1611143554-2751c415c5775cb40b07ebcab0fe74f2 (825015), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Пример 3. На горизонтальной гладкой плоскости находятся неподвижный вертикальный цилиндр и шайба А, соединенная с цилиадрои горизонтальной нитью АВ (рис. 5.5, вид сверху). Шайбе сообщили начальную скорость ч, как т/ показано на рисунке. Есть ли здесь точка, относительно ноторой момент импульса шайбы будет оставаться постоянным в процессе А авиженияу В В данном случае единственная некоипенсированная сила, действу- Р .55 ющая на шайбу А,— зто сила па-' ис.
гяжения Г со стороны нити. Нетрудно видеть, что точки, относительно которой моиевт силы Г в процессе движения был бы нсе время равен нулю, здесь нет. А следовательно, иет и точки, относительно которой момент импульса шайбы оставался бы постоянным. Этот пример показывает, что не всегда сущестнует точка, относительно которой момент иипульса частицы оставался бы постоянныы. Уравнение моментов (5.5) позволяет получить ответ на два вопроса: 1) найти момент силы М относительно интересующей нас точки О в любой момент времени (, если известна зависимость от времени момента импульса 1.(() частицы, относительно той же точки; 2) определить приращение могяента импульса частицы относительно точки О за любой промежуток времени, если известна зависимость от времени момента силы М((), действующего на эту частицу (относительно той же точки О). Решение первого вопроса сводится к нахождению производной по времени от момента импульса; т.
е. 61./Ж, которая и равна, согласно (5.5), искомому моменту силы М. Решение же второго вопроса сводится к интегрированию уравнения (5.5). Умножив обе части этого уравнения на г)(, получим Ж=Мпг — выражение, которое определяет элементарное приращение вектора 1.. Проинтегрировав это выражение по времени, найдем приращение вектора Ь за конечный промежуток времени гт 135 Величин), стоящ) ю в правой части этого уравнения, называют импульсом момента силы, Таким образом, приращение момента импульса частицы за любой промежуток времени равно импульсу момента силы за эго же время.
Рассмотрим два примера. йгт Рис. 5.6 Рис 57 Пример 1 Момент импульса частицы относительно некоторой точки меняется со временем 1 по закону ь(1) =.а+ы'-, где а и ь— некоторые постоянные векторы, причем айЬ Найдем момент силы М, действующий на частицу, когда угол между векторами М и ь ока. жется равным 45 Согласно (5 5), М=сь(41=2Ы, т е вектор М все время совпадает по направлению с вентором Ь Изобразим векторы М и Е в некоторый момент 1 (рнс 5 6) Из этого рисунка видно, что угол а= =-45' в момент гч, когда а=ЫР Отсюда ге= Ус~)Ь и М=21а~Ь Ь Пример 2 Камень А массы гп бросили под углом н горизонту с начальной скоростью те Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдем зависимость от времени момента нмпульсз камня Е(1) относительно точки бросания О (рис 5 7) За промежуток времени гц момент импульса камня относительно точки О получит приращение бь=М41=(г, гнд]41 Так как г=то1+ +Кц)2 (см с 12), то бЕ=(ть нгя)гбг Проинтегрировав это выраже пне с учетом того, чзо в момент 1=0 Е(0) =О, получим ь(1) = =.[тм тя)Н(2 Отсюда видно, что направление вектора й остается неизменным в процессе дви кення (вектор Е направлен за плоскость, рис 5 7) Момент импульса и момент силы относительно оси.
Возьмем в интересующей нас системе отсчета произвольную неподвижную ось г. Пусть относительно некоторой точки О на осн а момент импульса частицы А равен Е, а момент силы, действующий на частицу,— М. Моментом импульса относительно оси я называют про- 136 акцию на эту ось вектора а., определенного относительно произвольной точки О данной осп (рпс. 5.8).
Лпало- Рис. 5.8 Рис. 5.9 гично вводят и понятие момента силы относительно оси. Их обозначают соответственно Л, и М,. Далее мы увидим, что Ь, и .'И- не зависят от выбора точки О на оси г. Выясним свойства этих величин. Записав уравнение 15.5) в проекциях на ось г, получим бУ.„~Й =- ти„(5.? ) т. е. производная по времени от е Е момента импульса частицы относительно оси г равна моменту сн- у ем лы относительно этой оси. В част- --й ности, если М,=О, то й,=сопз1, '.л Другими словами, если момент Е силы относительно некоторой неподвижной оси г равен нулю, то момент импульса частпцы относительно этой оси остается постоянным.
