1611143554-2751c415c5775cb40b07ebcab0fe74f2 (825015), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Тогда задача сводится к нахождению скорости частицы 2 в этой системе отсчета. Подставив в формулу (6.14) для о -проекции скорости о = — о, )г= о, получим 2о 1+ (о/с)э Знак минус означает, что в данном случае частица 2 движется в отрицательном направлении оси х' К'-системы отсчета.
Следует отметить, что даже в том случае, когда обе частицы двигкутся с максимально возможной скоростью о=с, скорость о ' не момсет превзойти с — это сразу видно из последней формулы. И наконец, проверим непосредственно, что релятивистские формулы преобразования скоростей соответствуют утверждению второго постулата Эйнштейна относительно неизменности скорости света с во всех инерциальных системах отсчета. Пусть вектор с имеет в К-системе проекции с„и сгл т. с, с'=с,„'+,'. Воспользуемся формулой (6.15), преобразовав в ней подкоренное выражение следующим образом: с' — 2с (г+Уэ+(с' — с„') (1 — — )=~с — — ) .
сз После этого нетрудно получить, что о'=с. При этом, конечно, вектор с' в К'-системе будет иметь в общем случае другое направление, 300 $ 6.6. Геометрическая интерпретация преобразований Лоренца Рассмотрим релятивистские представления о пространстве — времени с помощью геометрического метода, развитого Минковским и помогающего в другом свете представить сущность преобразований Лоренца. Диаграммы Минковского. Пусть имеются две инерцнальные системы отсчета: К-система и К'-система, движущаяся относительно первой со скоростью )г. Сначала построим так называемую диаграмму пространства — времени для К-системы, ограничиваясь для боль- Рнс. 6.!7 Рис.
6.16 шей простоты и наглядности одномерным случаем (рис. 6.16). На оси ординат данной диаграммы откладывают обычно не само время 1, а величину т=.сй где с — скорость света. Это дает возможность про. градуировать обе оси (Ох и От) в метрах, причем в одном и том же масштабе. Каждая точка диаграммы — ее называют м н р о в о й т о ч к о й— характеризует некоторое событие Л(х, т). Всякой частице (даже неподвижной) на этой диаграмме соответствует мировая линия. Например, ось От — это мировая линия частицы, покоящейся в точке х=б. Ось Ох изображает совокупность всех событий, одновременных с событием О, независимо от координаты х.
Мировая линия, соответствующая распространению света из точки О в положительном направлении оси Ох, представляет собой бис. сектрису ОС прямого угла (точечная прямая на рис. 6.16). Изобразим на этой диаграмме оси От' н Ох' Кпснстемы. Миро. вую линию начала отсчета К'-системы получим, положив в преобразованиях Лоренца (68) х'=О.
Тогда х=)г(=рт, где й=)г/с. Это есть уравнение прямой, которая составляет с осью От угол О, определяемый формулой (н д= Р. Полученная прямая — мировая линия — представляет собой совокупность всех событий, происходящих в начале отсчета Кпсистемы, т. е, ось От Ось Ох' К.системы — это прямая, изображающая все события, одновременные в Кпснстеме с событием О. Положив в преобразова- 20! ниах Лоренца (68) 1'=О, получим с(=х)г/с, или т=()х. Отсюда следует, что ось Ох' составляет с осью Ох тот же угол д (1д 6=(3).
Таким образом, оси От' и Ох' К'-системы расположены симмет. рично по отношению к мировой линии света ОС и координатная сетка К'-системы (т', х') оказывается косоугольной. Чем больше скорость )г системы К, тем более есплющенной» будет ее координатная сетка (при )г-»с она вырождается в мировую линию света), Последнее, что необходимо сделать на данной диаграмме, — это проградуировать оси От, Ох и От', Ох' обеих систем отсчета. Проще всего это можно сделать, воспользовавшись инвариантностью интервала: зз = вз — хз = с'з — х'з. Отметим на оси От К-системы точку, соответствующую единице времени в К-системе (т=1, рис.
6.1?). Проведем через эту точку гиперболу хз — хз =!, все точки которой отвечают инварнантному интервалу э=! (ибо при х=б т=! и з=!). Ее асимптотой является мировая линия света. Точка пересечения этой гиперболы оси От' соответствует единице времени в Косистеме. Действительно, т'з — х'э= 1, и при х'=0 координата т'= 1. Аналогично градуируются и оси Ох, Ох'. возьмем в К-системе точку х= 1, т=0 и проведем через нее гиперболу х' — т»= 1. Тогда точка пересечения ее с осью Ох', где т'=О, дает единицу длины (х'= 1) в К'-системе (так как х'з — г'»= 1 и с'=О, то х'= 1). Построенная таким образом лиаграмма — д и а г р а м м а М и н.
к о в с к о г о — соответствует переходу от К- к К'-системе и отвечает преобразованиям Лоренца (6.8). В согласии с принципом относительности для обратного перехода от К' к К-системе диаграмма будет иметь совершенно симметричный вид: у К'-системы координатная сетка будет прямоугольной, а у К-системы — косоугольной (предоставим в этом убелиться самому читателю). Пока'кем, как просто и наглядно диаграмма Минковского позволяет интерпретировать, например, такие релятивистские эффекты, как относительность понятия одновременности, замедление времени и лоренцево сокращение.
