1611143554-2751c415c5775cb40b07ebcab0fe74f2 (825015), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Из этого треугольника, согласно теореме косинусов, сле. дует, что р'=2р'+2р' соз О, о~куда соз 0 =- рт/2р'з — 1, Воспользовавшись формулой (7.25) и учтя, что Т=2Т', где Т'— кинетическая энергия каждого протона после столкновения, найдем рз Т(Т+2та) Т+2то — 4 р'з Т' (Т'+2шо) Т + 4)ив где тэ — масса покоя протона. После подстановки этого выражения в формулу для соз О получим соз В =- Т/(Т + 4гно). Заметам, что в отличие от нсрелятивистского случая, когда О=п/2, здесь Ос.п/2. ° 7.5. Рассеяние фотона на электроне.
Фотон с энергией е испытал рассеяние на покоившемся свободном электроне. Найти энергию з' рассеянного фотона, если угол между направлениями движения рассеянного и налетающего фотонов равен О. 282 Р е ш е н и е. Воспользуемся законами сохранения энергии и им. пульса. В данном процессе Те =- е — е', Ре = Р— Р' где Т„и ре — кинетическая энергия и импульс электрона отдачи, р н р' — импульсы налетающего и рассеянного фотонов. Из треугольника импульсов (рис. 7.9), согласно теореме косинусов, следует, что рз = рз з- р'з — 2р р' соз 3.
Подставив сюда р=з, р'=в' и Ре = УТа ГТе + йте) = у (е — е') (е — з' + 2те) Рис. 7.8 Рис. 7.9 где те — масса покоя электрона, получим после несложных преобра. зований ! + 2 (е/те) з!пз (3/2) ° 7.6. К методу встречных пучков. Два протона движутся навстречу друг другу с одинаковыми кинетичеснимн энергиями Т (н К-системе отсчета). Найти кинетическую энергию Т' одного протона в К'-снстеме отсчета, где другой протон покоится.
Р е ш е н н е. Воспользуемся ннвариавтвостью величины Ее — р', записав ее в К-системе (она здесь является одновременно и 7(-систе. мой), а тахже в К'-системе: ]2 (Т + тз)]з = (Т' + 2тс)з — Т' (,Т' + 2тз), где т, — масса покоя протона. Отсюда Т' .=, 2Т (Т + 2то) !то Например д ~я протонов (та=1 ГэВ) прн 7=50 ГэВ величина Т'=5 10» ГэВ. Возможность получения такого большого «выигры. ша» в энергии лежит в основе метода встречных пучков. ° 7.7. Энергетическая схема ядерной реакции Частица Аа с ки. нетической энергией Т, налетает на покоящееся ядро Аз (в К-системе).
В результате реакции образуются ядра Аз и Ан А!+ Аз - Аз+ Ач. Массы покоя частил равны соответственно гнь те, т„ть Изобра. знть энергетическую схему ядерной реакции для двух случаев а) (те+ тз) ) (те+те); б) (те+ те) ( (тз+ те) . 233 Р е ш е н и е. Прежде всего ясно, что о пороговой энергии может идти речь только в том случае, когда сумма масс покоя возникших частиц превышает сумму масс покоя первичных частиц. Чтобы найти Т„„, воспользуемся инвариантностью величины Е' — р'.
Запишем эту велй. чину до столкновения при 7= Тчор в системе отсчета, где частица Мэ покоилась, и после столкновения — в Ц-системе: Е' — рз=Е', или (Тчэр+ то+ Мо)з — Тпэр(Тпчр+ 2то) = (тт+ то+...)з. Здесь учтено, что в Ц-системе кинетвческая энергия возникгпих частиц равна нулю на пороге реакции, поэтому их полная энергия равна просто сумме масс покоя отдельных частиц. Из последнего уравнения находим (т~+ тз+ ...)з — (то+ Мо)о пэр 2Мо ° 7.9, Найти пороговую энергию фотона для рождения пары электрон — позитрон в поле покоящегося протона, если массы покоя электрона и позитропа равны тм а протона — Мо. Р е ш е н и е.
Воспользуемся ннвариатностью величины Е' — р' и запишем ес до взаимодействия в системе отсчета, где протон покоится, а после взаимодействия — в Ц-свстеме. При пороговом значении энергии г, налетающего фотона (я р+ Мо)~ з р = (Мо+ 2то)з' Отсюда з„,р —— 2та (! + то/Мо) Видно, что для рождения пары необходимо, чтобы энергия фотона была больше 2т, (этого требует закон сохранения импульса). ° 7.10, Энергии частиц в Ц-системе.
Фотон с энергией в в лабораторной системс отсчета налетает на неподвижную частицу Л, масса покоя которой равна т,. Найти: 1) скорость Ц-системы этих двух частиц; 2) энергию фотона и частицы Л в данной Ц-системе. Р е ш е и и е 1. Согласно формуле (7.32), скорость Ц-системы рс =/г/Е = з/(то+ э). 2. Из преобразования (7.26) для энергии следует, что в Ц-системе энергия фотона з=(з — рср)//Р 1 Рс где рс — скорость Ц-системы.
