1611143554-2751c415c5775cb40b07ebcab0fe74f2 (825015), страница 6
Текст из файла (страница 6)
ложном направлении (ы,<0). В результате тело будет совершать колебания около положения ор=я/2 с амплитудой, равной и/2. ф!.10. Круглый конус с радиусом основания г н высотой й катится без скольжения по поверхности стола, как показано на рис. 32 1.18. Вершина конуса закреплена шарнирно в точке 0 на уровне точки С вЂ” центра основания конуса.
Точка С движется с постоянной скоростью о. Найти относительно стола: 1) угловую скорость ы конуса; 2) его угловое ускорение]). Решение. 1. Согласно (120),м=мэ+м', где мо н м'— угловые скорости вращения вокруг осей 00' и ОС соответственно. Модули векторов юэ и м' легко найти с помощью рис. 1.18: мэ = о/й, и' = о/г.
Их отношение ю,/ю'=-г/й. Отсюда следует, что вектор ю совпадает в каждый момент с образующей конуса, которая проходит через точку касания А. а п~ Рис. ! Лу Рис. 1.18 Модуль вектораю = у~ '+ "= ( / ) у'1+ ( /й)э. 2. Угловое ускореиве ]) конуса, согласно (1.14), есть производная вектора ю по времени. Так как юэ =сопэ1, то () = бм/б/ =- дм'/д1. Вектор ю', оставаясь постоянным по модулю, поворачивается вокруг оси 00' с угловой скоростью юэ . Его приращение за промежуток времени бг равно по модулю ]бы' ] =ы'.ыебг, нли в векторном виде бм' = [етою']бй Таким образом, () =-(гэз и ]. Модуль этого вектора ])=эз/гй. ° 1.11. Преобразования скорости н ускорения.
Горизонтально расположенный стержень вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, укрепленной на столе и проходящей через один иэ концов стержня. По стержню движется небольшая муфта. Ее скорость относительно стержня меняется по закону т'=Ьг, где Ь вЂ” постоянная, г — радиус-вектор, характеризующий расстояние муфты от оси вращения, Найти: 1) скорость т н ускорение а муфты относительно стола в зависимости от г; 2) угол между векторами т и а в процессе движения. 33 Решение.
1. Согласно (1.24), ч = Ьг+ (мг). Модуль этого вектора о = г ЬгЬ2+ ыз. Ускорение а находим но формуле (1.29), где в нашем случае а' = бч'141= Ьзг. Тогда а = (Ьз — ед) г + 2Ь [юг]. Модуль зтого вектора а= (Ьз+ыт)г. 2. Для определения угла а между векторами т и а воспользуемся их скалярным произведением, из которого следует, что соз а= =ча1оа. После соответствующих преобразований получим соз а=!Д/1+ (ы/Ь)з. Отсюда видно, что в данном случае угол а остается постоянным при движении, Глава 2 ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ $2.1.
Инерциальные системы отсчета Закон инерции. В кинематике, где речь идет лишь об описании движений и не затрагивается вопрос о причинах, вызывающих эти движения, никакой принципиальной разницы между различными системами отсчета нет, и все они в этом отношении равноправны. Совершенно иначе обстоит дело в динамике — при изучении законов движения. Здесь обнаруживается существенное различие между разными системами отсчета и преимушества одного класса систем отсчета по сравнению с другими.
В принципе можно взять любую из бесчисленного множества систем отсчета. Однако законы механики в разных системах отсчета имеют, вообще говоря, различный внд и может оказаться, что в произвольной системе отсчета законы даже совсем простых явлений будут весьма сложными. Естественно, возникает задача отыскания такой системы отсчета, в которой законы механики были бы возможно более простыми. Такая система отсчета, очевидно, наиболее удобна для описания механических явлений. Для решения этой задачи рассмотрим ускорение материальной точки относительно некоторой произвольной системы отсчета. Какова причина этого ускорения? Опыт показывает, что этой причиной могут быть как дей.
стане на данную точку каких-то определенных тел, так 34 и свойства самой системы отсчета (действительно, относительно разных систем отсчета ускорение в общем случае будет различным). Можно, однако, предположить, что существует такая система отсчета, в которой ускорение материальной точки целиком обусловлено только взаимодействием ее с другими телами. Свободная материальная точка, не подверженная действию никаких других тел, движется относительно такой системы отсчета прямолинейно и равномерно, или, как говорят, по инерции.
Такую систему отсчета называют инерциальной. Утверждение, что инерциальные системы отсчета существуют, составляет содержание п е р в о г о з а к о н а механики — закона инерции Галилея— Ньютона. Существование инерциальных систем отсчета подтверждается опытом. Первоначальными опытами было установлено, что такой системой отсчета является Земля. Последующие более точные опыты ~опыт Фуко и все аналогичные ему) показали, что эта система отсчета не совсем инерциальная *, а именно: были обнаружены ускорения, существование которых нельзя обьяснить действием каких-либо определенных тел.
В то же время наблюдения над ускорениями планет показали инерциальность гелиоцеитрической системы отсчета, связанной с центром Солнца и «неподвижными» звездами. В настоящее время инерцнальность гелиоцентрической системы отсчета подтверждается всей совокупностью опытов. Любая другая система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно гелиоцентрической системы, является также инерциальной. Действительно, если в гелноцентрической системе отсчета ускорение тела равно нулю, то оно равно нулю н в любой другой из этих систем отсчета, Таким образом, существует не одна, а бссчисленное множество инерциальных систем отсчета, движущихся относительно друг друга прямолинейно и равномерно.
