1611143554-2751c415c5775cb40b07ebcab0fe74f2 (825015), страница 21
Текст из файла (страница 21)
На гладкой горизонтальной плоскости лежат две не. большие шайбы, каждая массы т, которые соединены между собой невесомой пружинкой. Одной нз шайб сообщили начальную скорость ом как показано на рис. 4.10 (вид сверху). Най. дсм внутреннюю механическую эаергию Е этой системы в пропессе днижения. Поскольку плоскость гладкая, система в про. мессе двиэкения будет вести себя как замкнутая. ° Ф Поэтому сс полная механическая энергия Е и ско.
рость Чс венгра масс будут сохраняться, оста. ваясь равными тем значениям, которые они име ни в начальный момент: Е=-гпоэх(2 н )ге=се)2 Подставив эти значения в формулу (4.57), полу. чим Рис. 4.10 Е = Š— Чг2т)гс = эг'4 шоо ° где учтено, что масса системы равна 2ш. 1!етруд. но сообразить, что внутренняя энергия Е связана с врашением и колебанием данной системы, причем в начальный момент Е была равна тольно энергии врашательно. го движения.
Если система частиц залггснута н в ней происходят процессы, связанные с изменением полной механической энергии, то из (4.57) следует, что ЛЕ=ЛЯ, т. е. приращение полной механической энергии относительно произвольной инерциальной системы отсчета равно приращению в н у т р е н н е й механической энергии. При этом кинетическая энергия, обусловленная движением системы частиц как целого, не меняется, ибо для замкнутой системы Чс=сопзй В частности, если замкнутая система к о н с е р в ат и в н а, то ее полная механическая энергия сохраняется во всех инерциальных системах отсчета. Этот вывод находится в полном соответствии с принципом относительности Галилея. й 4.6.
Столкновение двух частиц Предварительные сведения. В этом параграфе мы рассмотрим различные случаи столкновения двух частиц, 1!3 используя в качестве инструмента исследования только законы сохранения импульса и энергии. При этом мы увидим, что законы сохранения позволяют сделать ряд весьма общих и существенных заключений о свойствах данного процесса вне какой-либо зависимости от конкретного закона взаимодействия частиц. Попутно покажем, какие преимущества дает Ц-система, использование которой, как будет видно, значительно упрощает анализ процесса и многие расчеты.
Хотя мы будем говорить о столкновении частиц, необходимо сразу же оговорить, что все последующие рассуждения и выводы в равной степени относятся и к столкновению л ю б ы х т е л. Надо только иметь в виду, что вместо скорости частицы следует брать скорость центра масс каждого тела, а вместо кинетической энергии частицы — ту часть кинетической энергии каждого тела, которая характеризует его движение как целого.
Прежде чем переходить к рассмотрению теории столкновений, приведем несколько важных н полезных соотношений для системы из двух частиц в ее Ц-системе отсчета. Ранее (в конце $3,4) были получены выражения (3.12) для импульса каждой частицы в Ц-системе. За. пишем эти выражения в такой форме: Р2= 12 (Ч2 Ю2), Р2= 22 (У2 22)~ где ч, и ч2 — скорости частиц в исходной системе отсчета, 12 — так называемая приведенная масса системы, (4.59) п2~ и т2 — массы частиц. Из формул (4.58) видно, что импульсы обеих частиц в Ц-системе одинаковы по модулю и противоположны по направлению, причем модуль импульса каждой частицы можно записать как (4.60) здесь Оот2= ~ у1 у2 ~ ' скорость Одной частицы «Относительно другой».
Теперь обратимся к кинетической энергии. Суммарная кинетическая энергия обеих частиц в Ц-системе 114 Т = Т, + Т, = р /2т, + р/~2т,. Так как, согласью (4.59), 1/т,+1/т»=1/р,, то выражение для Т примет следующий вид: (4.61) Т вЂ” ' 2н 2 Если частицы взаимодействуют друг с другом, то полная механическая энергия частиц в Ц-системе Е=Т+13, где (/ — потенциальная энергия взаимодействия данных частиц.
В дальнейшем при рассмотрении столкновений частиц будем считать; 1) исходная К-система отсчета инерциальная, 2) система из двух частиц замкнутая, 3) импульсы (и скорости) частиц до и после столкновения соответствуют достаточно большим расстояниям между ними; при этом потенциальной энергией взаимодействия можно просто пренебречь. Кроме того, величины, отыосящиеся к системе после столкновения, будем отмечать штрихом, а величины в Ц- системе — значком — (гильда) сверху.
Перейдем к существу вопроса. Различают три типа столкновения частиц; абсолютно неупругое, абсолютно упругое и промежуточный случай — неупругое. Абсолютно неупругое столкновение. Это такое столкновение, в результате которого обе частицы «слипаются» и далее движутся как единое целое. Пусть две частицы, массы которых т, и тм имеют до столкновения скорости ч~ и чз (в К-системе). После столкыовения образуется частица с массой т,+тм что прямо следует из аддитивности массы в ньютоновской механике.
Скорость ч' образовавшейся частицы можно найти сразу из закона сохранения импульса: (т,+и~)ч'=т,ч,+т,ч,. Ясно, что скорость ч' равна скорости центра масс системы. В Ц-системе этот процесс выглядит наиболее просто: до столкновения обе частицы движутся навстречу друг другу с одинаковыми импульсами р, а после столкыовения образовавшаяся частица оказывается неподвижной.
