градиент скалярной функции ф: ор. ду. др рр= — )+ — )+ — й, дх др дл где Ь Ь Й вЂ” координатные орты осей х, р, а.
9. Единицы механических величин в системах СИ и СГС Вденнде Отеоыеине ед, СИ Величина СИ СГС ед. СГС 1О, Десятичные приставки к названиям единиц с — свити (1О-е) м — милли (!О-е) мк — микро (10-') н — нано (10 †) п — пико (1О-") ф — фемто (!О-и) а — атто (!0-'е) Т вЂ” тера (10'е) à — гига (!0') М вЂ” мега (10') к — кило (!О') г — гекто (!О') да — дека (1О') д — деци (1О-') Примеры: нм — нанометр (1Π— ' м), кН вЂ” килоньютон (1О' Н) Мз — мегазлектронвольт (!Ое зВ), мкВт — микроватт (!О-' Вт).
245 Длина Время Угол 11лощадь Объем Скорость Ускорение Частота колебаний Круговая частота колебаний Угловая скорость Угловое ускорение Масса Плотность Сала Давление Работа, знергия Мощность Импульс Импульс силы Момент силы Момент импульса Момент инерции Импульс момента силы м с рад мл лгд м/с м/с' Гц с †' рад/с рад/с' кг кг/м' Н Па Дж Вт кг м/с Н с Н м кг. мл/с кг м' Н ллс см с рад см' смл см/с см/се Гц с — ' рад/с рад/с' г г/см' дии дин/см' зрг эрг!с г см/с дин с днн см г сме/с г.см' дин см.с 1Ое 1 1 ,10" Гбе (1 Ое 1Ое 1 1 1 1 10е 10 е ,10' 10 !От 1О' 10' 10' 10т 1От 10' 107 11. Некоторые внесистемные единицы .1 А (ангстрем) =10-'о и ~1 а.
е. (астрономическая единица) яв!,5 10п и ! св. год (световой год) пи 0,95 10м и 1 пк (парсек) =3,! 10" и .1 сут (суткн) =86400 с 1 г (год) =3,16 10' с .1 а. е. м. (атомная единица массы) =1,66Х Х10-'т кг 1 т (тонна) =10' кг .! кгс (килограмм-сила) =9,81 Н . 1 бар =! 0' Па (точно) 1 атм = 1,013 10' Па 1 мм рт. ст.=133 Па .1 эВ=!,60 !Ог ы Дж 1 Вт.ч=3,6 1Оа Дж .1 л.
с. (лопгадииая сила) =736 Вт Длинна Время Масса Сила Давление Энергия Мощность 12. Астрономические величины ! Средний радиус, орбиты, н Средний радиус, и Масса, кг ! дд 10ао 5'98. 10аа 7,35 10" 6,96 1Оа 6,37 10а 1,74 10а Солнце Земля Луна 1,50 10п 3,84. 1(П 13. Физические постоянные Скорость света в вакууме Гравитационная постоянная Ускорение свободного падения Постоянная Авогадро Элементарный заряд Масса покоя электронз Удельный заряд электрона Масса покоя протона Атомная единица массы 1 а с=2,998.!Оа м(с 7=6,67 10-и ма((кг с') и=9,807 м/са !т(и=6,022 10" маль-' ! 1 602 !Осы Кл ) 4,80 10-'о СГСЭ 0911 1О-аа кг ) 0 51! МэВ 1,76 !Оп Кл/кг л, ( 5,27 10" СГСЭ юр — — 1,673 10 —" кг 1,660 10 —" кг ( 931,4 МэВ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Вектор аксиальный 19 — перемещения 10 — полярный 19 Вес 44 Время собственное 185 Гироскоп 159 Градиент 94 Движение вращательное 18, 150 — плоское 21, 154 — поступательное 17 — тела переменной массы 76 Диаграмма импульсов векторнаи 118 — Минковского 201 — пространства — времени 201 Длина собственная 188 Задача Кеплера 239 Закон всемирного тяготения 43 — Гукэ 45 — Ньютона второй 40 — — первый 35 — — третий 41 — сохранения импульса 68 — — момента импульса 140 — — энергии 100, 109 в !11 Законы сохранения 63 Замедление времени 185 Изотропность пространства 36 Импульс 65 — момевта силы 136 — силы 66 Импульс релятивистский 212 — системы 67 Интервал 197 — времениподобный 198 — пространственноподобный 198 — светоподобный 198 Килограмм (эталон) 241 Кинематика твердого тела !7 — точки 10 Координата дуговая 14 Линия мировая 201 Лоренц-фактор 223 Масса 38 — покоя 21! — приведенная 1!4 — релятивистская 212 Метр (эталон) 241 Момент гироскопическяй 161 — импульса 134 — — относительно оси 137 — — системы 138, 139 — — собственный 146 — инерции 150 — силы 133 — — относительно осн 138 Мощность 88 Напряженность ноля 96 Одновременность !80, 194 Однородность времени 36 — пространства 36 Опыт Майкельсоиа 175 Оси тела главные 157 — свободные 157 Ось вращения мгновенная 24 Параметр прицельный 120 Парадокс близнецов !87 Пара сил 144 Плечо импульса 133 — пары 146 — силы 134 Поверхность зквипотенциаль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
