1611143554-2751c415c5775cb40b07ebcab0fe74f2 (825015), страница 26
Текст из файла (страница 26)
не меняется со временем, причем это справедливо для момента импульса, взятого относительно любой точки инерциальной системы отсчета. Таким образом, в инерциальной системе отсчета момент импульса замкнутой системы частиц 1.= ~~~ Ь, (г) =сопз1. При этом моменты импульса отдельных частей или частиц замкнутой системы могут изменяться со временем, что н подчеркнуто в последнем выражении. Однако эти изменения всегда происходят так, что приращение момента импульса одной части системы равно убыли момента импульса ее другой части (конечно, относительно одной и той же точки системы отсчета). В этом смысле уравнения (5.12) и (5.13) можно рассматривать как более общую формулировку закона со- гло хранения момента импульса, формулировку, в которой указана и причина изменения момента импульса интересующей нас системы — действие других тел (через момент внешних снл взаимодействия).
Сказанное, разумеется, справедливо только по отношению к инерциальным системам отсчета. Подчеркнем еще раз: закон сохранения момента импульса имеет место только по отношению к инерциальиым системам отсчета. Однако это не исключает случаев, Ноша Рис. 5.11 когда момент импульса системы сохраняется и в неияерцпальных системах отсчета.
Для этого достаточно, чтобы согласно уравнению (5.12) — а оио справедливо и в неинерциальных системах отсчета — суммарный момент всех внешних спл (включая и силы инерции) был равен нулю. Такие ситуации реализуются довольно редко и соответствующие случаи имеют весьма частный характер. Закон сохранения момента импульса играет такую же важную роль, как и законы сохранения энергии и импульса. Уже сам по себе он позволяет сделать во многих случаях ряд существенных заключений о свойствах тех илн иных процессов, совершенно не вникая в их детальное рассмотрение.
Проиллюстрируем сказанное на таком примере. Пример. Два одинаковых шара насажены на гладкий горизонтальный стержень, по которому они могут скользить (рис. 5.11). Шары сближают и соединяют нитью. Затем нсю установку приводят во вращение вокруг вертикальной оси, предоставляют ее самой себе и пережигают нить. Шары, естественно, разлетаются к концам стержня. Угловая скорость установки при этом резко уменьшается.
Наблюдаемый эффект является прямым следствием закона сохранения момента импульса. Данная установка ведет себя, по суще. ству, как замкнутая: внешние силы компенсируют друг друга, силы трения в оси предполагаются пренебрежимо малыми. Для количественной оценки изменения угловой скорости будем считать, что масса всей установки практически сосредоточена в шарах, а их размеры 141 достаточно малы. Тогда из равенства моментов импульса шаров ат. носитсльно точки С в начальном и конечном состояниях системы, 2ш[ггчг[=2т[гзчз], следует 2 2 г ан =гаем. Отсюда видно, что с увеличением расстояния г шаров от оси вращения угловая скорость установки уменьшается (как 1/гз). И наоборот, если бы расстояние между шарами уменьшалось (под действием каких-либо внутренних сил), угловая скорость установки увеличивалась бы.
Этот эффект имеет общий характер, и его широко используют, например, фигуристы н гимнасты. д А Обратим внимание на ззтв) тот факт, что конечный результат совершенно не зависит от характера вн>трениях сил (здесь — это силы треРис. 5.!2 ния между шарами и стерж- нем). Особый интерес представляют случаи, когда момент импульса [. сохраняется для незамкнутых систем, у которых, как известно, импульс р меняется со временем.
Если относительно некоторой точки 0 выбранной системы отсчета, суммарный момент внешних сил М„=О в течение интересующего нас промежутка времени, то, согласно (5.12), момент импульса системы относительно точки 0 сохраняется за зто время. В незамкнутых системах такой точки, вообще говоря, может и не быть, что следует прежде всего выяснить для каждого конкретного случая. Пример 1. Система Земля — Луна, движущаяся в поле тяготения Солнца, является незамкнутой. Ее импульс все время меняется под действием сил тяготения со стороны Солнца. Здесь, однако, имеется одна точка, относительно которой момент сил тяготения, действующих на данную систему, все время равен нулю, — это центр Солнца.
Поэтому можно сразу утверждать, что момент импульса системы Земля — Луна относительно центра Солнца остается постоянным. Пример 2. На гладкой горизонтальной плоскости лежит стержень ОВ, который может свободно вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его конец О (рис. 5.12]. В конец В стержня попадает, застревая, шайба А, скользившая по плоскости, и вся система начинает вращаться как единое целое вокруг тачки О.
