1611143554-2751c415c5775cb40b07ebcab0fe74f2 (825015), страница 5
Текст из файла (страница 5)
(1.23) Поделив это выражение на Ю, гголучим следующую формулу преобразования скоростй (1.24) ч=ч'+ [сот[, где ч и ч' — скорости точки А в К- К'-снстемах отсчета соответственно. Теперь перейдем к ускорениям. В соответствии с (1.24) приращение с[ч вектора ч за время бг' в К-системе 26 должно складываться из суммы приращений векторов ч' и (ег), т. е. бч=бч'+[е, дг). (1.25) Найдем бч'. Если точка А движется в К'-системе с ч'= =сонэ[, то приращение этого вектора в К-системе обусловлено только его поворотом на угол с[ф (вместе с К'- системой) и равно, как и в случае с г, векторному произведению [бег, ч'[.
В этом нетрудно убедиться, совместив начало вектора ч' с осью вращения (рнс. 1.!4, б). Если же точка А имеет ускорение а' в К'-системе, то за время й вектор ч' получит еще дополнительное приратценис а'Ж и тогда бч'=а'!бг+[0<,, чЪ (1. 2б) Подставим (1.26) и (1.23) в равенство (!.25) и получ иное выражение разделим на с[!.
В результате найдем следующую формулу преобразования ускорения: а =а'+2 [еч')+ [е [ гЦ, (1. 27) где а и а' — ускорения точки А в К- н К'-системах отсчета. Второе слагаемое в правой части этой формулы носит название кор пол псов а (илн поворотного) ускорения а„р, а третье слагаемое — осестремительного ускорения '" а,„: аее = 2 [еч'), а„= [е,[етг[[. (1.28) Таким образом, ускорение а точки относительно К- системы равно сумме трех ускорений: ускорения а' относительно К'-системы, кориолисова ускорения а„р н осестремительного ускорения а„. Осестремительное ускорение можно представить в виде а,.= — е'р, где р — радиус-вектор, перпендикулярный оси вращения и характеризующий положение точки А относительно этой оси. Тогда формулу (1.27) можно записать так: а = а'+ 2 [еч'[ — агр (1.х9) 3. К'-система вращается с постоянной угловой скоростью е вокруг оси, перемещающейся поступательно со скоростью че и ускорением а, по отношению к К-системе.
! ' Осестремнтельное ускоренне не следует путать с нормаоьлмм ускореннем. Этот случай объединяет два предыдущих. Введем вспомогательную 5-систему отсчета, которая жестко связана с осью вращения К'-системы и перемещается поступательно в К-системе. Пусть ч и тгз — скорости точки А в К- и 5-системах отсчета, тогда в соответствии с (1.21) ч =ус+уз Заменив чгз, согласно (1.24), выражением тгз= =у'+(юг], где г — радиус-вектор точки А относительно произвольной точки на оси вращения К'-системы, получим следующую формулу преобразования скорости: 1= ч= р'+ те+ [от~.
~ Аналогичным образом, используя (1.22) и (1.29), найдем формулу преобразования ускорения; (1.30) а=а'+а,+2(щу'1 — е'Р. ~ (1.31) Задачи ° 1.1. Радиус-вектор, характерязующнй положение частицы М относительно неподвижной точки О, меняется со временем по закону г=Аа(пы(+В сов ыб где А н  — постоянные векторы, прячем А( В; ю — положительная постоянная. Найти ускорение а частнцы н уравнение ее траектории Н(я), взяв осн к я у совпадающими по Напомним, что в последних двух формулах м, у' и а, в'— скорости и ускорения точки А соответственно в К- и К'- системах отсчета, ус и ас — скорость и ускорение оси вращения К'-снстсмы в К-системе, г — радиус-вектор точки А относительно произвольной точки на оси вращения К'-системы,р — радиус-вектор, перпендикулярный оси вращения и характеризующий положение точки А относительно этой оси.
Рассмотрим в заключение следующий пример. Пример. Диск вращается с постоянной угловой скоростью м вокруг собственной осн, укрепленной на столе. По диску движется точ. ка А с постоянной относительно стола скоростью ч. Найдем скорость ч' н ускоренне а' точки А относительно диска в момент, когда раднус-вектор, характеризующий ее положение по отнощенню к осн врашення, равен р Скорость ч' точки Л, согласно (1.24), ч' =ч — [юр). Ускорение же а' найдем с помощью (1.29), учтя, что в данном случае а=о, нбо ч= — сопз(. Тогда а'= — уючй' ы'р.
