1611143554-2751c415c5775cb40b07ebcab0fe74f2 (825015), страница 22
Текст из файла (страница 22)
4.14 значения от 0 до и. Возможные же значения угла рассеяния налетающей частицы д, и угла разлета частиц 8 будут такими: а) т,(ш, 0(Э, (и 9) и/2 б) т~=тз 0(Э~ <и/2 б=п/2 в) т,)т, 0(Э, (Э,„,„, 8(п/2 Здесь б~,„,— предельный угол. Он определяется формулой з)п Р, „,„,=тт/лт„ (4.67) которая непосредственно следует из рис. 4.14, в: ейп Э,„,„,= ОС'/АО =ОВ/АО =ш~т,. Кроме того, обнаруживается еще один интересный факт.
В последнем случае (т~>тз) под одним и тем же углом 0~ возможно рассеяние частицы пг, как с импульсом АС, так и с импульсом АО /рис. 4.14, в), т. е. в этом случае решение неоднозначно. Аналогично обстоит дело и с частицей ть И наконец, из той же векторной диаграммы импульсов можно найти связь между углами 0~ и О. 119 Этим исчерпываются сведения, которые можно получить о данном процессе, исходя из одних только законов сохранения импульса и энергии. Мы видим, таким образом, что уже сами по себе законы сохранения импульса и энергии действительно позволяют сделать ряд важных заключений о свойствах рассматриваемого процесса.
При этом особенно существен тот факт, что эти свойства имеют общий характер, т. е. совершенно не зависят от рода взаимодействия частиц. Следует, однако, обратить внимание на одно принципиальное обстоятельство. Векторная диаграмма импульсов, в основе которой лежат заковы сохранения импульса и энергии, давая нам полную картину всех возможных случаев разлета частиц после столкновения— результат сам по себе весьма существенный, — совершенно не говорит о том, какой из этих возможных случаев реализуется конкретно. Для установления этого необходимо обратиться к более детальному рассмотрению процесса столкновения с помощью уравнений движения.
При этом выясняется, например, что угол рассеяния б| налетающей частицы зависит от характера взаимодействия сталкивающихся частиц и от так называемого прицельного параметра", неоднозначность же решения в случае нт,>птх объясняется тем, что один и тот же угол рассеяния д, может реализоваться при двух значениях прицельного параметра, причем независимо от закона взаимодействия частиц. Указанное обстоятельство представляет собой очень характерную и принципиальную черту законов сохранения вообще.
Законы сохранения никогда не дают и не могут дать однозначного ответа на вопрос о том, чтб произойдет. Но если, исходя из каких-либо других соображений, можно указать, чгб именно должно произойти, го законы сохранения дают ответ на вопрос, как это должно произойти. Неупругое столкновение Это такое столкновение, в результате которого внутренняя энергия разлетаюгцнхся частиц (яли одной из них) изменяется, а следовательно изменяется и суммарная кинетическая энергия системы Поответствуюшее прирашение кинетической энергии системы принято обозначать через с,Г. В зависимости от знака Я неупругое столкновение называют э к з о э н е р г е т и ч е с к н м Я)0) нли эндоэнергетнческим Я<0).
В первом случае * Прицельный параметр — это расстояние между пря. мой, вдоль которой наоравлен импульс налетаюшей частицы, н частицей, с которой происходит «столюювение». 120 кинетическая энергия системы увеличивается, во втором — уменьшается При упругом столкновении, разумеется, 9=0. Наша задача: найти нозможные импульсы частиц после неупругого столкновения. Этот вопрос наиболее просто решается в ((-системе, Согласно условию, приращение суммарной кнветической энергии системы в данном процессе Т Т .†.
1;1. (4.66) Так как в данном случае Т'~ Т, то это означает, согласно (4.61), что импульсы частиц после столхновения изменятся по модулю. Импульс каждой частицы после столкновения р' легко найти, заменив Т' в (4.66) его выражением у=р"(29. В результате получим р =У26(т+а). (4.69) Рнс. 4.15 1))1 Теперь рассмотрим тот же вопрос н К-системе отсчета, где частица массы ш1 с импульсом р~ ис.
пытывает столкнопение с похоя *- л щейся частицей массы тз. Лля определения возможных случаев разлета частиц после столкновения здесь также полезно воспаль. !Я Р. зоваться векторной диаграммой -т импульсов. Ее построение впало- л а гично тому, как это было сделано для упругого столкновения. Им. пульс налетающей частицы р~= =АВ (рис. 4.!5) делят точкой О иа две части, пропорциональные массам частиц (АО: ОВ=т1.тз). Затем из точки О проводят окружность радиуса р', определяемого формулой (4.69).
Эта окружность и является геометрическим местом точек всех нозможных положений вершины С треугольннка импульсов АВС, стороны АС и СВ которого равны импульсам соответству. ющих частиц после столкновения Отметим, что теперь в отлише от упругого столкновения точка  — конец вектора рг — не лежит на окружности, а именно: при Г))0 эта точка находится внутри окружности, а при О<0 — вне ее.
Рис. 4.15 соответствует последнему случаю — эндоэнергетическому столкновению. Порог. Существует много неупругих столкновений, в которых внутренняя энергия частиц способна изменяться только на совершенно определенную величину, зависящую от свойств самих частиц (тако. вы, например, псупругнс столнповеавя атомов и молекул). Несмотря на это, экзоэнергетические столкновения (Я)0) могут происходить при сколь угодно малой кинетической энергии налетающей частицы. Эндоэнергетические же процессы [9<0) в таних случаях обладают ц о р о г о м.
