1611143554-2751c415c5775cb40b07ebcab0fe74f2 (825015), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Моменты инерции некоторых однородных твердых тел относительно оси хс, проходящей через центр масс тела, приведены в следующей таблице (здесь пт — масса тела): момент инерции тонкого стержня (массы т и длины 1) относительно оси, перпендикулярной стержню п проходящей через его конец, равен 7 = — тР+ т — = — тР. 12 2 ~ 3 Уравнение динамики вращения твердого тела (ось вращения неподвижна). Это уравнение легко получить как следствие (5.15), если продифференцировать (5.27) по времени, тогда (5.30) где М,— суммарный момент всех внешних сил относительно осн вращения.
Из этого уравнения, в частности, видно, что момент инерции 7 определяет инерционные свойства твердого тела прп вращении: при одном и том же значении момента сил М, тело с ббльшим моментом инерции приобретает меньшее угловое ускорение 5,. Напомним, что моменты сил отяосительпо оси — величины алгебраические: их знаки зависят как от выбора положительного направления оси г (совпадающей с осью вращения), так и от направления «вращения» соот. ветствующего момента силы, Например, выбрав положительное направление оси з, как показано на рис. 5.16, мы тем самым задаем и положительное направление отсчета угла гр (оба эти направления связаны и правилом правого винта). Далее, если некоторый момент М;, «вращает» в положительном направлении угла ~2, то этот момент считается положительным, и наоборот.
А знак суммарного момента М.- в свою очередь определяет знак Рнс. 5,16 пРоекЦии вектоРа Углового УскоРениЯ па ось з. Интегрирование уравнения (5.30) с учетом начальных условий — значений аьь и я~э в начальный момент времени — позволяет полностью решить задачу о вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, т, е. найти зависимость от времени угловой скорости и угла поворота, в,(1) и ср(1). Заметим, что уравнение (5.30) справедливо в любой системе отсчета, жестко связанной с осью вращения.
Однако если система отсчета неинерциальная, то момент сил М, включает в себя не только моменты спл взаимодействия с другими телами, но и моменты гил инерции. !52 Кинетическая энергия вращающегося твердого тела (ось вращения неподвижна). Имея в виду, что скорость 1-й частицы вращающегося твердого тела о,=р,ш, запи- шем Т = "~~ и, е272= (~~) лт, р21) м272, илн, короче, 7 = — 11аэ (5.31) где 1 — момент инерции тела относительно оси вращения, ш — его угловая скорость.
Пример. Диск 1 (рис 517) вращается вокруг гладкой верткаль ной оси с угловой скоростью м1 На него падает диск 2, вращающийся с угловой е скоростью мз Вследствие трения между ними оба диска через некоторое время на чинают вращаться как единое целое Най дем приращение кинетической энергии вра г щения этой системы, если моменты инер цнн дисков относительно оси вращения 1 равны соответственно 11 и 11 Сначала найдем установившуюся уг ловую скорость вращения Из закона со Рис 517 хранения момента импульса системы отно сительно оси г следует, что 11от1*+12юз,= = (11+ 11) со „откуда 11шза + 12мэ 1 +1 Заметим что ем„гэг* и ы, — величины алгебраические Если окажется, что ьь>0, то это зна 1ит, что соответствующий вехтор м совпада ет с почожительным направлением оси а, и наоборот Приращение кинетической энергии вращения этой системы дТ = 12 (!1+ 12) гэа 112 (1!ига+ 12~2д) Заменив ы, его выражением (1), голучим 11 12 ЬТ вЂ .= — (и1» м2а) 2 (11 + 12) (2) 153 Знак минус показывает, что кинетическая энергия системы уменьшается Обратим внимание на то, что полученные результаты (1) и (2) весьма похожи и по форме, и по смыслу на случай абсолютно не упругого столкновения (см Гг 4 5), Работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси.
