1611143554-2751c415c5775cb40b07ebcab0fe74f2 (825015), страница 38
Текст из файла (страница 38)
1. Пусть распад частицы, двигавшейся впереди,— это событие 1, а распад частицы, двигавшейся сзади,— событие 2. Тогда, согласно преобразованиям Лоренца (6.9) для времени, (х' — хх) о/ез Ет — 1х = )' ! — (о/е)з где Учтено, что 1Р=1з' — по Условию. Разность (х,' — хз') — это собственное расстояние 1а между частицами Согласно (6,5), оно равно 1о = 1/1 ! — (о/е)г. Поэтому 1о/ет 1! — 11 = = 2,0 мкс.
! (о/е)з 2. Так как 1г — 1з,лО, то 1г)1„другими словами, частица, двнгав- шаяся впереди, распалась позже. 3 а м е ч а н и е. Нередко эту задачу решают так: согласно (6.8), (1! — 1х) — (х! — хз) и/ез О, г г — чг*гг откупа (х! — хз) о/ез 1о/ез 1, )' ! — (о/е)' )' ! — (о/е)а Полученный результат отличается от приведенного выше (наличием корня в знаменателе) и является неверным.
Дело в том, что мы не имеем права разность кг — ха заменять на 1, ибо хг и хг — это координаты событий (распадов), происшедшие в К-системе в резные моменты времени. Расстояние же 1 между частицами в К-системе равно по определению разности координат частиц, зафиксированных одновременно. 456.4. Найти расстояние, которое пролетела в К-системе отсчета нестабильная частица от момента ее рождения до распада, если ее время жизни в этой системе отсчета 01=3,0 мкс, а собственное вре. мя жизни ц1ч=2,2 мкс. Р е ш е н и е. Воспользовавшись формулой (6.12), найдем скорость )г частицы и затем искомое расстояние как 1= б1 )г= ц1 еУ"! — (й/о/л1)а=0,6 км.
Другой способ решения осаован на использовании ииваркаитностк интервала: 205 ай (Мо)э = аэ (д/)э /э, где квадрат интервала записан слева в системе отсчета, связанной с самой частнпей, а справа — в К-системе отсчета. Отсюда получается тот же результат для /. ай.6. Эффект Доплера. В К-системе отсчета находится неподвижный приемник Р (рис.
6.22). К нему со скоростью У приближается источник 5 светоных сигналов. В системе отсчета, связанной с источником, сигналы испускаются периодически с частотой те (собственная частота). С какой частотой т будет воспринимать зги сигналы приемник Р? р Р е ш е н и е. Промежуток времени между двумя последовательнымн сигналами (импульсами) в К'-системе, связанной с источником, равен Т»=1/тз.
Так как этз система движется Рис. 6.22 со скоростшо 1', то соответствующий промежуток времени в К-системе, согласно (6.12), будет больше: Т = Тг/у'1 — йэ, 6 = У/е. б О Расстояние между соседними импульсами в К-системе Л = еТ вЂ” УТ = (в — У) Т = (с — )г) = . (!) Т Поэтому воспринимаемая приемником частота в=с/)., или !Г! рз ч =- чо ! — р (2) Рассмотрим попутно более обший случае; в К-системе вектор скорости Ч источника составляет угол а с линией наблюдения, кзк показано иа рис. 6 24. В этом случае в формуле (!) достаточно заменить У на У соз а.
Тогда 206 Если источник приближается (как в нашем случае), то ч,.»та. если же удаляется, то ч«.ч«(в этом случае знак () меняется на про. тивоположный). Зависимость ч/ч, от 6 показана на рис. 6.23. Полу. ченная формула (2) для частоты т соответствует продольному эффекту Доплера. Как видно иэ приведенного вывода, эффект Доплера является следствием двух явлений: замедления хода движуШихся часов (ко. рень в числителе формулы (2)) и «уплотнения» (нлн разрежения) импульсов, связанных с изменением расстояния между источником и приемником (зто учтено в первом равенстве формулы (1)).