Системы отсчета, движущиеся с ускорением относительно инерциальных систем, называют н е и н е р ц и а л ь н ы м н, О свойствах симметрии пространства н времена. Важной особенностью ннерцнальных систем отсчета является то, что по отношенню к нпм пространство н время обладают опрелеленнымп с в о й с т в аь Заметим, что во многих случаях снстему отсчета, связанную с Землей, можно считать практически пнерцнальной. 35 ми с им метр ни.
А именно: опыт убеждает, что в этих системах отсчета пространство однородно и изогролно, а время однородно. Однородность и озотропность лростронсгво заключаются в том, что свойства пространства одинаковы в различных точках (однородность), а в каждой точке одинаковы во всех направлениях (изотропность). Однородность времени заключается в том, что протекание физических явлений (в одних и тех же условиях) в разное вреия их наблюдения одинаково, Иначе говоря, различные моменты времени экнивалентны друг другу по своим физическим свойствам.
Заметим, что по отношению к неинерциальным системам отсчета пространство является неодно- )г,)к родным и неизотропяым. Это У А значит, что если какое-либо тело не взаимодействует ни с какими другими телами, то тем Г не менее его различные поло- жения в пространстве и его Г различные ориентации в механическом отношении не эквивалентны. То же самое относится у! ь)' в общем случае и ко времени, х х' которое будет неоднородным (в неинерциальных системах), т. е. его различные моменты не эквивалентны. Ясно, что такие Рис. 2А свойства пространства и време. ни вносили бы большие усложнения в описакне механических явлений. Так, например, тело, не подверженное действию со стороны других тел, не могло бы покоиться: если его скорость в некоторый момент времени и равна нулю, то уже в следующий момент тело начало бы двигаться в определенном иапраяленин.
Принцип относительности Галилея. Для инерциальных систем отсчета справедлив принцип относительности, согласно которому все инерциальные системы по своим механическим свойствам эквивалентны друг другу. Это значит, что никакими механическими опытами, проводимыми «внутри» данной инерциальной системы,нельзя установить, покоится зта система отсчета или движется.
Во всех ннерциальных системах отсчета свойства пространства и времени одинаковы, одинаковы также и все законы механики. Данное утверждение составляет содержание и р инципа относительности Галилея — одного из важнейших принципов ньютоновской механики. Этот принцип является обобщением опыта и подтверждается всем многообразием приложений ньютоновской механики к движению тел, скорости которых значительно меньше скорости света. 36 Все сказанное достаточно ясно свидетельствует об исключительности свойств инерциальных систем отсчета, в силу которых именно эти системы должны, как правило, использоваться прн изучении механических явлений.
Преобразования Галилея. Найдем формулы преобразования координат при переходе от одной инерцпальной системы отсчета к другой. Пусть инерциальная система К' движется со скоростью Ч относительно дртгой инерциальной системы К. Выберем оси координат х', ц', г' К'-системы параллельно соответствующим осям х, д, з К-системы так, чтобы осн х' и х совпадали междч собой и были направлены вдоль вектора Ч (рнс. 2.1). Взяв за начало отсчета времени момент, когда начала координат О' и О совпадали, запишем соотношение между радиусами-векторамн г' и г одной и той же точки А в К'- и К- системах: г'=г-%Ч (2.1) н, кроме того, (2.2) 1 (2 3) Продифференпнровав (2.1) по времени, найдем классический закон преобразования скорости точки при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой: ~ ч'=ч — Ч.
~ (2 4) Дифференцируя это выражение по времени с учетом того, что Ч=сопз(, получаем а'=а, т. е. ускорение точки одинаково во всех инерциальных системах отсчета. 37 Здесь подразумевается, что длина отрезков и ход времени не зависят от состояния движения н, следовательно, одинаковы в обеих системах отсчета. Предположение об абсолютности пространства и времени лежит в самой основе представлений ньютоновской механики, представлений, основанных на обширном экспериментальном материале, относящемся к изучению двнзкений со скоростямн, значительно меньшими скорости света. Соотношения (2.!) и (2.2) представляют собой так называемые преобразования Галилея. В координатах эти преобразования имеют внд: 5 2.2. Основные законы ньютоновской динамики Изучая на опыте различные движения, мы обнаруживаем, что в пнерциальных системах отсчета всякое ускорение тела вызывается действием на него каких-либо других тел. При этом степень влияния (действия) каж.
дого из окружающих тел на состояние движения интересующего нас тела А — это вопрос, на который в каждом конкретном случае может дать ответ только опыт. Влияние другого тела (или тел), вызывающее ускорение тела А, называют сил ой. Итак, причиной ускорения тела является действующая на него сила. Одной из важнейших характеристик силы является ее материальное происхождение. Говоря о силе, мы всегда неявно предполагаем, что в отсутствие посторонних тел сила, действующая на интересуюшее нас тело, равна нулю. Если же обнаруживается, что сила действует, мы ищем ее источник в виде того или иного конкретного тела илп других тел. Все силы, с которыми имеет дело механика, обычно подразделяют на силы, возникающие при непосредственном контакте тел (силы давления, трения), и силы, возникающие через посредство создаваемых взаимодействующими телами полей (силы гравитационные, электромагнитные), Заметим, однако, что такое подразделение снл имеет условный характер; в сушности н прн непосредственном контакте силы взаимодействия обусловлены также наличием тех или нных полей, создаваемых молекулами или атомами тел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
