1611143554-2751c415c5775cb40b07ebcab0fe74f2 (825015), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Скалярное произведение гс)г=г(с(г),, где (с)г)„ — проекция с(г на вектор г. Эта проекция равна бг †приращен модуля вектора г. Поэтому гс)г=гс(г и ВА= — хг бг= — с)(хгх12). Теперь вычислим работу данной силы на всем пути, т. е. проинтегрируем последнее выражение от точки 1 до точг: Работа гравитационной (или кулоновской) силы. Пусть в точке О (рис, 4.3, б) находится неподвижный силовой центр — материальная точка, действующая на частицу М с силой Г, которая как для гравитационного, так и для кулоновского взаимодействий может быть представлена в виде Г=(а/гх) е„ где а — соответствующая постоянная ( — ут,тз или йд,д,), г — расстояние от точки О до частицы М, е„— орт радиуса-вектора г. Элементарная работа этой силы на перемещении бг 8А=Г бг=(а1г') е,бг.
Скалярное произведение е бг= дг, т. е. равно приращению модуля вектора г, поэтому. 8 А = а б г/гз = — б (а1г) . Работа же этой силы на всем пути от точки 1 до точки 2 А= — ~д ( — )=— 1 (4.4) и Работа однородной силы тяжести Г=тй. Запишем эту силу в виде Г= — гпдй, где Рис. 4.4 к — орт вертикальной оси в, положительное направление которой выбрано вверх (рис. 4.4).
Элементарная работа силы тяжести на перемещении бг 8А=Гдг= — тдй бг. Скалярное произведение йбг= (бг)ю где (дг)ь — проекция дг на орт к, равная бг — приращению координаты г. Поэтому кот= бг и 8А= — тй да= — д(тйа). Работа же данной силы на всем пути от точки 1 до точ- ки 2 А= — ~ б (тра)=тй' (а,— в,). ! (4Л) Рассмотренные силы интересны в том отношении, что их работа, как видно из формул (4.3) — (4.5), не зависит зт формы пути между точками 1 и 2, а зависит только от толожения этих точек. Эта весьма важная особенность данных сил присуща, однако, не всем силам. Например, ила трения этим свойством не обладает: работа этой :илы зависит не только от положения начальной и котечной точек, но и от формы пути между ними, 87 До спх пор речь шла о работе одной силы.
Если же на частицу в процессе движения действуют несколько сил, результирующая которых Г=Г,+Г,+..., то нетрудно показать, что работа результирующей силы Г на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил в отдельности ва том же перемещении. Действительно, А=~(Г,+Ге+...) Йг=~Г,дг+ + ~Гзбг+...=А,+А +.... (4.6) Единицей работы в СИ является джоуль (Дж). Джоуль — это работа силы в 1 Н на пути в 1 м (при условии, что направление силы совпадает по направлению с перемещением), или 1 Дж=! Н м. Мощность.
Для характеристики скорости, с которой совершается работа, вводят величину, называемую мощ ность ю. Мощность, по определению,— это работа, совершаемая силой за единицу времени. Если за промежуток времени о/ сила Г совершает работу Гдг, то мощность, развиваемая втой силой в данный момент времени, есть Ж=Гс1г/й. Учитывая, что бг/с1/=ч, получим (4.7) Таким образом, мощность, развиваемая силой Г, равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения данной силы.
Как и работа, мощность — величина алгебраическая. Зная мощность силы Г, можно найти н работу, которую совершает эта сила за промежуток времени /. В самом деле, представив подынтегральное выражение в (4.2) в виде Гс1г=Гчб/=Л'ш, получим с А= ~ /ч б/. о Единицей мощности в СИ является ватт (Вт), рав. ный джоулю в секунду (Дж/с). В заключение обратим внимание на одно весьма существенное обстоятельство. Когда говорят о работе (илн мощности), то необходимо в каждом конкретном случае четко указывать или представлять себе, работа какой 88 именно силы (или сил) имеется в виду.
В противном случае, как правило, неизбежны недоразумения. й 4.2. Консервативные силы. Потенциальная энергия Консервативные силы. Если в каждой точке пространства на помещенную туда частицу действует сила, то говорят, что частица находится в п о л е с и л. Так, например, частица может находиться в поле сил тяжести, в поле упругих сил, в поле снл сопротивления (в потоке жидкости, газа) и т. д. Рнс. 4.6 Рис. 4.о Поле, остающееся постоянным во времени, называют с т а ц и о н а р н ы м.
Стационарное поле в одной системе отсчета может оказаться нестационарным ч другой системе отсчета. В стационарном силовом поле сила, действующая на частицу, зависит только от ее положения. Работа, которую совершают силы поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2, зависит, вообще говоря, от пути между этими точками. Вместе с тем имеются стационарные силовые поля, в которых работа, совершаемая над частицей силами поля, не зависит от пути между точками 1 и 2. Силы, обладающие таким свойством, называют к он сер в а т и в ными.
