1611143554-2751c415c5775cb40b07ebcab0fe74f2 (825015), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Найдем импульсы этих частиц в Ц-системе. Будем помечать все величины в Ц-системе сверху значком — (тильда). Тогда искомые импульсы можно записать так: Р~=гп1чт=п~д(чг — Чс), Ра=тэча=пса(чт — Чс), где Чс — скорость Ц-системы относительно К-системы отсчета.
После подстановки в эти формулы выражения Чс= (гп1ч!+гпзче)/(ш1+ша) получим р1= ' (чг — ча), р, = ' ' (ч~ — ч,). (3.12) Ш1+ Щ2 а1+ мт Видно, что импульсы обеих частиц в Ц-системе оди- наковы по модулю и противоположны по направлению: т5 р1= — рз. Это так и должно быть, поскольку суммарный импульс частиц в с(-системе всегда равен нулю. Полученные результаты справедливы независимо от того, замкнута эта система или нет, а также независимо от наличия взаимодействия между частицами. $3.5. Движение тела переменной массы Имеется много случаев, когда масса тела изменяется в процессе движения за счет непрерывного отделения или присоединения вещества (ракета, реактивный самолет, платформа, нагружаемая на ходу, и др.). Наша задача: найти уравнение движения такого тела.
Рассмотрим решение этого вопроса для материальной точки, называя ее для краткости телом. Пусть в некоторый момент ~ масса движущегося тела А равна т, а присоединяемое (или отделяемое) вещество имеет скорость н относительно данного тела. Введем вспомогательную инерциальную К-систему отсчета, скорость которой такова же, как и скорость тела А в данный момент й Это значит, что в момент 1 тело А покоится в К-системе. Пусть далее за промежуток времени от ~ до г+Ж тело А приобретает в К-системе импульс тбч. Этот импульс тело А получит, во-первых, вследствие присоединения (отделения) массы бт, которая приносит (уносит) импульс бт н, и, во-вторых, вследствие действия силы Г со стороны окружающих тел или силового поля.
Таким образом, можно записать, что тбя=ГФ+ ат н, где знак плюс соответствует присоединению массы, а знак минус — отделению. Оба эти случая можно объединить, представив -~бгп в виде приращения бт массы тела А (действительно, в случае присоединения массы бт=+бт, а в случае отделения йи= — бог). Тогда предыдущее уравнение примет вид тбч=ГФ+Йи и. Поделив это выражение на й, получим т — =Г+ — н, где н — скорость присоединяемого (или отделяемого) ве- щества относительно рассматриваемого тела.
где т(/) — масса тела в данный момент времени. Это уравнение определяет, например, движение платформы, из которой свободно высыпается песок (см, задачу 3.7, и. 1). 2. Если в= — ч, т. е. присоединяемая масса неподвижна в выбранной системе отсчета или отделяемая масса становится неподвижной в этой системе, то уравнение (3.13) принимает другой вид: т(дч/б/)+ +(дт/г//)ч=Г, или — (тч) = Г. д (М ( 3.15) Иначе говоря, в этом частном случае — и только этом— действие силы Г определяет изменение импульса тела с 77 Этоуравнение является основным уравнением динамики точки переменной массы. Его называют ур а в н е н и е м М е щ е р с к о г о. Будучи полученным в одной инерциальной системе отсчета, это уравнение в силу принципа относительности справедливо и в любой другой инерциальной системе, Заметим, что если система отсчета неинерциальна, то под силой Г следует понимать результирующую как сил взаимодействия данно~о тела с окружающими телами, так и сил инерции.
Последний член уравнения (3.13) носит название р еактивной силы: К=(бт/Ж)и. Эта сила возникает в результате действия на данное тело присоединяемой (или отделяемой) массы. Если масса присоединяется, то с1т/41>0 и вектор К совпадает по направлению с вектором и; если же масса отделяется, то бт/б((0 и вектор К противоположен вектору и. Уравнение Мещерского по своей форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки постоянной массы: слева — произведение массы тела на ускорение, справа — действующие на него силы, включая реактивную силу.
