1611143554-2751c415c5775cb40b07ebcab0fe74f2 (825015), страница 19
Текст из файла (страница 19)
При конечном же перемещении Аьз — — — п(/зз. Рассмотрим теперь систему из трех частиц. (Полученный в этом случае результат легко обобщить и на систему из произвольного числа частиц.) Работа, которую совершают все силы взаимодействия при перемещении всех частиц, может быть представлена как алгебраическая сумма работ всех трех пар сил взаимодействий, т. е.
А=Азл+А, з+Азл. Но для каждой пары этих сил, как только что было показано, Ам= — Ь(1зз, поэтому д((узз+(узз+(узз)= а(1 з где функция У, з — собственная потенциальн а я э н е р г и я данной системы частиц: (' соз = (узз+ (узз + (узз Так как каждое слагаемое этой суммы зависит от расстояния между соответствующими частицами, то очевидно, что собственная потенциальная энергия данной системы зависит от относительного расположения частиц (в один и тот же момент), или, другими слорами, от конфигурации системы. Ясно, что подобные рассуждения справедливы и для системы из любого числа частиц.
Поэтому можно утверждать, что каждой конфигурации системьз частиц присуще свое значение собственной потенциальной энергии и работа всех внутренних центральньзх (консервативных) сил при изменении этой конфигурации равна убыли собственной потенциальной энергии система; !ОЭ ) А,„г,„=У„,~ — сг' „а= — дог'„в, ~ (4,33) где (/~ а и (/зсоб — значения собственной потенциальной энергии системы в начальном и конечном состояниях. Мы видим, таким образом, что суммарная работа внутренних центральных сил не зависит от того, как конкретно система переходит от конфигурации т' к конфигурации 2. Данная работа определяется исключительно самими конфигурациями системы.
Все это позволяет дать более общее определение консервативных сил: консервативными называют силы, зависящие только ог конфигурации системы и суммарная работа которых не зависит ог «путал перехода, а определяется только начальной и конечной конфигурациями системы. Собственная потенциальная энергия системы — величина не аддитивная, т. е. она не равна в общем случае сумме собственных потенциальных энергий ее частей. Необходимо учесть еще потенциальную энергию взаимодействия (г'„ отдельных частей системы: и„,='~ (у„+ (у„„ (4.34) (4 35) где ст, — потенциальная энергия азаимодейстаия г-и частицы со все. ми остальными частицами системы.
Здесь сумма берется по всем частицам системы. Убедимся в справедливости этой формулы сначала для системы из трех частиц. Выше было показано, что собственная потенпиальная энергия данной системы () лэ= Игл-Ь()гэ + ()лэ. Преобразуем зту сум му следующим образом Представим каждое слагаемое Кл а симметричном виде; (),л= (О л+(ул ))2, ибо ясно, что (у,л =()л,. Тогда 1 бг„е = — (бг„+ (у„+ бг„+ бг„+ и„+ (г„). со Сгруппируем елены с одинаковым первым иадексом; 104 где (У„ — собственная потенциальная энергия и-й части системы. Следует также иметь в виду, что собственная потенциальная энергия системы, как и потенциальная энергия взаимодействия каждой пары частиц, определяется с точностью до произвольной постоянной. В заключение приведем полезные формулы для расчета собст. венной потенциальной энергии сисгемы Прежде всего покажем, что эта энергия может быть представлена как 1 Сусоб =, ((ьт12+ ьт13) + (('2 + с'23) + (('31+ ьГ32)1.
2 Каждая сумма в круглых скобках представляет собой потенциаль ную энергию И, взаимодействия 1.й частицы с остальными двумя. Поэтому последнее выражение можно переписать так: з 1 1 %( (Гс„-= — (иг + (Гз+ (Гз) = — Р (Г;, 2 2 что полностью соответствует формуле (4.35). Обобщение полученного результата на произвольную систему очевидно, ибо ясно, что подобные рассуждения совершенно не зази. сят от числа частиц, составляющих систему. Для системы, взаимодействие между частицами которой носит гравитационный или кулоновский характер, формулу (4.35) можно преобразовать и к другому виду, воспользовавшись понятием потев пиала. Заменим в (4.35) потенциальную энергию 1-й чаетицы выРа.
женнем У,=шгсго где ш; — масса (заРЯД) 1-5 частиЦы, а сг~ — по. тенциал, созлаваемый всеми остальными частицами системы в точке нахождения 1-н частицы. Тогда 1 %') с (4.35) Если массы (заряды) распределены в системе непрерывно, то сум. мировзпис сводится к интегрированию: 1 г 1 Г сг = —, 1тбш —.— 1трЛ', соб— (4. 37) где р — объемная плотность массы (заряда), й)г — элемент объема. Здесь интегрнронание проводится по всему объему, занимаемому массами (зарядами).