Подставив сюда р=з и выражение для ))с из предыдущего пункта, получим в = У'1+2з/то Частица А движется в Ц-снстеме со скоростью р=()с, поэтому ее полная энергия в Ц-системе 235 Ел гяо гло + а ф'! -1- 2а/эао с В правильности полученных формул можно убедиться, воспользовавшись инвариантностыо величины Е' — р' при переходе от лабораторной к Ц-системе отсчета: (в+ що)т — ат = (в+ Ел)т. ° 7.11. Распад движущейся частицы. Релятивистский и'-мезон с массой покоя л!а распался на лету на два у-фотона с энергиямн е, и еа (в К-системе отсчета).
Найти угол 0 между направлениями разлета этих фотонов. Р е ш е н и е Исходя из инвариантности величины Е' — р', запишем ее до распада в Ц-системе, а после распада — в К-системе: жо = (а!+ а2) (Р! + Р2) 2 где р, и рв — импульсы фотонов. Преобразуем правую часть этого уравнения, учитывая, что р,=е! и ра=еа Тогда гло — — 2в! ах — 2р! Рз = 2а! вз (! — соз О). Отсюпа то з!п — = 2 2раавэ ПРИЛОЖЕНИЯ 1.
Движение точки в полярных координатах В полярных координатах р, ~р ноложенне точки А на плоскости определено, если заданы ее расстояние р от начала отсчета 0 и угол ф между радиусом-вектором р точки и выбранныл~ направлением 00' — началом отсчета угловой координаты гр (рис. 1, а). Введем единичные векторы — орты е и е , связанные с движу- Р т' шейся точкой А и напранленные в сторону возрастания соответству- д) дед дяг Рис.
1 ющих координат р и ~р, как показано на рис. 1, а. В отличие от ортов декартовой системы координат, орты е и е — подвижные е т (при движении точки А онн меняют свое направление). Найдем сразу же нх производные по времена — онн понадобятся ниже. При движении точки А за промежуток времени д( оба орта повернутся в одну сторону на один н тот же угол дез (рнс, 1, б) и получат прира. щения: де =! ду е, де =-! ° ду ( — е ). Поделив оба выражения на дй получим ер —— уе, е = — — уер где точка сверху над буквой означает дифференцирование меня. Теперь найдем скорость в ускорение точки А, записав ее вектор р в виде по вре- радиус- (2) р= ее Скорость точки ч. Продифференцируем (2) по времени с учетом (1): ч = р е р + ру е (3) Отсюда видно, что проекции вектора ч на подвижные орты е р и е равны; ор=р, =ру, т (4) а модуль вектора скорости о= у р'+р'<рз.
Ускорение точки а. Продиффереицировав (3) еще раз по времени, получим д а= р ее+ рее+ — (р р) е + р р е 0 0 Рнс. 2 Учтя (1), после несложных преобразований найдем а = (р — р рг) е + (2р |р + р ~р) е т, е, проекции вектора а на орты ер и е т имеют вид ! д а = р — р рг, а =2р р+ру= — — (рг р).
(6) Р р бг Основное уравнение динамики в полярных координатах. Основ; нос уравнение динамики гла=р в проекциях на подвижные орты е р и е легко получить сразу, воспользовавшись формулами (6): (7) где Р н Р— проекции вектора г на орты е и е (рис. 2), На этом рисунке Рр<0, а р >О. 238 гл (р р рг) — Р ! б гл — — (рту) = Р р б! ,ог лг а Рнс, 3 2.
О задаче Кеплера В задаче Кеплера рассматривается вопрос о движении частицы в центральном поле сил, убывающих обратно пропорционально квадрату расстояния от центра поля. Этому закону подчиняются силы гравитационного притяжения между материальными точками (или телами, обладающими сферической симметрией), а также кулоновские силы между точечными зарядами. В таком поле потенциальная энергия частицы У= — а(р, где а— постоянная, р — расстояние от центра поля. Рассмотрим случай, когда а)0, т. е.
сила, действующая на частицу массы т, направлена к центру поля (притяжение). Какой вид будет иметь траектория частицы в полярных координатах р(оР), если прн оР=О р(0) =ро, а скорость частицы перпендикулярна радиусу. вектору и равна оо (рис. 3)? Для решения этой задачи обычно используют законы сохранения энергии и момента импульса. В полярных координатах р, ф из этих законов следует: т(зт (Рэ+ Рэуз) — а(? =Я, т?э ? =Е, где Е и ь — полная механическая энергия и момент импульса частицы относительно точки Π— центра поля.
Обе эти величины легко найти из начальных условий. Решение данных уравнений проводят следующим образом. Сначала в первом уравнении переходят от дифференцирования по времени к дифференцированию по ор — это можно сделать с помощью второго уравнения: Ж= (тро(()о(ор. Затем разделяют переменные р и ор, т. е.
приводят полученное выражение к зилу Й~Р=((р) бр. И наконец, интегрируют это уравнение с учетом начальных условий, Ре. зультат интегрирования н дает искомое решение р(оР). Мы це будем здесь подробно аосироизводить довольно громоздкий ход решения этих уравнений (при желания его можно найти почти в любом курсе теоретической физики илв механики).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