Однако в случае переменнои массы нельзя внести массу т под знак дифференцирования и представить левую часть уравнения как производную по времени от импульса, нбо тбч/б(чьб(тч)/М. Обратим внимание на два частных случая: 1.
Если п=О, т. е. масса присоединяется или отделяется без скорости относительно тела, то К=О и уравнение (3.13) принимает вид т (() — =Г; ('3. 14) Н переменной массой. Данный случай реализуется, например, при движении платформы, нагружаемой сыпучим веществом цз неподвижного бункера (см. задачу 3.7, п, 2). Рассмотрим пример на применение уравнения Мещерского. Пример Ракета движется в ннерциальной К-системе отсчета в отсутствие внешнего силового поля, причем так, что газовая струя вылетает с постоянной относительно ракеты скоростью н.
Найдем зависимость скорости ч ракеты от ее массы т, если в момент старта ее масса была равна те. В данном случае Г=О и нз уравнения (3.!3) следует дч = и бт)т. Проинтегрировав это ныражение с учетом начальных условий, получим ч = — н(п(те(т), (1) где знак минус показывает, что вектор ч (скорость ракеты) противоположен по направлению вектору н. Отсюда видно, что скорость ракеты в данном случае (и=сонм) не зависит от времени сгорания топлива; ч определяется только отношением начальной массы тз ра.
кеты к оставшейся массе т. Заметим, что если бы вся масса горючего была одновременно выброшена со скоростью н относительно ракеты, то скорость последней оказалась бы иной. Действительно, если ракета вначале покоилась в выбранной инерциальной системе отсчета, а после одновременного выброса всего горючего приобрела скорость ч, то из закона сохранения импульса для системы ракета — горючее следует 0 =тч+(то — т)(ц+ч), где н+ч — скорость горючего относительно данной системы отсчета, Отсюда (2) ч = — н(! — т/тз). Скорость ч ракеты н этом случае оказынается меньше, тем в преды. душем (при одинаковых значениях отношения лг„)т) В этом не. трудно убедиться, сравнив характер зависимости ч от гпе(т в обоих случаях. С ростом та,Ъ~ в первом случае (когда вещество отделяется непрерывно) скорость ч ракеты, согласно (!), растет неограниченно, во втором нге (когда вегцество отделяется одновременво) скорость ч, согласно (2), стремится к пределу, рзвному — н.
Задачи м)3.1. Частица движется с импульсом р(!) под действием силы Г(!). Пусть а и Ь вЂ” постоянные векторы, причем ахЬ, Полагая, что 1) р(Г) =а+((! — а!)Ь, где а — положительная постоянная, найти вектор Г н те моменты времени, когда Гз р; 2) Г(Г) =а+2(Ь и р(0) =рм где ре — вектор, противоположный по направлению вектору а, найти вектор р в момент Ге, когда он окажется повернутым на 90 по отношению к вектору рм Решен не. 1, Сила Г=др(31=(! — 2ат)Ь, т.
е. вектор Г все время перпендикулярен вектору а. Следовательно, вектор Г будет 78 перпендикулярен вектору р в те моменты, когда коэффициент при Ь в выражении для р(С) обращается в нуль. Отсюда <с=О и Сг=!/а. Соответствующие значения вектора Г равны: г,=ь, г,= — ь. 2. Приращение вектора р эа промежуток времени б( есть др =Гбг. Интегрируя это уравнение с учетом начальных условий, на. ходим с р — ро = ~ г 61 = а( + ьсз, о где, по условию, ро противоположен вектору а.
Вектор р окажется перпендикулярным вектору рю в момент См когда п(о=до, В этот момент р=(ро!и)'Ь. ()()г а гпуг ° 3.2. Орудие массы гп соскальзывает по гладкой наклонной Р плоскости, составляющей угол а с а горизонтом. В момент, когда скорость орудия оказалась равной ч, ти произвели выстрел, в результате которого орудие остановилось. а Рис. 3.6 вылетевший в горизонтальном направлении снаряд «унес» нипульс р.