«Внешняя» потенциальная энергия системы. Рассмотрим случай, когда система находится во внешнем стационарном поле консервативных сил. В этом случае каждая частица системы будет характеризоваться своим значением потенциальной энергии (/1 в данном поле, а вся система — величиной имм.='» и,. (4.88) Эту величину мы и будем называть «внешней» потенциальной энергией системы в отличие от (l б — собственной потенциальной энергии, зависящей только от взаимодействия частиц системы между собой.
Согласно (4.10), убыль потенциальной энергии каждой частицы во внешнем поле равна работе силы данного поля на соответствующем перемещении, поэтому убыль 105 Бенеш всей системы равна А„„,н — алгебраической сумме работ всех сил внешнего поля, действующих на все частицы системы: Аннею ~~~внее1 ~ 1- =- (4.39) Получим полезную формулу для вычисления внешней потенциальной энергии системы, находящейся в о днородном силовом поле. Пусть, например, это будет поле тяжести, где на 1-ю частицу системы действует сила гп;д. В этом случае потенциальная энергия данной частицы, согласно (4.!3), есть т,аль где г;— вертикальная координата частицы, отсчитанная от некоторого произвольного уровня О Тогда потенциальная энергия всей системы во внешнем однородном поле (собственная потенциальная энергия нас сейчас не интересует) может быть записана так: у,„',в,='~~~т,да;=(в~втек,) д.
Сумма, стоящая в скобках, в соответствии с (3.8) есть не что иное, как произведение массы т всей системы на вертикальную координату гс центра масс данной системы, т. е.~т;г,=тзс. Поэтому выражение для Увнещ можно переписать в окончательном виде: (уенев Гпа ~се (4.40) т. е. потенциальная энергия системы во внешнем однородном поле тяжести равна произведению массы и системы на д и на вертикальную координату зс ее центра масс. Приращение величины У,н, при перемещении системы определяется формулой ~~('внеы 'Пэ басе (4.41) 5 4Л.
Закон сохранения механической энергии системы Диссипативиые силы. Помимо разделения всех сил на внешние и внутренние (в зависимости от выбора системы частиц), силы, как мы уже знаем, принято подразделять на консервативные и неконсерват ив н ы е (в зависимости от их природы). 106 где Лгс — приращение вертикальной координаты центра масс данной системы частиц.
К неконсервативным силам относятся так называемые диссипатнвные силы — это силы трения и сопротивления. Любая диссипатпвная сила может быть представлена в виде (4.42) Г= — л(о) ч, (4.43) Учтем, что Гз=Гь ч,— ч|=ч — скорость тела 1 относительно тела 2, а также то, что Г|= — 'нч. Тогда выражение для работы преобразуется так: ЬА:"'=Г,(ч,— ч,) б1= — 'лччИ= — восбг.
Отсюда видно, что работа произвольной пары внутренних диссипативных сил взаимодействия всегда отрицательна, а значит, и суммарная работа всех пар внутренних диссипативных снл также всегда отрицательна, причем в любой системе отсчета. Кинетическая энергия системы. Согласно (4.28), приращение кинетической энергии каждой частицы равно работе всех сил, действующих на частицу: йТ;=А,. Поэтому работу А, которую совершают все силы, действующие на все частицы системы, при изменении ее состояния, 107 где ч — скорость данного тела относительно другого тела (или среды), с которым оно взаимодействует; й(и) — положительный коэффициент, зависящий в общем случае от скорости и.
Сила Г всегда направлена противоположно вектору ч. В зависимости от выбора системы отсчета работа этой силы может быть как положительной, так и отрицательной. Однако, как мы сейчас покажем и что будет важно для дальнейшего, суммарная работа всех внутренних диссипативных сил в системе — величина всегда отрицательнал независимо от системы отсчета: Адис ( (), Переходя к доказательству, отметим прежде всего, что внутренние дисснпативные силы в данной системе будут встречаться попарно, причем в каждой паре, согласно третьему закону Ньютона, они одинаковы по модулю н противоположны по направлению.
Найдем элементарную работу произвольной пары диссипативных сил взаимодействия между телами 1 и 2 в системе отсчета, где скорости этих тел в данный момент равны ч, и ч;. 6А~ис Г, ч, бГ+Гз ч, Й. можно записать так: А= ~ч'„,А,=,Рсйт;=Л ~~Та илн А=ЬТ, Т=~,то (4А4) где Т вЂ” суммарная кинетическая энергия системы. Итак, приращение кинетической энергии системы равно работе, которую совершают все силы, действуюи(ие на все частицы системы: (4.45) Заметим попутно, что кинетическая энергия системы— величина аддитивналр она равна сумме кинетических энергий отдельных частей системы независимо от того, взаимодействуют они между собой или нет. Уравнение (4.45) справедливо как в инерциальных, так и в неииерциальных системах отсчета.
Следует только помнить, что в неинерциальных системах отсчета кроме работ сил взаимодействия необходимо учитывать и работу сил инерции. Полная механическая энергия системы. Только что было показано, что приращение )зт кинетической энергии системы равно работе, которую совершают в с е силы, действующие на в с е частицы системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
