1611143554-2751c415c5775cb40b07ebcab0fe74f2 (825015), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Л. В. Тарасову за полезные замечания и советы. И. Иродов Система обозначений Векторы обозначены жирным прямым шрифтом (например, г, г); та же буква светлым шрифтом (г, Р) означает модуль вектора. Орты — единичные венторы: ), ), й — орты декартовых координат х, у, з, е, е,е, — орты цилиндрических координат р, ф, з, и, т — орты нормали и касательное к траектории. Средние величины заключены в угловые скобки ( ), например, с.т.л, (Ж>.
Символы Л, б, 6 перед величинами означают: Л вЂ” прираи)ение величины, т. е. разность между ее конечным и на- чальным аначениями, например Лг=гз — го ЛУ=()з — Уы — Л вЂ” убыль величины, т. е. разность между ее начальным и конеч- ным значенвямн, например, — Лг=г1 — гз, — Л()=У1 — Уз' д — дифференциал (бесконечно малое приращение), например дг, 60; 6 — элементарное значение неличины, например 6А — элементарвая работа, Производная по времени от произвольной функции обозначена как д)я( или точкой, стоящей над функцией ()).
Системы отсчета обозвачевы курсивными буквами К, К' и Ц. Ц-система- — зто система отсчета, связанная с центром масс и движущаяся поступательно по отношению к инерциальным системам. Все величины в Ц-системе помечены сверху значком (гильда), на- пример, р, Е. Введение Механика — это раздел физики, в котором изучается простейшая форма движения материи — механическое, т. е.
движение тел в пространстве и времени. Тот факт, что механические явления протекают в пространстве и времени, находит свое отражение в любом механическом законе, содержащем явно или неявно пространственно- временные соотношения — расстояния и промежутки времени. Положение тела в пространстве может быть определе. но только по отношению к каким-либо другим телам. Это же относится и к движению тела, т. е. к изменению его положения с течением времени.
Тело (или система неподвижных относительно друг друга тел), которое служит для определения положения интересующего нас тела, называют телом отсчета. Практически для описания движения с телом отсчета связывают какую-нибудь систему координат, например декартову. Координаты тела позволяют установить его положение в пространстве. Так как движение происходит не только в пространстве, но и во времени, то для описания движения необходимо отсчитывать также и время. Это делается с помощью часов того нли иного типа. Совокупность тела отсчета и связанных с ним координат и синхронизированных между собой часов образует так называемую с и с т е м у о т с ч е т а. Понятие системы отсчета является фундаментальным в физике.
Пространственно-временнбе описание движения при помощи расстояний и промежутков времени возможно только тогда, когда выбрана определенная система отсчета. Пространство и время сами являются физпческими объектами, как и любые другие, однако неизмеримо более важными и существенными. Чтобы изучить свойства пространства и времени, нужно наблюдать движение тел, которые в них находятся. Исследуя характер движения тел, мы тем самым познаем н свойства пространства и времени.
7 Опыт показывает, что, пока скорости тел малы по сравнению со скоростью света, линейные масштабы и про- межутки времени остаются неизменными при переходе от одной системы отсчета к другой, т. е. не зависят от вы- бора системы отсчета. Это нашло свое выражение в нью- тоновской концепции абсолютности пространства и вре- мени.
Механику, изучающую движения тел именно в этих случаях, называют ныл то ноас ко й. Г1ри переходе же к скоростям, сравнимым со ско- ростью света, обнаруживается, что характер движения тел радикально меняется. При этом линейные масштабы и промежутки времени уже зависят от выбора системы отсчета и в разных системах отсчета будут разными. Ме- ханику, основанную на этих представлениях, называют р е л я т и в и с т с к о й. Естественно, что релятивистская механика является более общей и в частном случае ма- лых скоростей переходит в классическую, Реальные движения тел настолько сложны, что, изу- чая их, необходимо отвлечься от несущественных для рассматриваемого движения деталей (в противном слу- чае задача так усложнилась бы, что решить ее практиче- ски было бы невозможно). С этой целью используют по- нятия (абстракции, идеализации), применимость кото- рых зависит от конкретного характера интересующей нас задачи, а также от той степени точности, с которой мы хотим получить результат.
Среди этих понятий большую роль играют понятия материальной точки и абсолютно твердого тела. Материальная точка — это тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Ясно, что одно и то же тело в одних случаях можно рас- сматривать как материальную точку, в других же — как протяженное тело. Абсолютно твердое тело, или, короче, тае р- д о е т е л о,— это система материальных точек, расстоя- ния между которыми не меняются в процессе движения. Реальное тело можно считать абсолютно твердым, если в условиях рассматриваемой задачи его деформации пре- небрежимо малы. Механика ставит перед собой две основные задачи: 1.
Изучение различных движений и обобщение полу- ченных результатов в виде законов движения — законов, с помощью которых может быть предсказан характер движения в каждом конкретном случае. 2. Отыскание общих свойств, присущих любой системе, независимо от конкретного рода взаимодействий между телами системы.
Решение первой задачи привело к установлению Ньютоном и Эйнштейном так называемых динамических законов, решение же второй задачи — к обнаружению законов сохранения таких фундаментальных величин, как энергия, импульс и момент импульса. Динамические законы и законы сохранения энергии, импульса и момента импульса представляют собой основные законы механики. Изучение их и составляет со. держание этой книги. Часть 1 НЬЮТОНОВСКАЯ МЕХАНИКА Глава 1 ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ Кинематика — это раздел механики, где изучаются способы описания движений независимо от причин, обусловливающих эти движения. В этой главе будут рассмотрены трн вопроса: кинематика точки, кинематика твердого тела, преобразование скорости и ускорения при переходе от одной системы отсчета к другой.
