1611143554-2751c415c5775cb40b07ebcab0fe74f2 (825015), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Запишем проекции на оси х, у, г радиуса-вектора г(1), характеризующего положение интересующей нас точки относительно начала координат О в момент г: х=х(т); у=у(1); г=г(т). Зная зависимость этих координат от времени — закон движения точки, можно найти положение точки в каждый момент времени, ее скорость и ускорение. Действительно, спроектировав (1.1) и (1.2), например, на ось х, получим формулы, определяющие проекции векторов скорости и ускорения на эту ось: и =бхг'й, где дх — проекция вектора перемещения с(г на ось х; оп Д2х а„= — = —, (1ей) л дт ага $ где с(о„— проекция вектора прирашения скорости бтт на ось х. Аналогичные соотношения получаются для у- и г-проекций соответствующих векторов.
Из этих формул видно, что проекции векторов скорости и ускорения равны соответственно первой и второй производным координат по времени. а В прилоскении ! рассмотрено движение точки в полярных коораииатаа. 13 Таким образом, зависимости хЯ, уЯ, а® по существу полностью определяют движение точки. Зная их, можно найти не только положение точки, но и проекции ее скорости и ускорения, а следовательно, модуль и направление векторов и и а в любой момент времени.
Например, модуль вектора скорости $/ г+ г+ г направление же вектора и задается направляющими косинусами по формулам созп=п /и; созр=ю„/ю; сову=О 1ю, где а, 11, у — углы между вектором и и осями х, у, з соответственно. Аналогичными формулами определяются модуль и направление вектора ускорения. Тг Рис. 1.3 Рис. 1.4 Кроме того, можно решить и ряд других вопросов: найти траекторию точки, зависимость пройденного ею пути от времени, зависимость скорости от положения точки и пр.
Решение обратной задачи — нахождение скорости и закона движения точки по заданному ускорению — проводится, как и в векторном способе, путем интегрирования (в данном случае проекций ускорения по времени), причем задача и здесь имеет однозначное решение, если кроме ускорения заданы еще и начальные условия: проекции скорости и координаты точки в начальный момент. иЕстественныйэ способ. Этот способ применяют тогда, когда траектория точки известна заранее.
Положение точки А определяют дуговой ко о рд и н а то й расстоянием вдоль траектории от выбранного начала от- 14 счета О (рис. 1.3). При этом произвольно устанавливают положительное направление отсчета координаты 1 (например, так, как показано стрелкой на рисунке). Движение точки определено, если известны ее траектория, начало отсчета О, положительное направление отсчета дуговой координаты 1 и закон движения точки, т. е, зависимость 1(1).
Скорость точки. Введем единичный вектор т, связанный с движущейся точкой А и направленный по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты! (рис. !.3). Очевидно, что т — переменный вектор: он зависит от 1. Вектор скорости ч точки А направлен по касательной к траектории, поэтому его можно представить так: ~ ч=е,ч, ~ (1.5) где о,=й/й — проекция вектора ч на направление вектора т, причем и,— величина алгебраическая.
Кроме того, (е,(=(ъ'(= Ускорение точ к и. Продифференцируем (1.5) по времени: ач игу ц с. а= — ° я+е й и + й (1.6) Затем преобразуем последний член этого выражения: й д; и з ат з пе — — — — — (1. У) Определим приращение вектора т на участке й (рис. 1.4). Можно строго показать, что при стремлении точки 2 к точке! отрезок траектории между ними стремится к дуге окружности с центром в некоторой точке О. Эту точку называют центром кривизны траектории в данной точке, а радиус р соответствующей окружности — радиусом кривизны траектории в той же точке. Как видно из рис.
1.4, угол ба= ~й(/р=)г(т1/1, от- куда !сИ/й(=1/р, причем при 61-~-О дт/1 и Введя единичный вектор п нормали к траектории в точке 1, направленный к центру 13 «рнвнзны, запишем последнее равенство в векторном виде: дт(б( = п7р. (1 8) Подставим (1.8) в (1.7) и полученное выражение— в (1.6). В результате найдем ~а= — „' т+ — п.~ (1.9) Здесь первое слагаемое называют т а н г е н ц и а л ь н ы м ускорением а„ второе— аг Ю нормальным а„: оо пз а= — ' а= — и.
т= й,' тз я= (1.10) Таким образом, полное ускорение а точки может быть представлено как сумма тангенциального и нормального ускорений. Модуль полного ускорения точки Рис. 1.5 где д — производная модуля скорости по времени. а„= оз/р = аз 1/р. В нашем случае е,=с, поэтому тангенцпальное ускорение оп йо с11 оо а = — = — — = — и. т лс Д1 Д1 Я1 Учитывая зависимость в от 1, получим йз а ==А)'1 = —.
2 )гТ В результате 1я а й1/р. 1й Пример. Точка А движется по дуге окружности радиусом р (рис. 1.5), Ее скорость зависит от дуговой координаты 1 по закону о=й71, где й — постоянная. Найдем угол а между векторами полного ускорения и скорости точки как функцию координаты 1.