Порогом называют минимальную кинетическую энергию налетающей частицы, начиная с которой данный процесс становится энергетичесни возможным. Итак, пусть нам необходимо осуществить такое эндоэиергетическое столкновение, в котором внутренняя энергия частиц способна получить приращение не меньше некоторого значения ) О(. При каком условии такой процесс окажется возможным? Этот вопрос наиболее просто решается также в х(.системе, где ясно, что суммарная нинетичесивя энергия й частиц до столкновения и!+ иг иг (4.70) Это и есть та порогован кинетическая энергия налета!ошей частицы, начиная с которой данный эндоэнергетическнй процесс становится энергетически возможным. Заметим, что формула (4.70) играет большую роль особенно в атомной и ядерной физике. С помощью ее определяют как порог различных эндоэиергетических процессов, так и соответствующее им значение энергии !Я(. Задачи ° 4.!.
Работа и мощвость. Камень массы и бросили с поверхности Земли под углом а к горизонту с начальной скоростью тэ. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти мощность силы тяжести через Г секунд после начала движения, а также работу этой силы за первые ! секунд движения. Решение. Скорость камня через ! секунд после начала движения ч=ч,+и!. Мощность, развиваемая силой тяжести в этот момент, лг = и бр = т (бра + дг г) В нашем случае бра=яра соз (и/2+ и) = — Ыпа з!и а, поэтому 7!7 — ил (йгг' — о а(п и), Отсюда видно, что при г(7э=(па/й)з!па мощность 72<0, а при !)аа, наоборот, гу>0.
во всяком случае должна быть не меньше ) !4), т. е. Т))О), Отсюда следует, что существует минимальное значение T„„я= !!)), при котором кинетическая энергия системы целиком пойдет на увеличение внутренней энергии частиц, и частицы после столкновения остановятся в Й.системе. Рассмотрим этот же вопрос в К-системе отсчета, где частица массы и~ налетает ва покоящуюся частицу массы гу !,"- и,. Так как в ((-системе при Т„„, частицы после столк. новения останавливаются, то это значит, что в К-системе при д соответствующей пороговой нинетической энергии Тг„, валетающей частицы обе частицы ! после столкновения будут двн.
! ~(4! гаться как единое целое, при- чем с суммарным импульсом, г равным импульсу рг налетаю. шей частицы, и кинетической энергией рР/2(тг+из), Поэтому Тт кар = ! !З(+ рг(2 (и!+ иг). г А так как Т,,р —— Тоа(2иь то, исключив р~а из этих двух уравнений, получим Работа силы тяжести за первые ! секунд А = ~ Д! д! = ту! (Я2 — оо з1п а) . о Графики зависимостей У(!) и А(1) показаны на рис. 4.!б. ° ) 4.2. Консервативность сил поля. Имеются два стационарных силовых поля: 1) Г= ау!; 2) Г=ах!+Ьуз, где 1, ) — орты осей х и у; а и Ь вЂ” постоянные. Консервативны ли силы этих полей? Р е ш е н и е.
Найдем работу силы каждого поля на пути от некоторой точки 1 (хь у,) до некоторой тачки 2 (х„уз): х, !) ЬА=Гдг =ау 1дг=аудх, А=а) удх; х, 2) ЬА =- (ах ! + Ьу 1) дг = — ах дх+ Ьу ду, хв а А=а) хдх+Ь ) уду. В первом случае интеграл зависит от вида функции у(х), т. е. от пути, поэтому первая сила неконсервативиая.
Во втором же случае оба интеграла не зависят от пути: они зависят только от координат начальной и конечной тачек пути, следовательно, вторая сила консервативная. ° 4.3. Потенциальная энергия частицы в поле. Сила, действующая на частицу в некотором поле консервативных сил, имеет вид Г=а(у!+к!), где а — постоянная, 1 и ! — орты осей х и у. Найти потенциальную энергию У(х, у) частицы в этом поле. Р е ш е н и е.
Вычислим элементарную работу силы Г на перемещении дг и представим ее, согласно (4.14), в виде убыли некоторой функции (1. Эта функция и есть потенциальная энергия частицы в данном поле. Итак, ЬА = Г дг =а(у дх+х ду) = — д( — аху). Отсюда (У(х, у) = — аху+сопз1. ° 4.4. О разных подходах к решению. Шарик массы т подвесилн на упругой невесомой пити, жесткость которой и. Затеи шария подняли так, чтобы нить оказалась н недеформированном состоянии, и без толчка отпустили. Найти максимальное удлинение х, нити в процессе движения шарика.
Р е ш е и н е. Рассмотрим три эквивалентных способа решения, основанных на энергетических соображениях. 1. Исходим из уравнения (4.29): приращение кинетической энергии шарика должно быть равно алгебраической сумме работ всех снл, действующих на него. В нашем случае это сила тяжести ту и упругая сила со с~проны нити Егт,— — их, где х — удлинение нити. В начальном и конечном положениях шарика его кинетическая эиер.
гия равна нулю (ясно, что при максимальном растяжении нити ша- 123 рик остановится), поэтому, согласно (4.29), сумма работ А„+ +Арча О, или .ет глйхт+ ~ ( — »х) бх = тйхт — »хз,/2 =0. о Отсюда х„= 2ту/к. 2. Можно рассматривать шарик в поле тяжести Земли. При таком подходе следует говорить о полной механической энергии шарика в поле тяжести Земли.
Приращение этой энергии, согласно (4.31), равно работе сторонних сил. В данном случае сторонней силой надо считать силу упругости, приращение же полной механической энергии шарина равно приращению талька его потенциальной энергии в поле тяжести Земли. Поэтому дЕ = Π— тух = ) ( — »х) с1х = — »хв/2. а Отсюда тот же результат для х„. Заметим, что можно была бы поступить и наоборот, т. е. рас. сматрнвать шарик в поле упругой силы, тогда роль сторонней силы играла бы сила тяжести.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
