1611143554-2751c415c5775cb40b07ebcab0fe74f2 (825015), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Так, потенциалы гравитационного поля точечной массы т и кулоновского поля точечного заряда д определяются, согласно (4.12), форму- лами тгр = Т пг/гг ткул = М/~ (4.23) Заметим, что потенциал ~р, как и потенциальная энергия, может быть определен только с точностью до некоторой произвольной постоянной, также совершенно несущественной. Поэтому ее обычно опускают. Итак, поле можно описывать или в векторном виде б(г), или в скалярном ~р(г). Оба способа адекватны. Практически же оказывается, что второй способ описания поля (с помощью потенциала ~р) в большинстве случаев значительно удобнее, и вот почему, 1. Зная ~р(г), можно немедленно вычислить потенци- альную энергию 0 и работу сил поля А: У =тр, Агг=т(рг — 'рг).
(4.24) 2. Вместо трех компонент векторной функции б(г) проще задавать скалярную функцию ~р(г). 3. Когда поле создается многими источниками, потен- циал ~р рассчитывать легче, чем вектор б: потенциалы— скаляры, их можно просто складывать, не заботясь о на- правлении снл. Действительно, согласно (4.20) и (4.21), бог= ~~,дг= — ~д~р;= — д~~р;= — Йр, т. е. р(г) =~~)~~ рг (г), (4.25) где ~,— потенциал, создаваемый 1-й частицей в данной точке поля.
4. И наконец, зная функцию ~р(г), можно легко восстановить поле Гг(г) — как 6= — м. (4.26) Эта формула непосредственно следует из (4.18). 3 4.3. Механическая энергия частицы в поле Скалярное произведение тбч=и(бч)„где(бч) — проек- ция вектора бч на направление вектора ч. Эта проекция равна бп — приращению модуля вектора скорости. По- этому чбч= обо и элементарная работа аА = от Ы = 6 (тог! 2). Отсюда видно, что работа результирующей силы Г идет на приращение некоторой величины (стоящей в скобках), которую называют к и н е т и ч е с к о й э и с ргией: Кинетическая энергия.
Пусть частица массы т движется под действием некоторой силы Г (в общем случае сила Г может быть результирую|цей нескольких сил). Найдем элементарную работу, которую совершает эта сила па элементарном перемещении бг. Имея в виду, что Г=тс1ч/о1 и дг=тЖ, запишем ЬА = Г Йг = тч бч. Т=ттгг12. ~ (4.27) Таким образом, приращение кинетической энергии частицы при элементарном перемещении равно дТ=гА, (4.28) а при конечном перемещении из точки 1 в точку 2 (4.29) т.
е. приращение кинетической энергии частицы на некотором перемещении равно а 1гебраической сумме работ всех сил, действующих на частицу на том же перемещении. Если Ам)0, то Тг) Т„т. е. кинетическая энергия частицы увеличивается; если же Ам(0, то кинетическая энергия уменьшается.
Уравнения (4.28) и (4.29) справедливы в инерциальных и неинерциальных системах отсчета. В последних кроме сил, действующих на рассматриваемую частицу со стороны каких-то тел (сил взаимодействия), необходимо учитывать и силы инерции. Поэтому под работой в этих уравненвях надо понимать алгебраическую сумму работ как сил взаимодействия, так и сил инерции. Полная механическая энергия частицы. Согласно (4.28), приращение кинетической энергии частицы равно элементарной работе результирующей Г всех сил, действующих на частицу.
Что это за силы? Если частица находится в интересующем нас стационарном поле консервативных снл, то на нее действует консервативная сила Г„„, со стороны этого поля. Кроме того, на частицу могут действовать и другие силы, имеющие иное происхождение. Назовем их сторонними силами Гч р.
Таким образом, результирующая Г всех сил, действующих на частицу, может быть представлена в виде Г = Гаочч+ Гчтчр, Работа всех этих сил идет на приращение кинетической энергии частицы: ь7 =А„,„,+А„,р. Согласно (4АО), работа сил поля ранна убыли потенциальной энергии частицы: А„,= — Л(?. Подставив это выражение в предыдущее и перенеся величину Л(? влево, получим аТ+М/=д(Т+б')=А„, . Отсюда видно, что работа сторонних сил идет на приращение величины Т+(?. Эту величину — сумму кинетической и потенциальной энергий — называют полной ме- 99 ханической энергией частицы в поле и обозначают Е: (4.30) Заметим, что полная механическая энергия Е, как и потенциальная У, определяется с точностью до произвольной постоянной. Итак, из предыдущих двух уравнений следует, что приращение полной механической энергии частицы в стационарном поле консервативных снл при перемешении ее из точки 1 в точку 2 можно записать в виде ~)Еа — Е =А„оа,) (4.31) т.
с. приращение полнои механической энергии частицы на некотором пути равно алгебраической сумме работ всех сторонних сил, действующих на частицу на том же пути. Если А„,р)0, то полная механическая энергия частицы увеличивается, если же А„„р(0, то уменьшается. Пример. Тело массы ю бросили со скоростью оа с обрыва высо. той И над поверхностью воды.