При этом сам вектор ). Рис 5.10 может и меняться. Пример. Небольшое тела массы лн подвешенное па нити, равномерно днижстся по горизонтальной окружности (рис. 5.9) под действием силы тяжести тя и силы натяжения Т со стороны пптж Отно сительно точки О момент импульса тела — вектор ь — находится а одной плоскости с осью г и питью, и прн движении тела вектор под дейстяием момента М силы тяжести асе время поворачивается, т, е, меняется, Проекция же 5, остается при этом постоянной, так как вектор М перпендикулярен оси г и М,=О. 137 Найдем теперь аналитические выражения для Л, и М,.
Нетрудно видеть, что эта задача сводится к нахождению проекций на ось з векторных произведений [гр] и [гг]. Воспользуемся цилиндрической системой координат р, ~р, з, связав с частицей А (рис. 5АО) орты е,, е, е„ направленные в сторону возрастания соответствуюших координат. В этой системе координат радиус-вектор г и импульс р частицы записывают так: г=рер+ае„р=ррер+Р е,+Р,е„ где ря, рт, р,— проекции вектора р на соответствуюшие орты. Из векторной алгебры известно, что векторное произведение [гр] можно представить определителем е, е, е, р 0 Р~ Р Рг Е=[гр!= Отсюда сразу видно, что момент импульса частицы от- носительно оси г (5ЛО) М =рот, где Š— проекция вектора силы Г на орт е . Обратим внимание, что проекции Е, и М, действительно не зависят от выбора точки О на оси я, относительно которой определены векторы $.
и М. Кроме того, видно, что й, и М. — величины алгебраические, их знаки соответствуют знакам проекций рч и Г,. ф 5.2. Закон сохранения момента импульса Выберем произвольную систему частиц. Введем понятие момента импульса данной системы как векторную сумму моментов импульсов ее отдельных частиц: 138 ~-,=р Р., (5.8) где р — расстояние частицы от оси я. Преобразуем это выражение к виду, более удобному для практических применений.
Имея в виду, что р =то.=жры„получим у.,=т рэмбо„ (5.9) где ы, — проекция угловой скорости ы, с которой поворачивается радиус-вектор частицы. Аналогично (5.8) записывается и момент силы относительно оси аз где все векторы определены относительно одной и той же точки О заданной системы отсчета. Заметим, что момент импульса системы — величина аддитивная: момент импульса системы равен сумме моментов импульсов ее отдельных частей независимо от того, взаимодействуют они между собой или нет. Выясним, какая величина определяет изменение момента импульса системы.
Для этого продифференцируем (5,11) по времени: д(,гй=~чИ4дй В предыдущем параграфе было показано, что производная дЕ;/Ж равна моменту всех сил, действующих на г-ю частицу. Представим этот момент в виде суммы моментов внутренних и внешних сил, т. е. М,'+М,. Тогда Здесь первая сумма — это суммарный момент всех внутренних сил относительно точки О, вторая сумма — суммарный момент всех внешних сил относительно той же точки О. Покажем, что суммарный момент всех внутренних сил относительно любой точки равен нулю. Действительно, внутренние силы в это силы взаимодействия между частицами данной системы, По третьему закону Ньютона, эти силы попарно одинаковы по модулю, противоположны по направлению и лежат на одной прямой, т.
е. имеют одинаковое плечо. Поэтому моменты сил каждой пары взаимодействия равны но модулю и противоположны по направлению, т, е. уравновешивают друг друга, и, значит, суммарный момент всех внутренних сил всегда равен нулю. В результате последнее уравнение принимает вид (5.12) где М„„„,— суммарный момент всех внешних сил, М„=,з Мг. Уравнение (5.12) утверждает: производная момента имггульса системы по времени равна суммарному моменту всех внешних сил. Разумеется, оба момента, В и М, здесь определены относительно одной и той же точки О заданной системы отсчета.
Как и в случае одной частицы, из уравнения (5.12) следует, что приращение момента импульса системы за конечный промежуток времени 1 (5.13) (5.14) т. е. приращение момента импульса системы равно импульсу суммарного момента всех внешпих спл за соответствующий промежуток времени. И здесь, конечно, оба момента, 1. и М„„ы определены относительно одной и той же точки О выбранной системы отсчета. Уравнения (5.12) и (5.13) справедливы как в инерциальной, так и в неинерциальной системах отсчета. Только в неинерциальной системе отсчета нужно учитывать и действие снл инерции, играющих роль внешних сил, т.
е. под М„„, в этих уравнениях следует понимать сумму Млч+М„„, где М,, — суммарный момент внешних сил взаимодействия, М„„— суммарный момент спл инерции (относительно одной и той же точки О системы отсчета), Итак, мы пришли к важному выводу: согласно уравнению (5.12), лгомент импульса систелгы может изменяться под действием только суммирноео момента всех внешних сил. Отсюда непосредственно вытекает и другой важный вывод — -закон сохранения момента импульса: момент илгпульса замкнутой систелгы частиц остается постоянным, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
