1611143554-2751c415c5775cb40b07ebcab0fe74f2 (825015), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Нас интересует ускорение а' спутника в К'-снстеме. Для этого прежде всего изобразим все силы, действующие на спутник, в этой системе отсчета: силу тяготения Г, силу Корнолнса Г„гэ н центробежную силу инерции Г„, (рнс. 2.16, внд со стороны Северного полюса).
Теперь воспользуемся уравнением (2,18), считая ая=б (по условию). Спутник движется по окружности в К'-системе, поэтому запншем уравнение (2.18) в проекциях на нормаль и к траектории: лш' = à — 2гло' а — т ег г, где Р=утМ) з, т н М вЂ” массы спутника и Земли. Остается найти скорость о' спутника в К'-системе.
Для этого воспользуемся формулой (1.24) в скалярном виде ю и мг (2) где о — скорость спутникз в К-системе. Эту скорость можно определить с помощью уравнения движения спутника в К-системе: шпз/г = уш М/гз. (З) Решив совместно уравнения (1), (2) и (3), получим а' = ™ (! — мг ~/ ) .
з В частности, а'=О при г= у'ТМ/мз.=4,2!Оз км. Такой спутник называют с та ци о и а р н ы м: он н подвижен относительно поверхности Земли. Рис. 2.17 Рнс. 2,!8 ° ) 2.10. Небольшая муфта массы т свободно скоаьзит по глад. кому горизонтальному стержню, который врзщают с постоянной угтозой скоростью ю вокру" неподвижной вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Найти горизонтальную составляющую силы, действующей на муфту со стороны стержня н момент, когда она находится на расстоянии г от оси вращения. (В начальный момент муфта находилась непосредственно около оси и имела пренебрежимо малую скорость.) Р е ш е н и е. Рассмотрим движение муфты во врзщаюшейся системе отсчета, жестко связанной со стержнем.
В атой системе отсчета муфта движется прямолинейно, а зто значит, что искомая сила 1! уравновешивается силой Кориолиса (рис. 2.17, вид сверху): К = — Гкоз =2т (мт'!. Задача, таккм образом, сводится к нахождению скорости т' муфты отиоснтеиьяо стержня. Согласно (2.19), дп'/б! = Г з/т =. ьзг, Преобразуем зто уравнение, имея в виду, что б!=бг/и'. Тогда получим о'до'=магог.
Проинтегрировав последнее уравнение с учетом начальных условий (о' О, г=О), найдем в' ыг, или в векторном виде 61 (2) Подстановка (2) в (1) даст В = 2тв [ыг) . ° 2.!1. Устойчивость движения. Небольшая муфта М может скользить без трении по гладкому проводу, изогнутому в форме полуокружности радиуса г (рис. 2.18). Систему привели во вращение с постоянной угловой скоростью ю вокруг вертикальной оси 002 Найти угол Ом соответствующий устойчивому положению муфты. Решен не. Рассмотрим поведение муфты в системе отсчета, связаняой с вращающимся проводом.
Движение муфты вдоль провода будет определяться проекцией г результирующей силы на направление орта; в точке М. Из рис. 2.18 видно, что Ряс соз Э глз з!п Э где справа записаны проекции центробежной силы инерции и силы тяжести. Учтя, что гца=тюзг з)п О, перепишем предыдущее выражение так: / о.' в!пЭ (сов Э 8/мз г), Из условия равновесия (Рч =О] найдем два значения угла Ом при которых оно возможно; з!и бе=О и соа Оз=л/юзг. Первое уело. вне может быть осуществлено прн любых значениях ы, второе же— только при я/шаг<1. Таким образом, прн малых ы существует только одно положение равновесия — в нижней точке (ба=О); при больших же ы(ю)Щг) возможно н другое положение равновесия, определяемое вторым условием.
Для устойчивости определенного состояния равновесия необходимо, чтобы сила Г, нри выведении муфты из положения равновесия (в любую сторону) была направлена обратно — к положению равновесия. Другими словамн, знак Р, должен быть противоположен знаку отклонения ЛО от равновесного угла Оь При малом отклонении бб от угла Оа возннкающан сила Ьг" т может быть найдена как дифференциал выражения (1): ЬР ~ (соз Эе (соз Эв — 8/мз г) — згпдз Эс] ОЭ. В нижнем положении равновесия (бе=О) Ы . (! д/ зг)бЭ.
(2) Это положение равновесия будет устойчивым, когда выражение, стоящее в скобках, отрицательно, т. е. при се<)ГЛ/г. В другом положении равновесия (соз Оа=л/согг) аР, - — а!пз Эс ОЭ. Видно„что это положение равновесия (если оно существует) всегда устойчиво. Итак, пока существует лшнь нижнее положение равновесия (при ы<уя/г), оно всегда устойчиво.