После водстановкн в зту формулу выражения для т' голучнм а =2(зм) — югр. направлению с векторами А и В соответственно и имеющими начало в точке О. Решение. Продифференцировав г по времени дважды, волучим а = — мт (А а!и м1 + В соз а1) =- — з г, т. е. вектор а все время направлен к точке О, а его модуль пропорционален расстоянию частицы до этой точки.
Теперь найдем уравнение траектории. Спроецировав г вз оси х и р, получим х = А а1п и/, у = В ссж ыц Исключив ы( из этих двух уравнений, найдем хз/Аа+ рз/Вт .. ! Это уравнение эллипса„А и  — его полуоси (рнс 1.15, где стрелкой показано направление движения частицы М) утч ~лх У„., Рис. !.!5 Рис. 1Лб ° 1.2. Перемещение и путь. Частице в момент 1=0 сообщили скорость чм после чего ее скорость стала меняться со временем 1 по закону ч=тз(1 †/т), где т — положительная постоянная. Найти за первые 1 секунд движения: 1) вектор перемещения Ьг частицы; 2) пройденный ею путь з.
Решение. 1. Согласно (1.1), бг=тМ=ч, (1 — 1/т)й. Проинтегрировав это уравнение по времени от 0 до В получим Ь г — — то ! (1 '— 1/2т) . 2. Путь з, пройденный частицей за время й определяется как где о — модуль вектора т. В данном случае ое(1 — Ф/т), еслв Ю < ч, " = "о! ! — 1/ч ! =- ое(1/а — 1), если М >ч. Отсюда следует, что при 1)т интеграл для вычисления пути необходимо разбить на две части; от О до т и от т до Д Проведя интегрирование для обоих случаев, получим по 1(1 — 1/2т), если 1 < х, г/аозт[! +(! — 1/т)т), если 1 > с.
На рис. 1.16 показаны графики зависимостей о(1) и з(!). Здесь же штриховыми лнниями показаны графики зависимостей от 1 проекций о„и Лх векторов т и Лг на ось х, направленную вдоль вектора та ф1,3. Трамвай движется прямолинейно от остановки А до следующей остановки В с ускорением, меняющимся по закону а=пав — Ьз, где а, н Ь вЂ” положительные постоянные, з — расстояние от остановки А до трамвая Найти расстояние между этими остановками и максимальную скорость трамвая. Р е ш е н н е. Сначала найдем зависимость скорости от расстояния з.
За промежуток времени 41 приращение скорости бо=аЖ Приведем это выражение к виду, удобному для интегрирования, воспользовавшись тем, что б!=ба/о; тогда обо =(ао — Ьз) г)з. Проинтегрировав это уравнение (левую часть — от О до о, правую— от нуля до з), получим оз/2 =- аз з — Ьзз/2, нли о .= Ьг(2аз — Ьз) з. Отсюда видно, что расстояние между осзановками, т е, значение зм при котором о=б, есть зэ=2аэ/Ь. Максимальную же скорость найдем из условия бо/ба=О или, проще, из условия максимума подкоренного выражения Отсюда значение з „соответствующее очаач, определяется как з, = аз/Ь, и эч„„=а,/)Ь. ° 1А Частица движется в плоскостях х, у из точки с координатами х=у=б со скоростью т=з1+Ьх), где а и Ь вЂ” некоторые постоянные, ! и ! — орты осей х и у.
Найти уравнение ее траектории у(х). Решение. Запишем приращения у- и х-координат частицы за промежуток времени б!: бу =т'дб/ бх =ох бз где нт — — Ьх, о„=а. Взяв нх отношение, получим ду = (Ь/а) х дх. Интегрируем это уравнение: у = ) (Ь/а) хбх =(Ь/2а)хз, о т. е. траекторией точки является парабола. ° 1.б.
Закон движения точки А обода колеса, катящегося равномерно по горизонтальному пути (ось х), имеет вид ,' х = Ь (н) — а(п н1)1 у = Ь (1 — гоз ых), ЗО где Ь и ю — положительные постоянные. Найти скорость о точки А, путь з, пройденный ею между двумя последовательными касаниями полотна дороги, а также модуль и направление вектора ускорения а точки Л. Решение.