В соответствии с уравнением (4.49) работа всех внешних сил, действующих на твердое тело, равна приращению только кинетической энергии тела, так как его собственная потенциальная энергия при этом не меняется. Таким образом, бА=бТ или, согласно (5.3!), бА=д(1оз)2). Так как ось г совпадает с осью вращения, то в'=в,' и Но согласно (5.30), Иы.=М.Й. Подставив это выраже- ние в последнее уравнение для бА и учтя, что ы,б!=д~р, получим оА = М, б<р.
(5.32) Работа бА — величина алгебраическая: если М, и йр имеют одинаковые знаки, то бА>0; если же их знаки противоположны, то бА(0. Работа внешних сил при повороте твердого тела на конечный угол ср равна А=~ М,с)р. (5.33) В случае, если М,=сопя(, последнее выражение упрощается: А=М,~р. Таким образом, работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси определяется действием момента М, этих сил относительно данной оси. Если силы таковы, что их момент М,=О, то работы они не производят. 2. Плоское движение твердого тела (см. с.
2!). При плоском движении центр масс С твердого тела движется в определенной плоскости, неподвижной в данной К-системе отсчета, а вектор его угловой скорости ы все время остается перпендикулярным этой плоскости. Последнее означает, что в Ц-системе твердое тело совершает чисто вращательное движение вокруг неподвижной в этой системе оси, проходящей через центр масс тела.
Вращательное же движение твердого тела определяется уравнением (5.30), которое, как было отмечено, справедливо в любой системе отсчета. Таким образом, мы имеем следующие два уравнения, описывающие плоское движение твердого тела: шас=Р) уср,=Мс„ (3.34) где т — масса тела, г — результирующая всех внешних сил, 7с и Мс,— момент инерции и суммарный момент всех внешних сил — оба относительно оси, проходящей через центр масс тела.
При этом следует помнить, что момент Мс, включает в себя только внешние силы взаимодействия, несмотря на то что Ц-система в общем случае является неинерциальной. Это связано с тем, что суммарный момент сил инерции равен нулю как относительно центра масс, так я и относительно любой оси, проходящей через эту точку. У Поэтому его можно просто г с (=) ° не учитывать (см. с.
147). г Заметим также, что угло- . ас вое ускорение ()м а следовательно ю, и гр одинаковы в обеих системах отсчета, так ту как Ц-система движется поступательно относительно Рнс. 5 18 инерциальной К-системы отсчета. Интегрируя уравнения (5.34) с учетом начальных условий, можно найти зависимости гс(() и гр(1), определяющие положение твердого тела в любой момент й При решени задачи о движении несвободноло твердого тела необходимо использовать еще одно, дополнительное, условие, определяющее ограничения движения имеющимися связями. Оно дает кинематнческую связь между линейным и угловым ускорениями. Пример. Однородный цилиндр массы ш и радиуса г скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол а с го ризонтом (рис.
5.18), Найдем уравнения движения цилиндра, Стандартный подход к решению подобных задач состоит в следующем. Прежде нсего устанавливают силы, действующие на данное тело, и точки их приложения (в нашем случае зто шя— сила тяжести, И вЂ” нормальная составляющая силы реакции со сторояы наклонной плоскости и Г,р — сила трения покоя). Затем выбирают положительные направления оси х и угла поворота гр (лучше всего зги направления взять сразу согласованнымн, так чтобы знаки ускорений ас и р, были одинаковы), например, как показано на рис. 5.18 справа.
И толью после етого записывают уравнения движения (5.34) в проекциях на выбранные таким образом положительные направления х и ~р: гласа = жд з(па — Рт: гс.рх = г Рта 155 Кроме того, условие отсутствия скольжения определяет енГе кинематическую связь между ускорениями: все= яра. Совместное решение этих трех уравнений дает возможность найти ускорения ас и р, а также силу гтр. 2 т= — + ус мт 2 (5.35) 2 где т'с — момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через его центр масс, ш — угловая скорость тела, т — его масса, Ус — скорость центра масс тела в К-системе отсчета.