Ясно, что система шайба — стержень незамкнутая: кроме сил, уравновешивающих друг друга в вертикальном направлении, са стороны оси в процессе удара будет действовать горизонтальная сила, а после того, как стержень начнет вращаться, возникает еще одна сила со стороны оси, благодаря которой центр масс системы будет двигаться по окружности. Но обе силы проходят через точку О, а 142 следовательно, момент втих внешних сил относительно точки О все время равен нулю. Отсюда вывод: момент импульса данной системы будет оставаться постоянным относительно точки О. В более ограниченном случае у незамкнутых систем может сохраняться не сам момент импульса Е, а его проекция на некоторую неподвижную ось г, Это бывает тогда, когда проекция суммарного момента М„мш всех внешних сил на эту ось г равна нулю, В самом деле, записав уравнение (5.12) в проекциях на ось г, получим т)й,тот = М,„,, (5.15) Здесь А, и М„,,— момент импульса и суммарный мо- мент внешних сил относительно оси г: (5.
16) ~а =~~~~~ ~ ы~ ''"~чччч~с= «~~ Мьм где Ь„и ̄— момент импульса и момент внешних сил относительно оси г для 1-й частицы системы. Из уравнения (5.15) следует, что если относительно некоторой неподвижной в данной системе отсчета оси г проекция Мвисш с=в О, то момент импульса системы относительно этой оси сохраняется: Е,=~~~~ Е„(Г)=сопз1. При этом сам вектор Е, определенный относительно произвольной точки 0 на этой оси, может меняться.
Например, если система движется в однородном поле тяжести, то суммарный момент всех сил тяжести относительно любой неподвижной точки О перпендикулярен вертикали, а значит, относительно любой вертикальной оси М ешя— = О и г.,=сопи(, чего нельзя сказать о векторе 1.. Рассуждения, которые приводят к закону сохранения момента импульса, целиком опираются на справедливость законов Ньютона, А как обстоит дело в системах, не подчиняющихся этим законам, например в системах с электромагннтным излучением, в атомах, ядрах и др.? Учитывая громадную роль, которую играет закон сохранения момента импульса, в физике понятие момента импульса расширяют на немеханические системы (которые не подчиняются законам Ньютона) н постулируют закон сохранения момента импульса для всех физических процессов. Такой расширенный закон сохранения момента импульса уже не является следствием законов Ньютона, а представляет собой самостоятельный общий принцип, 1Я являющийся обобщением ояьстньсх фактов.
Наряду с за- конами сохранения энергии и импульса закон сохранения момента импульса является одним из фундаментальньсх законов нриродьи й 5.3. Собственный момент импульса М='~ [г, Г,[='~)'[г, Г,[+ '~~ [г, Гс[, илп ~М=М+[г.Г[,~ (5.18) где Г=~Г, — результирующая всех внешних сил. Из формулы (5.18) видно, что если Г=О, то суммарный момеят внешних сил не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют. Таков, в частности, случай, когда к системе приложена и а р а с ил. Пример. К телу в точках 1 и 2 приложены две одинаковые по модулю и оротивоположно направленные силы Г, и Гэ, не действующие вдоль одной прямой (иара сил) Пусть г~э — радиус-вектор, проведенный нз точки ! в точку 2 Найдем суммарный момент М этой пары сил Здесь результирующая сила Г=Г~+Гз=а, поэтому согласно (5 18) момент М этой пары сил не должен зависеть от выбора точки 144 В предыдущем параграфе было установлено, что момент импульса 1.
системы изменяется только под действием суммарного момента М всех внешних снл; именно этот вектор М определяет поведение вектора 1.. Те/' перь рассмотрим некоторые наиболее существенные свойства этих величин и те важные выводы, которые из них вытекают. Суммарный момент внешних сил. Как и момент каждой силы, суммарный момент сил зависит, вообще Рис, 513 говоря, от выбора точки, относительно которой его определяют. Пусть М вЂ” суммарный момент сил относительно точки О, а М' — относительно точки О', радиус-вектор которой го (рис. 5.13).
Найдем связь между М и М'. Радиусы-векторы г, и г', точки приложения силы Г, связаны соотношением г,=г',+г, (рис. 5.13). Поэтому выражение для М можно записать в таком виде: О, относительно которой его определяют. Воспользовавшись зтим, выберем в качестве точки О точку ! (относительно нее момент силы Г~ равен нулю), тогда Я = [гш Рз) . Модуль вектора М равен, как нетрудно сообразить, М=1г, где г'— п л е ч о п а р ы, т е. расстояние между прямыми, вдоль которых действуют силы, а г — модуль кагкдой силы. Интересной и важной особенностью в этом отношении обладает Ц-система (напомннм, что эта система отсчета жестко связана с центром масс системы частиц и перемещается поступательно по отношению к инерциальным системам). Так как в общем случае Ц-система является неинерциальной, то результирующая всех внешних сил должна включать в себя кроме внешних сил взаимодействии Г,* и силы инерции Г, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