Скорость о точки Л и пройденный ею путь з определяются формулами о = — ~/ оз ! о~~ = Ьы Гг2(! — сов м1) = 2Ьь! з!п (мсу2) ); з = ~ о бс = 4Ь [ ! — соз (му з~2)), где 1~ — промежуток времени между двумя последовательными каса. пнями. Из уравнения й=у(1) находим, что р(зз)=0 прн ю(г=2м. Поэтому з=ЗЬ. Ускорение точки А а = Ьг аз + аз = Ьмз Покажем, что вектор а, постоянный по модулю, все время направлен к центру колеса — точке С.
Действительно в К'-системе отсчета, связанной с точкой С н перемещающейся поступательно и равномерно относительно полотна доро~ и, точка А движется равномерно по окружности с центром в точке С. Поэтому ускорение точки А в К'. системе направлено к центру колеса. А так как К'.система движется равномерно, то вектор а будет таким же н относительно полотна дороги. ®1.6. Тангеициальное н нормальное ускорения.
Точка движется замедленно по окружности радиуса г так, что ее тангенцианьное и нормальное ускорения в каждый момент равны друг другу по модулю. В начальный момент гочке была сообщена скорость оь Найти скорость о и модуль полного ускорения а точки в зависимости от пройденного пути з. Р е ш е и н е. По условию, богбт= — о'/г. Представив бс как бз/о, преобразуем исходное уравнение к виду доГо =- — дзгг. Ингегрирование этого уравнения с учетом начальной скорости при.
водит к следующему результату: — з/г о =- оз е В данном случае !ат ) м=-а, поэтому полное ускорение а=У2 а„= =У2 от/г, или и=) 2 (о~/г)е ° !.7. Точка движется по плоской траектории так, что ее таигенцичльное УскоРеиие и, =ам а иоРмальиое УскоРение а„ вЂ” — ЬГ', где аз и Ь вЂ” положительные постоянные, à — время. В момент 1=0 точка начала двигаться с нулевой начальной скоростью.
Найти радиус кривизны р траектории точки н ее полное ускорение а в зависимости от пройденного пути з. 31 Р е ш е н в е. Элементарное приращение скорости точки 6о = иоб!. Проинтегрировав это уравнение, получим и=по!. Пройденный путь з = иоР/2, Радиус кривизны траектории, согласно (!.1О), можно представить как р=их/и„=иоо/ЬР, или р =- ас/2Ьз. Полное ускорение а = )г а, +а„—.. ао Ьг 1+ (4узз/аз)з. ° !.В. Частица движется равномерно со скоростью о по параболической траектории у=лхо, где Ь вЂ” положительная постоянная. Найти ускорение и частицы в точке х=О.
Р е ш е н и е. Продифференцируем дважды уравнение траектории по времени: у = 2дх х, у =- 2й (хз + х х). Так как частица движется равномерно, то это значит, что ее ускорение во всех точках траектории чисто нормальное и в точке х=О совпадает с производной у в этой точке. Ймея в виду, что в точке х=О величина (х( = о, получим а .= (у)„ , = 2йоэ.
Заметим, что в приведенном способе решения мы обошли вычисление радиуса кривизны траектории в точке х=О, который обмчно бывает необходимо знать для определения нормального ускорения (и„= ио/р) ° 1.9. Вращение твердого тела. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с угловым ускорением ()=9з созор, где()о — постоянный вектор, ф — угол поворота тела иэ начального положения. Найти угловую скорость оэ. тела в зависимости от угла ор, если при ор=-0 она была равна нулю. Решение Выберем положительное направление осн а вдоль вектора ()о Согласно (!.16), бм,=р,6!.
Представив 6! по формуле (!.15) как 6гр/ыь преобразуем предыдущее уравнение к виду мз 6ах = 1о сову)бу. Интегрирование этого уравнения с учетом начального условия (ы,= =0 при ф=О) дает ы,о/2=(хо слп йх Отсюда мз — — и= гг2ззз!и р. График зависимости ыо(ор) показан на рис. 1.17. Из него видно, что с ростом угла гр вектор ы сначала увеличивается, совпадая по направлению с вектором ()з(ю.)0), достигает максимума при ф=п/2 и затем начинает уменьшаться, обращаясь в нуль при ор=а. После этого тело подобным я<е образом начинает вращаться в противоцо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