Из рис. 1.5 видно, что угол а можно определить по формуле 1я а=а,/а,. Найдем а„н а,. Нормальное ускорение ф 1.2. Кинематика твердого тела Теория движения твердого тела помимо самостоятельного значения играет важную роль еще и в другом отношении. С твердым телом, как известно, может быть связана система отсчета, служащая для пространственновременнбго описания различных движений.
Поэтому изучение характера движения твердых тел равносильно, по существу, изучению движений соответствующих систем отсчета. Результаты, которые мы получим в этом параграфе, будут неоднократно использоваться в дальнейшем. Различают пять видов движения твердого тела: 1) поступательное, 2) вращение вокруг неподвижной оси, 3) плоское движение, 4) движение вокруг неподвижной точки и 5) свободное движение. Первые два движения (поступательное и вращение вокруг неподвижной оси) являются основными движениями твердого тела, Остальные виды движения твердого тела, оказывается, можно свести к одному из основных движений или к их совокупности (это будет показано на примере плоского движения). В данном параграфе будут рассмотрены первые три вида движения и вопрос сложения угловых скоростей.
Поступательное движение. Это такое движение твердого тела, при котором любая прямая, связанная с телом, все время остается параллельной своему начальному положению. Например, вагон, движущийся по прямому участку пути; кабина колеса обозрения и др. Прн поступательном движении все точки твердого тела совершают за один и тот же промежуток времени равные перемещения.
Поэтому скорости и ускорения всех точек тела в данный момент времени одинаковы. Это обстоятельство позволяет свести изучение поступательного движения твердого тела к изучению движения отдельной точки тела, т. е. к задаче кинематики точки. Таким образом, поступательное движение твердого тела может быть полностью описано, если известны зависимость от времени радиуса-вектора г(1) любой точки этого тела и положение последнего в начальный момент. Вращение вокруг неподвижной оси. Пусть твердое тело, вращаясь вокруг неподвижной в данной системе отсчета оси 00', совершило за время б1 бесконечно малый поворот. Соответствующий угол поворота будем характеризовать вектором д~р, модуль которого равен углу поворота, а направление совпадает с осью 00', причем 17 так, что направление поворота отвечает правилу и р а в ого винта по отношению к направлению вектора Фр (рис.
1.6). Теперь найдем элементарное перемещение любой точки А твердого тела при таком повороте. Положение точки А зададим радиусом-вектором г, проведенным из некоторой точки О на оси вращения. Тогда линейное перемещение конца радиуса-вектора г (рис. 1.6) связано с углом поворота г[ф соотношением [дг [=к з[п Ьбчг, илн в векторном виде (1.12) бг=[бф, г). (1.11) Отметим, что это равенство справедливо лишь для бесконечно малого поворота с[ф.
Другими словами, тольРис. 1.6 ко бесконечно малые повороты можно рассматривать как векторы ". Кроме того, введенный нами вектор бф удовлетворяет основному свойству векторов — векторному сложению. В самом деле, представим себе, что твердое тело совершает два элементарных поворота дф, и г[фз вокруг разных осей, проходягцих через неподвижную точку О. Тогда результирующее перемещение г[г произвольной точки А тела, радиус-вектор которой относительно точки О равен г, можно представить так: дг =дг, + бгз= [г[ф„ г[ + [бф„ г) = [дф, г[, где бф=бфт+с[фм * Как следует нз рис.
1.6, для конечного поворота на угол Лгр линейное перемещение точки А [Ьг[ = г з1пй 2з1п(ат/2). Отсюда сразу видно, что перемещение Лг нельзя представить как векторное произведение векторов Л т и г. Это возможно лишь в сзучае бесконечно малого поворота дм, в пределах которого радиус-вектор г можно считать неизменным, т. е. два данных поворота (Йр, и Йр2) эквивалентны одному повороту на угол Йр=Йр~+Йр2 вокруг оси, совпадающей с вектором Йр и проходящей через точку О. Заметим, что при рассмотрении таких величин, как радиус-вектор г, скорость ч, ускорение а, не возникал вопрос о выборе их направления: оно вытекало естественным образом из природы самих величин.
Подобные векторы называют пол я р н ы м и. В отличие от них векторы типа Йр, направление которых связывают с направлением вращения, называют а к си аль ными. Введем векторы угловой скорости и углового ускорения. Вектор угловой скорости ы определяют как (1.13) где б1 — промежуток времени, за который тело совер шает поворот Йр. Вектор г» совпадает по напра~иле. иию с вектором Йр и представляет собой аксиальиый вектор. Изменение вектора в со временем характеризуют вектором углового ускорения р, который определяют как р= дга/ог. (1.14) Направление вектора 11 совпадает с направлением Пы— приращения вектора г». Вектор р, как и ы, является аксиальным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