Это свойство консервативных снл можно сформулировать и ина че: силы поля являются консервативными, если в стационарном слу чае их работа на любом замкнутом пути равна нулю Чтобы убе. диться а этом, разобьем произвольный замкнутый контур на двв части: та2 н 2И (рис. 4.5Е Тогда работа А на замкнутом пути А = Атак + "зи Нетрудно сообразить, что Ать~= — А~ми поэтому А =.- Атак — Атак. А твн нвн в нашем случае работа не зависит от пути, т. е, Амз =.-Лс,м то в результате и оназывзетсн, что работа на произвольном замкнутом пути действительно равна нулю: А=о Все силы, не являющиеся консервативными, называют н е к о н с с р в а т и в н ы м и. К числу неконсервативных сил относятся, например, силы трения и сопротивления.
Работа этих сил зависит, вообще говоря, от пути между начальным и конечным положениями частицы (и не равна нулю на любом замкнутом пути). Поле центральных сил. Всякое силовое поле вызывается действием определенных тел. Сила, действующая на частицу М в таком поле, обусловлена взаимодействием этой частицы с данными телами. Силы, зависящие только от расстояния между взаимодействующими частицами и направленные по прямой, проходящей через эти частицы, называют це н т р а л ь н ы м и. Примером последних являются силы гравитационные, кулоновские и упругие.
Центральную силу, действующую на частицу М со стороны частицы О, можно представить в таком виде: Г = 7 (и) е„ (4.8) где )(и) — функция, зависящая при данном характере взаимодействия только от г — расстояния между частицами; е,— единичный вектор, задающий направление радиуса-вектора частицы М относительно частицы О (рис. 4.6) . Оказывается, центральные силы являются консервативными. Для доказательства этого утверждения найдем сначала работу центральной силы в случае, когда силовое поле вызвано наличием одной неподвижной частицы О. Элементарная работа силы (4.8) на перемещении дг есть 6А=Гбг=)(г)е„дг. Так как е,с(г=с)г — проекция вектора бг на вектор е„или на соответствующий радиус- вектор г (см. рис, 4.4), то 6А=)(г)бг. Работа же этой силы на произвольном пути от точки 1 до точки 2 г Атг = ~ У (и) бг. 1 Полученное выражение зависит только от вида функции )(г), т.
е. от характера взаимодействия, и от значений г1 и и,— начального и конечного расстояний между частицами М и О. От пути оно никак не зависит. Обобщим полученный результат на стационарное силовое поле, вызванное наличием совокупности неподвиж- 90 о А~о = ) г бг = сУ (г), > (4.9) Функцию У(г) называют потенциальной э пер г не й частицы в данном поле. Найдем работу сил поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2 (рис. 4.7). Так как работа не зависит от пути, выберем путь, проходящий через точку О. Тогда работа на пути 102 может быть представлена в виде Аи= А1о+ Асо = А1о — Аэо, нли с учетом (4.9) (4,10) иых частиц, действующих на частицу М с силами Гь Гь ..., каждая из которых является центральной.
В этом случае работа результирующей силы при перемещении частицы М из одной точки в другую равна алгебраической сумме работ отдельных снл. А так как работа каждой из этих сил не зависит от пути, то и работа результирующей силы также не зависит от пути. Вывод: поскольку центральные силы обладают таким свойством, они являются консервативными.
Потенциальная энергия частицы в поле. То обстоятельство, что работа консервативных сил в случае стационарного , 1 поля зависит только от начально- 2 го и конечного положений частицы, дает возможность ввести чрезвычайно важное понятие потенциальной энергии. Представим себе стационарное О поле консервативных сил, в котором мы перемещаем частицу из Рис. 4.7 разных точек Рс в некоторую фиксированную точку О. Так как работа сил поля не зависит от пути, то остается зависимость ее только от положения точки Р (при фиксированной точке О).
Л это значит, что данная работа будет некоторой функцией радиуса-вектора г точки Р. Обозначив эту функцию У(г), за- пишем Выражение, стоящее справа, есть у б ы л ь а потенциальной энергии, т, е. разность значений потенциальной энергии частицы в начальной и конечной точках пути. Таким образом, работа сил полл на пути 1 — 2 равна убегли потенциальной энергии частицы в данном поле. Очевидно, частице, находящейся в точке О поля, всегда можно приписать любое наперед выбранное значение потенциальной энергии.
Это соответствует тому обстоятельству, что работа сил поля определяет лишь разность потенциальных энергий в двух точках, но не их абсолютное значение. Однако как только фиксирована потенциальная энергия в какой-либо точке, значения ее во всех остальных точках поля однозначно определяются формулой (4.10) . Формула (4.10) дает возможность найти выражение (((г) для любого стационарного поля консервативных сил. Для этого достаточно вычислить работу, совершаемую силами поля на любом пути между двумя точками, и представить ее в виде убыли некоторой функции, которая и есть потенциальная энергия О(г). Именно так и было сделано при вычислении работы в полях упругой н гравитационной (кулоновской) сил, а также в однородном поле сил тяжести (см. формулы (4.3) — (4.5)). Из этих формул сразу видно, что потенциальная энергия частицы в данных силовых полях имеет следующий вид: 1) в поле упругой силы (4.11) сэ' (г) = кгз/2; 2) в гравитационном (кулоиовском) поле материальной точки (4.12) су (г) = а!г; ч Изменение какой-либо величины Х можно характернаовать либо ее п р ар а ще пнем, либо убылью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
