1611143554-2751c415c5775cb40b07ebcab0fe74f2 (825015), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Единицей угловой скорости в СИ является р ад и а н в секунду (рад/с), а единицей углового ускорения— радиан на секунду в квадрате (рад/с'). Представление угловой скорости и углового ускорения в виде векторов оказывается чрезвычайно плодотворным, особенно при изучении более сложных движений твердого тела. Это дает возможность во многих случаях получить большую наглядность, а также резко упростить как анализ движения, так и соответствующие расчеты. Запишем выражения для угловой скорости и углового ускорения в проекциях на ось вращения з, положительное направление которой свяжем с положительным направлением отсчета координаты у — угла поворота— правилом правого винта (рис. 1.7). Тогда проекции га, и р, векторов е и () на ось г определяются формулами а =Йр/Й, (1.15) 9 =бм (й. (1.16) !9 точки А относительно произвольной точки 0 оси вращения (рис.
1.8). Модуль вектора (1.17) п=ыгз1пб, или п=мР~ где р — радиус окружности, по которой движется точка А. Продифференцировав (1.17) по времени, найдем полное ускорение а точки А: а=[бы!бг', г)+[и, дг/дг), П или 1= а=[[)г[+[ы(ег[[. ~ (1.19) В данном случае (ось враще- д Фг ння неподвижна) Яы, поэтому вектор [рг[ представляет собой тангенциальное ускорение а„. г Вектор же [о[юга — это нормальное ускорение а„. Модули этих ускорений равны: [а,[=рр; а„= зр. Д Отсюда модуль полного уско- Рис. !.8 рения г л= г' из+аз =р )~ рз+(о~, Плоское движение твердого тела. Это такое движение, при котором каждая точка твердого тела движется в плоскости, йараллельной некоторой неподвижной (в данной системе отсчета) плоскости. При этом плоская фигура Ф, образованная сечением тела этой неподвижной плоскостью Р (рис, 1.9), в процессе движения все время оста. ется в этой плоскости, например цилиндр, катящийся по плоскости без скольжения (но конус в подобном случае совершает уже более сложное движение).
Нетрудно сообразить, что положение твердого тела при плоском движении одназначно определяется положением плоской фигуры Ф в неподвижной плоскости Р. Это позволяет свести изучение плоского движения твердого тела к изучению движения плоской фигуры в ее плоскости. 21 Пусть плоская фигура Ф движется в своей плоскости Р, неподвижной в К-системе отсчета (рис. 1.10). Положение фигуры Ф на плоскости можно определить задав радиус-вектор г, произвольной точки О' фигуры и угол между радиусом-векто. ром г', жестко связанным с к й фигурой, и некоторым фиксированным направлением в К-системе отсчета. Тогда плоское движение твердого тела будет описываться двумя уравнениями: Рис. 1.9 ги=гс (Г)! 'Р='Р(Г).
Если за промежуток времени Й радиус-вектор г' точки А (рис. 1.10) повернется на угол ЬР, то иа такой же угол повернется и любой отрезок, связанный с фигурой. Другими словами, поворот фигуры на угол сир не зависит от выбора точки О'. А это значит, что и угловая скорость га фигуры тоже не 'к 1к' зависит от выбора точки О', и мы имеем право называть а1 угловой скоростью твердого тела как такового. Найдем скорость и произвольной точки А тела при плоском движении.
Введем вспомогательную К'-систему отсчета, которая жестко связана с точкой О' тела и пере- 'а мещается поступательно относительно К-системы (рис. Рис. 1.1О 1.10). Тогда элементарное перемещение дг точки А в К-системе можно записать в виде юг=с(г„+дг', где с(ги — перемещение К'-системы (точки О'), а с)г'— перемещение точки А относительно К'-системы. Перемещение с(г' обусловлено вращением тела вокруг неподвижной в К'-системс оси, проходящей через точку О'! согласно (1.!1), дг'=(д~р, г'). Подставив это выражение в предыдущее и поделив обе части полученного равенства на Ж, найдем ч = >ге+ 1о>г'(, (1.19) т. е.
скорость любой точки А твердого тела при плоском движении* складывается из скорости тз произвольной точки О' этого тела и скорости >г'=(е>г'), обусловленной вращением тела вокруг оси, проходящей через точку О'. Подчеркнем еще раз, что и' — это скорость точки А относительно поступательно движущейся К'-системы отсчета, жестко связанной с точкой О'. з Рис. 1,11 Рис. !.12 Иначе говоря, плоское движение твердого тела можно представить как совокупность двух основных видов движения — поступательного (вместе с произвольной точкой О' тела) н вращательного (вокруг оси, проходящей через точку О').
Покажем, что плоское движение можно свести к чисто вращательному. Действительно, при плоском движении скорость чз произвольной точки О' тела перпендикулярна вектору е>, а это значит, что всегда найдется такая точка М, жестко связанная с телом"", скорость которой и=О в данный момент. Из условия О=то+(гвг'и) можно найти положение точки М, т. е.