Относительность понятия одновременности следует непосредственно из рис. 6.18. Действительно, события А и В, одновременные в К-системе, в К'-системе оказываются неодновременными. Событие А произойдет позже события В на время бт'. Замедление времени. Рассмотрим двое часов, К и К', которые показывали одинаковое время т=т'=0 в момент, когда они находилнсь в одной точке пространства (х=х'=0).
Предполагается, что часы К неподвиэкные в К-системе, а часы К' — в К'-системе. Пусть по часам К прошла единица времени (т= 1); зто отвечает событию А на диаграмме (рис. 6.19). Проведем через точку А гиперболу т' — х'= 1 и прямую АВ', характеризующую все события, одновременные в К-системе с событием А. Пересечение оси Ог' (мировой линни часов К'] с гиперболой дает точку А' (т'= 1), а с прямой ОВ' — точку В' (т'ч.!). Это значит, что в К'-системе в момент, когда по часам К у'ке прошла единица времени, по движущимся часам К' единица времени еще не прошла, т. е.
часы К' идут замедленно, 202 Убедимся с помощью втой же диаграммы, что аффект замедления времени является обратимым. Проведем прямую ВА', параллельную осв Ох, которая характеризует все события, одновременные в Кчснстеме с событием Л' (т'=-1). Точка пересечения В этой прямой с мировой линией часов К вЂ” осью От — показывает, что тч.!, т. е., в самом деле, по отношению к К'-системе замедленно идущими оказываются теперь часы К. Лоренпево сокращение. Пусть метровый стержень покоится в К- системе (отрезок ОА иа рис. 6.20). Мировые линии его концов — это прямые От и ЛО.
Чтобы измерить длину этого стержня в К'-системе, Рис. 6.19 Рис. 6.18 надо зафиксировать координаты его концов одновременно в этой системе. Но в К'-системе одновременным с событием О (фиксированием левого конца стержня) является событие В' — точка пересечения мировой линии правого конца стержня с линией одновременности Ох'. Из диаграммы видно, что в К'-системе ОВ'<ОЛ', т. е. дан. жушнйся относительно Кчсистемы стерв'ень будет короче метра. Так же просто можно показать, что и лоренпево сокращение является обратимым. Если метроный стержень покоится в К'-системе (отрезок ОА'), то, проведя мировые линии его концов в этой системе (От' н Л'В), увидим, что в К-системе при одновременном измерении координат его коннов отрезок ОВч.,ОЛ, т. е, по отношению к К.
системе лореппево сокращсние будет испытывать Кпстержеиь. Задачи ° 6.1. Преобразование длины. В К-системе отсчета находится неподвижный стержень длины 1= 1,00 м, ориентированный под углом 0= 45' к оси Ох (рис. 62!). Найти его длину 1' и соответствующий угол 0' в К'-системе, движушейся относительно К-системы со скоростью У=.с12 вдоль оси Ох, Р е ш е н н е. Длина стержня в К'-снстеме 1' = — ') (йх')з+ (ду')з = у~(зх)з (1 — рз) -1- (Ьр)з, где 6= г1с. Имея в виду, что Ах=1 соз 0 и Лу=( зш О, получим 203 Р=( г — тл.ц-ьн Угол 0' в К'-спстеме найдем через тангенс: Лр' Пр 12 26 тйа = —,= = .
=),(55. лл' плэ ! — Рз Р ! — Рз Отсюда 0'=49', Следует обратить внимание на то, что полученные результаты не зависят от направления скорости К'-системы: она может двигаться илн в положительном направлении оси х, или в противоположном. д .6 А1Х=!) 0 0' Рис. 6.20 Рнс. 6.2! ° 6.2. Собственная длина. Стержень движется вдоль линейки с некоторой постоянной скоростью. Если зафиксировать положение обоих концов стержня одновременно в системе отсчета, связанной с линейкой, то разность отсчетов по линейке Ах~=4,0 и. Если же положение обоих концов зафиксировать одновременно в системе отсчета, связанной со стержнем, то разность отсчетов по той же линейке Ьхз=9,0 м. Определить собственную длину !ч стержня и его скорость о относительно линейки, Р е ш сии е.
Ясна, что в первом случае Лл, = 1о)Г! — Рз, где р — скорость стержня (в единицах скорости света). Во втором же случае (а — это измеренная в системе отсчета, связанной со стержнем, длина участка движущейся линейки, собстненный размер ко. торого (участка) равен Ьхз. Поэтому 10 = Пхзтг! — рз .
Из этих двух формул легко найти, что 1з =- у' Ьх! ахз = 6 м, й = ту! — пх,увхз ж 0,75 или о=0,75 с. 204 й)6.3, Йреобразование времени. Две нестабильные частица движутся в К-системе отсчета по некоторой прямой в одном направлении с одинаковой скоростью о=0,990 е. Расстояние между частицами в этой системе отсчета 1= !2 м. В некоторый момент обе частицы распались одновременно в К'-системе отсчета, связанной с ними. Найти: !) промегкуток времени между моментами распада обеих частиц в исходной К.системе отсчета; 2) какая частица распалась позже в К-системе. Решен не.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