Заметим, что в нерелятивистском случае Т=Т«, поэтому формула для эффекта Доплера не содержит корня у ! — рз (вместо него стоит единипа): 2 =,о У' 1 — р саа я В частности, при а=п12 наблюдается поперечный эффект Доплера а = тор'! — Рз при котором воспринимаемая приемником частота и оказывается всегда меньше собственной частоты та. иере 0,5 -1е -цв-ее-еа-пг е аг ае йе )е=-р)е Удаление Ебшмеиие Рис. 6.23 0 2 е х е 5 б 7 а;м Рнс 6.25 Рис. 6.24 496.6. Соотношения между событиями. На рис.
6.25 изображена диаграмма пространства — времени. Каткдая точка этой диаграммы (м и р а в а я т о ч к а) характеризует некоторое со. бытие — его координату и момент времени, когда оно произошло. Рассмотрим три события, соответствующие мировым точкам А, В в С. Убедиться, что между этими событиями имеют место следующие соотношения: Собственное Пара собмтяа Тнп интервала расстоя- ние Дли м время сами м А-ьВ Нет АВ АС ВС 207 Времениподобный Пространственно- подобный Светоподобпый Возможноств при.
чинно-следственная связи У к а з а н и е воспользоваться инвариантиостью интервала ° 6 7 Две частицы движутся в К-системе отсчета под прямым углом друг к другу, причем первая со скоростью оь а вторая со ско. ростью о» Найти скорость одной частицы относительно другой Р еш е н не Возьмем оси координат К.системы, как показано на рис 626 Свяисем с частицей 1 К' систему, тогда скоросп частицы 2 в этой системе отсчета и есть искомая скорость С помощью формулы (615), положив г'=о~ и о,=й, получим оя — — м ое + нз„— — м ог+ ня — (игиш'а)з. Г з з .Гз Заметим, что, по классическому закону сложения скоростей, 1Гя 3 из= у оз ноя ° йй 6 8 Преобразование направления скорости.
Частица движется в К системе со скоростью ч под углом д к оси х Найти соответству ющий угол д' в К' системе, движущейся со скоростью Ч, как показано на рис 6 27 Решен не Пусть в К системе проекции нектора ч равны о„ и о» Тогда для угла б можно записать следующее соотношение гй 6 = на/ох. В К' системе с учетом формул (6 14) получим !К 6' = о„/о = оа )Г1 — РЯ/(ох — У), После подстановки о,=о соз д и о„=з(п б найдем а)пй )/! — рз соз Ь вЂ” )г/о Как видно из этой формулы, закон преобразования углов для ско. рости иной, нежели для отрезков (см задачу 6 1) 4й 6 9 Стержень, ориентированный параллельно оси х К-системы отсчета, движется в этой системе со скоростью о в положитель.
ном направлении оси у Найти угол д' между стержнем и осью х' К'- системы, перемещающейся со скоростью )г относительно К-системы в положительном направлении ее оси х Оси х и х' совпадают, оси у и у' параллельны друг другу Решен не Пусть в некоторый момент концы стержня совпада. ют с осью х в К системе Эти два события, одновременные в К-систе. ме, будут неодновременными в Кпсистеме, согласно (6 10), оии произойдут через промежуток вреиени а! =ах)/аз)/Т:рз, где Дх — собственная длина стержня За это время правый конец стержня окажется «выше» левого на Лу'= о а!'» где и = о у ! — рт и ' э (см формулу (616)) Таким образом, в Кпсистеме данный стержень будет повернут против часовой стрелки на некоторый угол б', кото.
рый можно определить по формуле ц $' = 4у'/йх' = 5о/с у' ! — ~з, 208 где Ьх' = Ьх Угà — рз — проекция стержня на ось х' в Кчсистеме, р= У/с. ° 6.10. Релятивистсное преобразование ускорения. В К-снстеме движется частица со скоростью ч н ускорением а. Найти ускорение втой частицы в Кссистеме, которая перемещается со скоростью Ч в положительном направлении осн х К-системы.
Рассмотреть случаи, когда часпгцз движется вдоль следующих осей К-системы: 1) к; 2) у. Рис. 6.27 Ркс. 6.26 Решение. 1. Запишем каждую проекцию ускорения частицы в К'.системе таким образом: бох "ох ! х 1Н ~1 17~1 Воспользовавшись первой из формул (6.14) и последней из (6.8) ° получим после дифференцирования згя а„= ( р) ах, а =О. (1 Рох/с) 2. Аналогичные расчеты приводят к следующим результатам: а„= О, а„=- (1 — рт) ад В этих формулах Р= Угс. Глава 7 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА $ 7.1.