ф 1.!. Кинематика точки Существует трп способа описания движения точки: векторный, координатный и так называемый естественный. Рассмотрим их последовательно. Векторный способ. В этом ис <кх способе положение интересуч ющей нас точки А задают 2 радиусом-вектором г, проведенным из некоторой неподвижной точки О выбранной системы отсчета в точку А.
Рис. 1.! При движении точки А ее радиус-вектор меняется в общем случае как по модулю, так и по направлению, т. е. радиус-вектор г зависит от времени С Геометрическое место концов радиуса-вектора г называют т р а е к т о р не й точки А. Введем понятие с к о р о с т и точки.
Пусть за промежуток времени А1 точка А переместилась из точки 1 в точку 2 1рис. 1.1). Из рисунка видно, что вектор перемещения Лг точки А представляет собой приращение радиуса-вектора г за время А1: Аг=ги — г,. Отношение Ьг/Ы называют средним вектором скорости 1О (г) за время Ы, Вектор (ур совпадает по направлению с с Ьг, Определим вектор скорости т точки в данный момент времени как предел отношения Лг/Л/ при Л/-ьб, т.
е. т=!ип — = — . ат ог (1.1) М О Аг СГ Это значит, что вектор скорости ч точки в данный момент времени равен производной от радиуса-вектора г по времени и направлен по касательной к траектории в данной точке в сторону движения точки А 1как и вектор г)г). Модуль вектора ч равен* тт=-~н~=~ дг/б/~. Движение точки характеризуется также ускорениемм. Вектор ускорения а определяет скорость изменения вектора скорости точки со временем: а=дн/й, т. е. равен производной от вектора скорости по времени. Направление вектора а совпадает с направлением вектора г)ч — приращением' вектора ч за время й.
Модуль вектора а определяется аналогично модулю вектора ч. Пример. Радиус-вектор точки зависит от времени 1 по закону г = АС + В/з/2, где А и  — постоянные вскторы. Найдем скорость ч и ускорение а точки. ч = и'г/и/ = А + В/, а = ог/йг = В = сопзн Л1одуль вектора скорости о=у чг= УАя+2АВГ+Вття. Таким образом, зная зависимость гЯ, можно найти скорость г и ускорение а точки в каждый момент времени.
Возникает и обратная задача: можно ли найти чЯ и гЯ, зная зависимость от времени ускорения аЯ"г Оказывается, для получения однозначного решения этой задачи одной зависимости а1/) недостаточно, необходимо еще знать так называемые н а ч а л ь н ы е у с л о- " Заметим, что в ойщеы случае (йг( Фаг, где г — модуль радиуса-вектора г и о~юг/НГ. Например, если г меняется только по направлению (точка движется по окружности), то г=сопз1, Пг=о, но )аг~~о. 11 в и я, а именно скорость ч, и радиус-вектор го точки в некоторый начальный момент /=О.
Чтобы в этом убедиться, рассмотрим простейший случай, когда в процессе движения ускорение точки а=сопз1. Сначала определим скорость точки ч(/). Согласно (1.2), за промежуток времени й элементарное приращение скорости дч=аЖ. Проинтегрировав это выражение по времени от /=0 до й найдем приращение вектора скорости за это время: Л ч= ~ аб/= ад о Но величина Лч — это еще не искомая скорость ч.
Чтобы найти ч, необходимо знать скорость чо в начальньш момент времени. Тогда ч= уф =чо+Лч, нлн ч=чо+ад Аналогично решается вопрос и о радиусе-векторе г(/) точки. Согласно (1.1), за о '-. ментарное приращение радиРис. 1.2 уса-вектора с)г=чс(й Инте- грируя это выражение с учетом найденной зависимости ч(/), определим приращение радиуса-вектора за время от /=0 до /: Лг= ~ ч (/) Ф = чо/+ а/о/2.
о Для нахождения самого радиуса-вектора г(г/ необходи. мо знать еще положение точки го в начальный момент времени. Тогда г = го+ Лг, или г = го+ ч,/+ аго/2. Рассмотрим, например, движение камня, брошенного под некоторым углом к горизонту с начальной скоростью чо. Если считать, что камень движется с постоянным ускорением а=й', то его положение относительно точки бросания (го=0) определяется радиусом-вектором г =чу+ и/о/2, т. е. в данном случае г представляет собой сумму двух векторов, что показано на рис. 1.2. 12 Итак, для полного решения задачи о движении точки — определения ее скорости ч н положения г в зависимости от времени — недостаточно знать зависимость а(Г), но еще необходимо знать и начальные условия, т.
е. скорость то и положение го точки в начальный момент времени. В заключение напомним, что в СИ единицами длины, скорости и ускорения являются соответственно метр (м), метр на секунду (м/с) и метр на секунду в кв ад р а те (м/с'). Координатный способ. В этом способе с выбранным телом отсчета жестко связывают определенную систему координат (декартову, косоугольную или криволинейную). Выбор той нли иной системы координат определяется рядом соображений: характером или симметрией задачи, постановкой вопроса, а также стремлением упростить само решение. Ограничимся здесь" декартовой системой координат х, у, г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
