1611143554-2751c415c5775cb40b07ebcab0fe74f2 (825015), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Приведем выражения для этих снл в самом простом виде, когда взаимодействующие массы (заряды) покоятся или движутся с малой (нерелятивистской) скоростью. Сила гравитационного притяжения, действующая между двумя материальными точками. В соответствии с з а коном всемирного тяготе ни я эта сила пропорциональна произведению масс точек лт1 и ть обратно пропорциональна квадрату расстояния т между ними и направлена по прямой, соединяющей эти точки; т1 ит (2.8) гз где у — гравитационная постоянная.
Фигурирующие в этом законе массы называют гравитационными в отличие от инертной массы, входящей во второй закон Ньютона. Из опыта, однако, установлено, что гравитационная и инертная массы любого тела строго пропорциональны друг другу. Поэтому можно считать их равнымн (т. е. выбрать один и тот же эталон для измерения обеих масс) и говорить просто о м а с се, кото- 43 рая выступает как мера инеРтности тела нли Как мера гравитационного действия. Кулоновская сила, действующая между двумя точечными зарядами дг и да. ю й!Ч)М га (2.9) где г — расстояние между зарядами, й — коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц. В отличие от гравитационной силы кулоновская сила может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания.
Заметим, что закон Кулона (2.9) перестает выполняться точно, если заряды движутся. Электрическое взаимодействие движущихся зарядов оказывается сложным образом зависящим от их движения. Одну из частей этого взаимодействия, обусловленную движением, называют магнитной силой (отсюда и другое название данного взаимодействия — электромагнитное), При малых (нерелятивнстскнх) скоростях магнитная сила составляет пренебрежимо малую часть электрического взаимодействия и оно с высокой степенью точности описывается законом (2.9).
Несмотря на то, что гравитационные и электрические взаимодействия лежат в основе всего бесчисленного разнообразия механических явлений, анализ явлений, особенно макроскопич ских, оказался бы весьма сложным, если бы во всех случаях мы исходили из этих фундаментальных взаимодействий. Поэтому удобно ввести другие, приближенныс, силы (которые в принципе могут быть получены из фундаментальных сил). Это необходимо для того, чтобы упростить математически задачу настолько, чтобы ее можно было практически решить. С этой целью вводят, например, следующие силы. Однородная сила тяжести г =ту, где гп — масса тела, я — ускорение ння ".
(2.10) свободного паде- 44 ' Заметим, что в отличие от силы тяжести вес Р— ато сила, с которой тело действует на опору (или поднес), иеподвиавирю относительно данного тела. Например, если тело с опорой (подвесом )неподвижны относительно Земли, то вес Р совпадает с силой тяжести. В противном случае вес Р=т(я — а), где а — ускорение тела (с опорой) относительно Земли. Упругая сила — сила, пропорциональная смещению материальной точки нз положения равновесия и направленная к положению равновесия: (2.11) г' = — хг э где г — радиус-вектор, характеризующий смещение частицы нз положения равновесия; х — положительный коэффициент, зависящий от «упругих» свойств той или иной конкретной силы.
Примером такой силы является сила упругой деформации при растяжении (сжатии) пружины или стержня; в соответствии с законом Гука эта сила определяется как Р=кЖ, где Ы вЂ” величина упругой деформации. Сила трения скольжения, возникающая при скольжении данного тела по поверхности другого тела, гт= Иг„, (2.12) где А — коэффициент трения скольжения, зависящий от природы и состояния соприкасающихся поверхностей (в частности, от нх шероховатости); Р„ — сила нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности друг к другу. Сила г направлена в сторону, противоположную направлению движения данного тела относительно другого. Сила сопротивления, действующая на тело при его поступательном движении в газе или жидкости.
Эта сила зависит от скорости т тела относительно среды, причем направлена противоположно вектору т: Р= — йч, (2.13) где й — положительный коэффициент, характерный для данного тела н данной среды. Этот коэффициент зависит, вообще говоря, от скорости и, однако при малых скоростях во многих случаях его можно практически считать постоянным.
$ 2.4. Основное уравнение динамики Основное уравнение динамики материальной точки представляет собой не что иное, как математическое выражение второго закона Ньютона: (2.14) Уравнение (2.14) есть, по существу, дифференциальное уравнение движения точки в векторном виде. Его решение — основная задача динамики материальной точки.
При этом возможны две противоположные постановки задачи. 1. Найти действующую на точку силу Г, если известны масса т точки и зависимость от времени ее радиуса- вектора г(1). 2. Найти закон движения точки, т. е. зависимость от времени ее радиуса-вектора /г у~ г(1), если известны масса т / точки, действующая на нее //.„ / сила Г (или силы Г;) и начальные условия — скорость чс и положение гс точки в начальный момент времени. / / т В первом случае задача / сводится к дифференцирова- сс нию г(1) по времени, во ато/лл' ром — к интегрированию уравнения (2.14).
МатематиРис. 2.2 ческая сторона этого вопроса достаточно подробно была рассмотрена в кинематике точки. В зависимости от характера и постановки конкретной задачи решение уравнения (2.14) проводят или в векторной форме, или в координатах, или в проекциях на касательную и нормаль к траектории в данной точке. Выясним, как записывают уравнение (2.14) в последних двух случаях.