При появлении жс другого положения равновесия (когда ю>Щг) нижнее положение, согласно (2), б2 стаиовится неустойчивым и муфта сразу пеРеходит из нижнегО по- ложеиия в верхнее, которое всегда устойчиво. Глава 3 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА 3 3.1. О законах сохранения Любое тело (или совокупность тел) представляет собой, по существу, систему материальных точек, или частиц. Если система с течением времени изменяется, то говорят, что изменяется ее с о с т о я н и е. Состояние системы характеризуется одновременным заданием положений (координат) и скоростей всех ее частиц. Зная законы действующих на частицы системы сил и состояние системы в некоторый начальный момент времени, можно, как показывает опыт, с помощью уравнений движения предсказать ее дальнейшее поведение, т. е.
найти состояние системы в любой момент времени. Так, например, решается задача о движении планет Солнечной системы. Однако детальное рассмотрение поведения системы с помощью уравнений движения часто бывает настолько затруднительно (например, из-за сложности самой системы), что довести решение до конца представляется практически невозможным.
А в тех случаях, когда законы действующих сил вообще неизвестны, такой подход оказывается в принципе неосуществимым. Кроме того, существует ряд задач, в которых детальное рассмотрение движения отдельных частиц просто и не имеет смысла (например, описание движения отдельных молекул газа). При таком положении естественно возникает вопрос: нет ли каких-либо общих принципов, являющихся следствием законов Ньютона, которые позволили бы иначе подойти к решению задачи и помогли бы в какой-то степени обойти подобные трудностиу Оказывается, такие принципы есть. Это так называемые законы сохранения. Как уже было сказано, при движении системы ее состояние изменяется со временем.
Существуют, однако, такие величины, которые обладают весьма важным и замечательным свойством сохраняться во времени. Среди этих сохраняющихся величин наиболее важную роль играют э н е р г и я, и м п у л ь с и м о м е н т и м и у л ь с а. 63 Эти три величины имеют важное общее свойство аддитивности: их значение для системы, состоящей из частей, взаимодействие которых пренебрежимо мало, равно сумме значений для каждой из частей в отдельности (впрочем, для импульса и момента импульса свойство аддитивности выполняется и при наличии взаимодействия).
Именно свойство аддитивности и придает этим трем величинам особую роль. Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса имеют, как выяснилось впоследствии, весьма глубокое происхождение, связанное с фундаментальными свойствами времени и пространства— однородностью и изотропностью. А именно: закон сохранения энергии связан с однородностью времени, а законы сохранения импульса и момента импульса — соответственно с однородностью и изотропностью пространства.
Сказанное следует понимать в том смысле, что перечисленные законы сохранения можно получить из второго закона Ньютона, если к нему присоединить соответствующие свойства сим. метрии времени и пространства. Более подробно обсуждать этот вопрос мы, однако, нс будем.
Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса относятся к числу тех фундаментальных принципов физики, значение которых трудно переоценить. Роль этих законов особенно возросла после того, как выяснилось, что они далеко выходят за рамки механики и представляют собой универсальные законы природы.
Во всяком случае, до сих пор не обнаружено ни одного явления, где бы эти законы нарушались. Они безошибочно «действуют» и в области элементарных частиц, и в области космических объектов, в физике атома и физике твердого тела и являются одними из тех немногих наиболее общих законов, которые лежат в основе современной физики. Открыв возможность иного подхода к рассмотрению различных механических явлений, законы сохранения стали весьма мощным и эффективным инструментом исследования, которым повседневно пользуются физики. Эта важнейшая роль законов сохранения как инструмента исследования обусловлена рядом причин: Е Законы сохранения не зависят ни от траекторий частиц, ни от характера действующих сил.
Поэтому они позволяют получить ряд весьма общих и существенных заключений о свойствах различных механических процессов, не вникая в их детальное рассмотрение с помощью уравнений движения. Если, например, выясняется, что такой-то процесс противоречит законам сохранения, то сразу можно утверждать: этот процесс невозможен, и бессмысленно пытаться его осуществить. И й 3.2.
Импульс системы Импульс частицы. По определению, и м п у л ь с ч а стицы* р =ттг, где т и ч — ее масса и скорость. Воспользовавшись понятием импульса, запишем основное уравнение динамики (2.6) в иной форме: ~ "Ртчзс=" ~ (3 1) т. е. производная импульса материальной точки по времени равна действующей на нее силе. В частности, если Г=О, то р=сопз(.
Заметим, что в неинерциальной системе отсчета сила Г в (3.!) включает в себя не только силы взаимодействия данной частицы с другими телами, но и силы инерции. * Другое название этой величины — количество дан же н и и. 2. Тот факт, что законы сохранения не зависят от характера действующих сил, позволяет использовать пх даже тогда, когда силы вообще неизвестны. В этих случаях законы сохранения являются единственным и незаменимым инструментом исследования. Так, например, обстоит дело в физике элементарных частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