ее радиус-вектор г',,г относительно точки О' (рис. 1.11). Этот вектор перпендикулярен векторам о> и че, его направление соответствУет вектоРномУ пРоизвеДению из= †1г'и), а моДУль г мг оз(гв. / Точка М определяет н положение соответствующей оси (она совпадает по направлению с вектором о>). Движение твердого тела в данный момент времени представ- * Заметим, зто формула (1.19) окззывается справедливой и для любого сложного движения твердого тела. "* Точка М может оказаться и вне тела, ляет собой чистое вращение вокруг этой оси. Такую ось называют м г н о в е н н о й о с ь ю в р а щ е н и я.
Положение мгновенной оси, вообще говоря, меняется со временем. Например, в случае катящегося по плоскости цилиндра мгновенная ось в каждый момент совпадает с линией касания цилиндра и плоскости. Сложение угловых скоростей. Рассмотрим движение твердого тела, вращающегося одновременно вокруг двух пересекающихся осей. Сообщим некоторому телу вращение с угловой скоростью в' вокруг оси ОА (рис. 1.12) и затем эту ось приведем во вращение с угловой скоростью ы~ вокруг оси ОВ, неподвижной в К-системе отсчета.
Найдем результирующее движение тела в К-системе. Введем вспомогательную К'-систему отсчета, жестко связанную с осями ОА и ОВ. Ясно, что эта система вращается с угловой скоростью аьь и тело вращается относительно нее с угловой скоростью в'. За промежуток времени ЙГ тело совершит поворот йр' вокруг оси ОА в К'-системе н одновременно поворот д~рр вокруг осн ОВ вместе с К'-снстемой. Суммарный поворот, согласно (1.12), есть бр=бр~+Ар'. Поделив обе части этого равенства на Й, получим м=ы„+ ы'. (1.20) Таким образом, результирующее движение твердого тела в К-системе представляет собой чистое вращение с утловой скоростью в вокруг оси, совпадающей в каждый момент с вектором аз н проходящей через точку О (рис.
!.!2). Эта ось перемещается относительно К-системы— она поворачивается с угловой скоростью ы~ вместе с осью ОА вокруг оси ОВ. Нетрудно сообразить, что даже в том случае, когда угловые скорости ы' н вю не меняются по модулю, тело будет обладать в К-системе угловым ускорением б, направленным, согласно (1.14), за плоскость (рис. 1.12). Вопрос об угловом ускорении твердого тела более подробно рассмотрен в задаче 1.10. И последнее замечание.
Поскольку вектор угловой скорости ы удовлетворяет основному свойству векторов — векторному сложению, е можно представить как векторную сумму составляющих на определенные направления, т. е. а=в~+аз~+..., где все векторы относятся к одной и той же системе отсчета. Этим удобным и полезным приемом часто пользуются при анализе сложного движения твердого тела. М $1.3. Преобразования скорости и ускорения при переходе к другой системе отсчета ~ ч=т,+т'. ~ (1.21) Продифференцировав (1,21) по времени, найдем форму- лу преобразования ускорения: ~ а=а,+а'. ~ (1.22) Приступая к изучению этого вопроса, напомним, что в рамках ньютоновской механики длина масштабов и время считаются абсолютными.
Любой масштаб одинаков в разных системах отсчета, т. е. не зависит от движения. Это же касается н течения времени, которое также одинаково во всех системах. Постановка вопрос а. Имеются две произвольные системы отсчета К и К', движущиеся определенным образом относительно друг г г друга. Известны скорость т н ускорение а некоторой точ- 0 ки А в К-системе. Каковы Ю соответствующие значения О т' н а' этой точки в К'-систе- Рис. 1.13 ме? Рассмотрим последовательно три наиболее важных случая движения одной системы отсчета относительно другой. 1. К'-система движется поступательно по отношению к К-системе. Пусть в К-системе начало отсчета К'-системы характеризуется радиусом-вектором г,, а ее скорость и ускорение — векторами тс и ас.
Если положение точки А в К-системе определяется радиусом-вектором г, а в К'-системе — радиусом-вектором г', то г=го+г' (рис. 1.13). Пусть далее за промежуток времени б( точка А совершит в К-системе элементарное перемещение бг. Это перемещение складывается из перемещения загс вместе с К'-системой и перемещения с(г' относительно К'-системы, т.
е. с(г=с(гс+дг'. Поделив данное выражение на Й, получим следующую формулу преобразования скорости: Отсюда видно, в частности, что при ае=й а=а', т. е. при движении К'-системы без ускорения относительно К- системы, ускорения точки А в обеих системах отсчета будут одинаковы. 2. К'-система вращается с постоянной угловой скоростью сз вокруг оси, неподвижной в К-системе. аг' ссп' Рис. !. 14 Возьмем начала отсчета К- и К'-систем в произвольной точке О на оси вращения (рис.
1.14, а). Тогда радиус-вектор точки А в обеих системах отсчета будет один н тот же: г=г'. Если точка А неподвижна в К'-системе; то это значит, что ее перемещение с[г в К-системе за время с[г' обусловлено толшсо поворотом радиуса-вектора г иа угол.с[ср (вместе с К'-системой) и равно, согласно (!.1!), векторному произведению [с[ср, г). Если же точка А движется относительно К'-систсмы со скоростью ч', то за время с[г она совершит дополнительное перемещение ч'с[! (рис. 1.14, а) и тогда с4г=ч'бг'-[ [с[ср, г[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