В проекциях на оси декартовых координат. Записывая обе части уравнения (2.14) в проекциях на оси х, у, з, получнм три дифференциалы<ых уравнения вида где Г, Гз, Г, — проекции вектора Г на оси х, у, г. Необходимо помнить, что эти проекции — величины алгебраические: в зависимости от ориентации вектора Г они могут быть как положительными, так и отрицательными. Знак проекции результирующей силы Г определяет и знак проекции вектора ускорения. Проследим на конкретном примере, в чем заключается стандартный подход к решению задач с помошью уравнений (2.15).
пример. Небольшой брусок массы т скользит вниз по наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом. Коэффициент трения равен й. Найдем ускорение бруска относительно плоскости (эта сис. тема отсчета предполагается инерциальной). Прежде всего следует изобразить силы, действующие на брусок. Это сила тяжести ей, нормальная сила реакции И со стороны плоскости и сила трения Гтр (рис. 2.2), направленная в сторону, противо. положную движению бруска. После этого свяжем с системой отсчета «наклонная плоскостьэ систему координат х, р, х.
Вообще говоря, систему координат можно ориентировать как угодно, однако во многих случаях выбор направления осей дяктуется характером движения. В нашем случае, например, заранее известно направление движения бруска, поэтому наиболее целесообразно оси координат расположить так, чтобы одна из них совпадала с направлением движения.
Тогда задача сведется к решению только одного уравнения (2.1б). Итак, выберем ось т, кан показано на рис. 2.2, обязательно указав при этом ее положительное направление (стрелкой). И только теперь приступим к составлению уравнений (2.15): слева — произведение массы гл бруска на проекцию его ускорения а„ и справа — проекции всех сил на ось х. Тогда еа„=игл +)т + Р,р .
В данном случае д,=аз)п и, л„о и Р,р,— — — Р,р, поэтому еах = ел в! п а — Р,р. Так как брусон движется только вдоль оси х, то это значит, согласно второму закону Ньютона, что сумма проекций всех сил на любое перпендикулярное оси х направление равна нулю. Взяв в качестве такого направления ось у (рис. 2.2), получим Я = ел соз и, Ртр = й)т = Фел соз а.
В результате еа„= ел з1п а — йел соз и. Если правая часть этого уравнения окажется положительной, то а )О, з это значит, что вектор а направлен вниз по наклонной плоскости, и наоборот. В проекциях на касательную и нормаль к траектории в данной точке. Запнсывая обе части (2.14) в проекциях на подвижные орты т и п (рис. 2.3) и используя полученные ранее выражения (1.10) для тангенциального н нормального ускорений, получим где Гт и Ä— проекции вектора Г на орты т и п. На рис. 2.3 обе проекции положительные. Векторы Г, н Г„называют тангенциальной и нормальной составляю!ними силы Г. Напомним, что направление орта т выбирают в сторону возрастания дуговой координаты (, а направление орта и — к центру кривизны траектории в данной точке.
Уравнениями (2.16) удобно пользоваться, если заранее известна траектория материальной точки. г Рис, 2.3 Рнс. 2.4 Пример. Небольшое тело А соскальзывает с вершины гладкой сферы радиуса г. Найдем скорость тела в момент отрыва от поверх. ности сферы, если его начальная скорость пренебрежимо мала. Изобразим силы, действующие на тело А (это сила тяжести ти и нормальная сила реакции Н), и запишем уравнения (2.!6) в про екцнях на орты т и и (рис.
2.4): ,)о з„г ач — = ел з)па, ом †.= шл соз' — )В. бг Вг Здесь индекс т несуществен, поэтому мы его опустили. Преобразуем первое уравнение к виду, удобному для ннтсгриро. валия. Воспользовавшись тем, что акт=в((о=гбо(о, где 4( — элементарный путь тела А за промежуток времени Ж, перепишем первое уравнение в виде о бо = лг з(п В ОВ. Проинтегрировав левую часть этого выражения от О до о, правую от О до О, найдем ог = 2ог (! — соз В) . В момент отрыва (с=о, поэтому второе исходное уравнение прини. мает вид ог = нг соз В, где и и 6 соответствуют точке отрыва. Исключив соя д из последних двух равенств, получим "= ~ууг/зуг, й 2.5.
Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции Основное уравнение динамики в неинерциальной системе. Ранее было отмечено, что основное уравнение динамики справедливо только в инерцнальных системах отсчета. Между тем имеется много случаев, когда решение интересующей нас задачи необходимо получить в неинерциальных системах (например, движение математического маятника в ускореяно движущемся вагоне, движение спутника относительно поверхности Земли и др.).
Поэтому возникает вопрос: как следует изменить основное уравнение динамики, чтобы оно оказалось справедливым и для неннерцнальных систем отсчета? С этой целью возьмем две системы отсчета; и н е р ц нал ьную К систему и пеннер ци ал ьную К'-систему. Пусть известны масса гп частицы, сила Г, действующая на нее со стороны окружающих тел, и характер движения К'-системы относительно К-системы. Рассмотрим достаточно общий случай, когда К'-система вращается с постоянной угловой скоростью г» вокруг оси, перемещающейся поступательно с ускорением а0 относительно К-системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