Найдем работу, которую совершила сила сопротивления со стороны воздуха, при условии, что тело упало на поверхность воды со скоростью о. Если рассматривать движение тела и поле сил тяжести, то сила сопротивления со стороны воздуха будет сторонней и, согласно уран. нению (431), искомая работа А,, а=Ее — Ег= таз)2 — (пгоо92+ +глгИ) илн .4соггр = т (ГГЗ ОО)/2 — жгИ. 2 Интересно, что полученная величина может оказаться не только от. рицательной, но и положительной (зто зависит, например, от характера ветра в процессе падения тела). ~ Е=Т+(У=сопз1. (4.32) 100 Итак, мы установили, что полная механическая энергия частицы может измениться под действием только сторонних сил. Отсюда непосредственно вытекает з а к о н сохранения механической энергии ч а стицы; если сторонние силы отсутствуют или таковы, что не соверитают работы в течение интересующего нас времени, то полная механическая энергия частицы в стационарном поле консервативных си г остается постоянной за это время, т.
е. Уже в такой простейшей форме закон сохранения энергии позволяет достаточно легко получать ответы на ряд важных вопросов без привлечения уравнений движения, что часто сопряжено с проведением громоздких и утомительных расчетов. Именно это обстоятельство и превращает законы сохранения в весьма действенный инструмент исследования. Проиллюстрируеи возможности и преимущества, ко. торыс дает применение закона сохранения (4.32), на следующем примере.
Пример. Пусть частица дви- 'и жется в одномерном стационарном поле, где ее потенциальная энергия (Г(х) имеет внд, как на рис. 4.9. Еслн сторонние силы отсутствуют, то полная механическая энергия частицы в данном поле, т. е. Е, не меняется в процессе движения и мы можем просто решить, например, такие вопросы, как: С х х, х, хз з х 1. Определить, не решая основного уравнения динамики, скорость частицы в зависимости от ее координаты. Для этого достаточно знать, согласно уравнению (4.Э2), конкретный вид потенциальн о й к р и в о й (Г(х) и значение полной энергии Е. 2.
Установить область изменения коордиваты х частицы, в которой она может находиться при данном значении полной энергии Е. Ясно, что в область, ~де (Г>Е, частица попасть не может, поскольку потенциальная энергия (Г частицы нс должна превышать ее полную энергию. Отсюда сразу следует, что прн Е=Е~ (рис. 4.9) частица будет двигаться или н области между координатами х, и х, (совершает колебания) или правее координаты хз. Перейти же из первой области во вторую (илн обратно) частица не может: этому препятствует потенциальный ба р ьер, разделяюший обе эти области. Заметим, что когда частица движется в ограниченной области поля, то говорят, что она заперта в потенциальной яме (в нашем случае — между х~ и хз).
Иначе ведет себя частица при Е=-Ез (рис 4.9): для нее доступна вся область правее координаты хм Если в начальный момент частица находилась в точке х„ то в дальнейшем она будет двигаться вправо. Полезно самостоятельно проследить, как будет меняться при этом кинетическая энергия частицы в зависимости от ее коорднна ты х. $ 4.4. Потенциальная энергия системы До сих пор мы ограничивались рассмотрением поведения одной частицы с энергетической точки зрения. Теперь перейдем к системе частиц. Это может быть любое тело, газ, какой-то механизм, Солнечная система и т. д. 101 Собственная потенциальная энергия системы.
Рассмотрим систему, между частицами которой действуют одни лишь центральные силы, т. е. силы, зависящие прн данном характере взаимодействия только от расстояния между частицами и направленные по прямой, проходящей через эти частицы. Покажем, что независимо от системы отсчета работа всех этих внутренних сил при переходе системы частиц из одного положения в другое может быть представлена как убыль некоторой функции, зависящей при данном характере взаимодействия только от относительного расположения частиц системы, т.
е. от ее конфигурации. Эту функцию называют собственной потенциальной энергией системы (в отличие от в н е ш н е й потенциальной энергии, характеризующей взаимодействие данной системы с другими телами). Сначала возьмем систему из двух частиц 1 и 2. Определим алгебраическую сумму элементарных работ сил Г~ и Гь с которыми эти частицы взаимодействуют. Пусть в произвольной К-системе отсчета за время б1 частицы совершили перемещения бг, и бгь Тогда соответствующая сумма работ этих сил ВАьа ГАбг1+Гздг2 Учитывая, что Гд= — Г~ (согласно третьему закону Ньютона), перепишем предыдущее уравнение так: ьАьз=Г,(бг,-дг,).
Величина, стоящая в скобках, представляет собой не что иное, как перемещение частицы 1 относительно частицы 2, точнее, перемещение частицы 1 в К'-системе отсчета, жестко связанной с частицей 2 и перемещающейся вместе с ней поступательно относительно исходной К-системы отсчета. Действительно, перемещение бг~ частицы 1 в К-системе отсчета может быть представлено как перемещение бгз К'-системы отсчета (связанной с частицей 2) плюс перемещение бг~' частицы ! относительно этой К'- системы, т.
е. дг,=бгз+бг~'. Отсюда бг,— дгз=дг~' и ЗАтл — — Г, бг,'. Полученный таким образом результат весьма замечателен: алгебраическая сумма элементарных работ пары сил взаимодействия в произвольной К-системе отсчета оказывается всегда равной элементарной работе, кото- 102 рую совершает сила, действующая на одну частицу, в системе отсчета, где другая частица покоится, Иначе говоря, работа 6Аьз не зависит от выбора исходной К-системы отсчета. Сила Гь действующая на частицу 1 со стороны частицы 2, является центральной, а значит и консервативной. Поэтому работа данной силы па перемещении бг~' может быть представлена, согласно (4АО), как убыль потенциальной энергии частицы 1 в поле частицы 2 или как убыль потенциальной энергии взаимодействия рассматриваемой пары частиц: ЬАз,з — — бам, где с11з — функция, зависящая только от расстояния между этими частицами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