115 При этом суммарная кинетическая энергия 2д частиц целиком переходит во внутреннюю энергию Я образовавшейся частицы, т. е. 7=Щ Отсюда с учетом формулы (4.61) найдем г — (и, — гд,)г. (4.62) 2 2 ди!+ Лбг Таким образом, величина Я для данной пары частиц зависит только от их относительной скорости. Абсолютно упругое столкновение. Это такое столкновение, в результате которого внутренняя энергия частиц не меняется, а поэтому не меняется н кинетическая энергия системы.
Рассмотрим два частыых случая; лобовое и нелобовое упругие Рд Од - столкновеыия. д д Л„б * ° — б (Уд б. Рис. 4.1! новення движутся по од. ной и той же прямой. Пусть до столкновения скорости частиц в К-системе отсчета Равны тд! и чг (частицы движУтсЯ или навстРечУ друг другу, или одна частица догоняет другую). Каковы скорости этих частиц после столкновения? Рассмотрим этот процесс сначала в Ц-системе, где до и после столкновения обе частицы имеют одинаковые по модулю н противоположные по ыаправлению импульсы (рис. 4.!1).
Более того, так как суммарная кинетическая энергия частиц до и после столкновения одинакова, как и их приведенная масса, то, согласно (4.61), импульс каждой частицы в результате столкновения изменит только ыаправление на противоположное, не меыяясь при этом по модулю, т. е. р = — рь где 1=1, 2.
Последнее относится и к скорости каждой частицы в Ц-системе: ч,г= — чн Теперь найдем скорость каждой частицы после столкновения в К-системе отсчета. Для этого используем формулы преобразования скоростей при переходе от Ц- к К- системе, а также предыдущее равенство. Тогда чг=Чс+чг=Чс — ч =Чс — (м; — Чс)=2Чс — чд, где Чс — скорость центра масс (Ц-системы) в К-системе отсчета; эта скорость определяется формулой (3.9). Итак, 116 скорость И частицы в К-системе после столкновения есть 14.63) ч',= 211с — чо где 1=1, 2. В проекциях на произвольную ось х это равенство имеет вид ~„= — 2'ис — ~ (4.64) В частности, если массы частиц одинаковы, то легко убедиться, что частицы в результате столкновения просто обмениваются скоростями, т. е.
ч~'=и, и чи' —— чь ,4г в Рис. 4.13 Рис. 4.12 2. Н е л о б о в о е с т о л к н о в е н ие. Ограничимся случаем, когда одна из частиц покоится до столкновения. Пусть в К-системе отсчета частица массы гп, с импульсом р1 испытала упругое нелобовое столкновение с покоившейся частицей массы гпь Каковы возможные импульсы этих частиц после столкновения? Рассмотрим этот процесс также сначала в Ц-системе, Здесь, как н в предыдущем случае, обе частицы в любой момент времени до и после столкновения имеют одинаковые по модулю и противоположные по направлению импульсы, Кроме того, импульс каждой частицы не изменится по модулю в результате столкновения, т.
е. р =Р Однако направление разлета частиц теперь будет иным. Оно будет составлять с первоначальным направлением движения некоторый угол 0 1рис. 4.12), зависящий от закона взаимодействия частиц и их взаимного расположения в процессе столкновения. Найдем импульс каждой частицы в К-системе отсчета после столкновения.
С помощью формул преобразо- 117 вания скоростей при переходе от Ц- к К-системе полу- чим: р~ =тхч~=тт(Чс+ ч~)=тгЧс+ Рь (4.65) рз=т,чз=и,(Чс+чг)=т, Чс+Рз, где Чс — скорость Ц-системы относительно К-системы отсчета. Сложив отдельно левые и правые части этих равенств с учетом того, что р~'= — рз', получим Р~+ Рз = (т~+ тг) Чс = Рм как и должно быть в соответствии с законом сохранения импульса. Построим теперьтакназываемую векторную ди- аграмму импульсов. Сначала изобразим вектор р, отрезком АВ (рис. 4.13), затем векторы р~' и рг', ка- ждый из которых представляет собой, согласно (4.65), сумму двух векторов.
Заметим, что это построение справедливо вне зави- симости от угла 6. Отсюда следует, что точка С (рис. 4.13) может находиться только иа окружности радиуса Р с центром в точке О, которая делит отрезок АВ на две части в отношении АО: ОВ=~п,; ть Более того, в рас- сматриваемом случае (частица массы тз покоится до столкновения) эта окружность проходит через точку В— конец вектора рь нбо отрезок ОВ=Р. Действительно, ОВ=т, ~'с=т, ьц+ тз где е, — скорость налетающей частицы. А так как в на- шем случае е,=э„„, то, согласно (4.59) и (4.60), ОВ = р в„„' = Р. Таким образом, для построения векторной диаграммы импульсов, соответствую1цей упругому столкновению двух частиц (одна из которых первоначально покоилась) необходимо: 1) изобразить отрезок АВ, равный импульсу р~ на- летающей частицы; 2) через точку  — конец вектора р~ — провести ок- ружность радиуса Р=Ре~ = Р~ (4.66) Ш,+Ш, 118 центр которой — точка Π— делит отрезок АВ на две части в отношении АО; ОВ=т~ ..
ть Эта окружность есть геометрическое место точек всех возможных положений вершины С треугольника импульсов АВС, стороны АС и СВ которого и представляют собой возможные импульсы частиц после столкновения (в К-системе отсчета). В зависимости от соотношения масс частиц точка А— начало вектора р~ — может находиться внутри данной окружности, на ней или снаружи (рис. 4.14, а, б, в). При этом во всех трех случаях угол 0 может принимать все А з д ж =ж г %~~пг Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