Релятивистский импульс Напомним сначала два основных положения ньютоновской механики об импульсе: 1) импульс частицы определяется как р=гпч, где масса пт частицы считается не зависящей от ес скорости; 2) импульс замкнутой системы частиц сохраняется во времени в любой ннерцнальпой системе отсчета. 209 Теперь обратимся к релятивистской динамике.
Оказывается (это будет видно уже из простого примера, который мы сейчас рассмотрим), для замкнутой системы из релятивистских частиц закон сохранения ньютоновского импульса ие выполняется. Возникает альтернатива: отказаться или от ньютоновского определения импульса, или от закона сохранения этой величины. Учитывая громадную роль, которую играют законы сохранения, в теории относительности за фундаментальный принимают именно закон сохранения импульса и уже огорода находят выражение для самого импульсат. Покажем прежде всего, что требование, чтобы закон сохранения импульса выполнялся в любой иперциальной системе отсчета, н учет релятивистского преобразования скоростей при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой приводят к выводу, что масса частицы должна зависеть от ее скорости (в отличие от ньютоновской механики).
Для этого рассмотрим абсолютно не- упругое столкновение двух частиц — система предполагается замкнутой. Пусть в некоторой инерциальной К-системе отсчета навстречу друг другу движутся две одинаковые частицы 1 и 2 с одинаковой скоростью п„но под углом а к оси х (рис. 7.1, а). В этой системе отсчета суммарный импульс обеих частиц, очевидно, сохраняется: до и после столкновения он равен нулю (образовавшаяся частица, как следует из соображений симметрии, оказывается неподвижной) .
Теперь выясним, как будет обстоять дело в другой инерциальной системе отсчета. Для этого выберем сначала две системы отсчета: Кр-систему, движущуюся вправо со скоростью о,к, и К,-систему, движущуюся влево со .«.р.... рр-".рлм ). я .а'- -'. ° ! ° Х," " Возникает естественный вопрос: как же закон сохранения импульса может представлять какую-либо ценность, если импульс определяют именно так, чтобы он сохранялся? Для ответа иа этот вопрос представим себе частицу, которая при своем движении сталкивается с другими частицами. рассмотрев первое столкновение, определим импульс так, чтобы выполнялся его закон сохранения в данном столкновении.
Но при последующих столкновениях положение изменится. мы уже будем знать импульсы частиц, участвующих в этих столкновениях, н теперь закон сохранения импульса (если он действительно есть) будет выполняться уже не по определению а в силу глубинных законов природы. Опыт показывает, что так определенный импульс действительно подчиняется закону сохранения. По крайней мере до сих пор не обнаружено ии одного явления, где бы этот закон нарушался. 210 стеме и частица 2 в Ке-системе движутся только вдоль оси у, причем с одинаковыми по модулю скоростями, которые,мы обозначим и. Рассмотрим картину столкновения в К,-системе (рис. 7.1, б), где частица 1 имеет скорость и.
Найдем у-составляющую скорости частицы 2 в этой системе отсчета, обозначив ее и'. Эта частица, как было сказано, движется со скоростью и вдоль оси у в Ке-системе и, кроме того, вместе с Ке-системой перемещается влево со скоростью 4 Ю е,-системе у~ а) э' ;-системе и,„= и 1 им Рис. 7.1 те=еле/У 1 — (У!с)е. При а — О (рис. 7.1) и-+.О и нее представляет собой массу покоящейся частицы; ее обозначают ти и называют массой покоя. Скорость же У при этом условии оказывается равной и — скорости частицы 2 относи- 211 У относительно Кнсистемы. Поэтому, согласно (6.16), усоставляющая скорости частицы 2 в Кпсистеме равна и' = и у 1 — (Ь'/с)е. (7.1) Запишем теперь у-составляющие импульсов обеих частиц в Ктсистеме: т,и и теи', Согласно (7.1), и'(и, поэтому легко видеть, что закон сохранения импульса в его обычной (ньютоиовской) формулировке не выполняется.
Действительно, в нашем случае ш,=ше (частицы одинаковые) и, следовательно, у-составляющая суммарного импульса частиц до столкновения отлична от нуля, а после столкновения равна нулю (образовавшаяся частица будет двигаться только вдоль оси х). Потребуем, однако, чтобы закон сохранения импульса выполнялся и в К,-системе, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