Таким образом, кинетическая энергия твердого тела при плоском движении складывается из энергии вращения в Ц-системе и энергии, связанной с двизкениелг центра масс. 3. Свободные оси. Главные оси тела, Если твердое тело привести во вращение и затем предоставить самому себе, то направление оси вращения в пространстве, вообще говоря, будет меняться. Для того чтобы произвольная ось вращения тела сохраняла свое направление неизменным, к ней необходимо приложить определенные силы. Рассмотрим этот вопрос более подробно на следующем примере.
Пусть середина С однородного стержня жестко скреплена с осью вращения так, что угол между стержнем и осью равен 6 (рис. 5.19). Найдем момсятМ внешних сил, которые необходимо приложить к оси вращения, чтобы при вращении стержня с угловой скоростью от ее направление не менялось. Согласно (5.12), этот момент М=дЕЯС Таким образом, чтобы определить М, сначала надо найти момент импульса стержня Ь, а затем его производную по времени.
Момент импульса (. проще всего определить относительно точки С. Мысленно выделим элемент стержня 156 Кинетическая энергия при плоском движении твердого тела. Пусть тело совершает плоское движение в некоторой инерциальной К-системе отсчета. Чтобы найти его кинетическую энергию Т в этой системе, воспользуемся формулой (4.56). Входящая в эту формулу величина Г в данном случае представляет собой кинетическую энергию вращения тела в Ц-системе вокруг оси, проходящей через центр масс тела. Согласно (5.31), 7=!сшзг2, поэтому сразу можно записать массы бт, находящейся на расстоянии г от точки С. Его момент импульса относительно этой точки бЬ= =[г, бпгч], где ч — скорость элемента. Легко видеть, что вектор бЬ направлен перпендикулярно стержню (рис.
5.19), причем его направление не зависит от выбора элемента бпла. Поэтому суммарный момент импульса Ь стержня м совпадает по направлению с амг вектором бЬ, Заметим, что в данном случае вектор Ь не совпадает по направлению с вектором ы! д' При вращении стержня зь вектор Ь будет также вра- с шаться с угловой скоростью ы. За промежуток времени ' г д1 вектор Ь получает приращение оЬ, модуль которого, Рис. з.!9 как видно из рис. 5.19, равен [ бЬ] = Ь з)п (и/2 — й) и 51, или в векторном виде дЬ=[гнЬ]бй Поделив обе части последнего выражения на Ж, получим М=[ыЬ]. Таким образом, действительно, для удержания оси вращения в неизменном направлении к ней необходимо в данном случае приложить момент М некоторых внешних сил г" (они показаны на рис.
5.19). Однако нетрудно видеть, что если д=п/2, то вектор Ь совпадает по направлению с вектором гв, и в этом случае М†=, т. е. направление оси вращения будет оставаться неизменным без внешнего воздействия. Ось врашения, направление которой в пространстве остается неизменным без действия на нее каких-либо сил извне, называют свободной осью тела.
В общей теории доказывается, что для любого твердого тела сушествуют три взаимно перпендикулярные осн, проходящие через его центр масс, которые могут служить свободными осями. Их называют г л а в н ы м и о с я м и тела. Нахождение главных осей тела произвольной формы — в математическом отношении сложная задача. Однако она очень упрощается для тел, обладающих той или 157 иной симметрией, ибо положение центра масс и направление главных осей обладают в этом случае той же симмет ней. 6 апример, у однородного прямоугольного параллелепипеда главные оси проходят через центры противоположных граней. Если тело обладает осью симметрии (однородный цилиндр, конус и др.), одной из его главных осей является ось симметрии, в качестве же остальных осей могут служить две любые взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела и перпендикулярные его оси симметрии, Таким образом, у тела с осевой симметрией фиксирована только одна из главных осей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