Пусть продолжительность выстрела ранна т, Найти среднее за это время значение силы реакции К со стороны наклонной плоскости. Р е ш е н н о. Здесь систсма орудие — снаряд незамкнутая. За время т эта система получает прнращен"е импульса, равное р — тж Изменение импульса системы обусловлсно действием двух внешних сил: силы реакции К (она перпендикулярна наклонной плоскости) и силы тяжести тй.
Поэтому можно написать р — глч= <К> о+ си 2 о, где <К) — среднее за нремя т значение вектора К. Это соотношение очень полезно представить графически (рис. 3,6). Из данного рисунка сразу видно, что искомое значение модуля <К> определяется формулой <сс) =. (Ра1па+ тип сов а)/и. ° 3.3. Закон сохранения импульса.
Две тележки, каждая массы М, движутся друг за другом по инерции (без трения) с одинаковой скоростью чм На задней тележке находится человек массы и. В не. который момент человек прыгнул в переднюю тележку со скоростью н относительно своей тележки. Какой стала скорость передней те. лежки? Решение Импульс всей системы в результате того, что человек перепрыгнул из задней (2) тележки в переднюю (1), не изменится поэтому (2М + си) чо = М уз + (М + т) чс, Где ус' и чз — конечные скорости тележек.
Аиалогнчпо запишем баланс импульсов для задней течежки с человеком (до п после перепрыгнваипя); (М + т) чо = М чз + т (чз+ «), где ч'Ч-и — скорость спрыгнувшего человека относительно полотна дороги. Из этих двух уравнений следует, что тМ ч! = то+ и. (т+ М)з ° 3.4.
На краю покоящейся тележки массы М стоят два человека, каждый массы т. 11ренебрегая трением, найти скорость тележки после того, как обз человека спрыгнут с одной и той же горизонтальной скоростью и относительно тележки: !) одновременно; 2) друг за другом. В каком случае скорость тележки будет больше и во сколько раза Решен ие. 1. Согласно закону сохранения импульса, Мч'+ 2т(ч' + и) = О, где ч' — скорость тележки, ч'+и — скорость человекз (обе скорости относительно полотна дороги). Отсюда 2т н' =— и.
М+ 2т Рнс. 3.7 2. В этом случае необходимо записать два уравнения. Когда спрыгнул один человек, то (М+ т) ч'-1-т(ч'+ и) = О, где ч' — скорость тележки с оставшнмсн вторым человеком. Когда же спрыгнул другой человек, то (М -1- т) ч' = М ч" + т (ч" + и), где ч" — скорость пустой тележки. Исключив из последних двух уравнений ч', найдем (2М -1- Зт) т чч (М ч- т) (М + 2т) Отношение скорости тележки з" в случае 2) к скорости о' в случае 1) равно и" гл — =-! + )!. у' 2(М+ т) ° 3.5.
Центр масс. Через блок перекинут шнур, на одном конце которого находится лестница с человеком, а на другом конце — уран. новешивающнй груз массы М (рнс. 3.7). Человек, масса которого т, совершил вверх перемещение Ьг' относительно лестницы и остано- 80 вилен. Пренебрегая массамн блока и шнура, найти перемещение центрз масс этой системы. Р е ш е н н е. В системе отсчета, связанной с осью блока, положение центра мзсс данной системы характеризуется радиусом-вектором гс =- [М гг -)- (М вЂ” гл) гз-)- т га)/2М, где г„г, и гз — радиусы-векторы центров масс уравновешивающего груза, лестницы и человека — все относительно некоторой точки О выбранной системы отсчета.
Отсюда перемещение Лгс центра масс системы ЛгС = [М Лег+ (М вЂ” гл) Лгз+ гл Лга))2М, и) Рис. 3.8 где Лгь Лга и Лгз — перемещения уравнонешнвающего груза, лестницы и человека. Имея в виду, что ЛГГ = ЛГ2 ЛГЗ = ЛГ2+ Лг получим в результате Лгс =- (ш(2М) Лг'. Таким образом, перемещение центра масс всей системы совпадает по направлению с перемещением человека относительно лестницы, и полученный результат не зависит от характера движения человека. 3 а м е ч а н не.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
