1611143554-2751c415c5775cb40b07ebcab0fe74f2 (825015), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Р е ш е н и е. Прежде всего заметим, что угловая скорость шара после отрыва от поверхности сферы изменяться не будет. Поэтому задача сводится к нахождению ее значения в момент отрыва. Запишем уравнение движения центра шара в момент отрыва; тоэ/(/т+ ) =ша 0, где е — скорость центра шара в момент отрыва, 0 — соответствующий угол (рис. 5.32). Скорость о можно найти из закона сохранения энергии: тйй = тоз,,'2+ /ют/2, где 1 — момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр.
Кроме того, о = нг, й = (Л + г) (! — соз Ь). Из этих четырех уравнений получим '" =- ф~ го/за (/с + г) /ге ° 160 ф 5.11. Конический маятник. Тонкий однородный стержень массы лг и длины 1 вращается с постоянной угловой скоростью ы вокруг вертикальной оси, проходящей через его точку подвеса О (рис. 5.33). Прн этом стержень описывает коническую поверхность с некоторым углом полураствора 6.
Найти угол (), а также модуль и направление силы реакции (1 в точке О. Р е ш е н н е. Рассмотрим систему отсчета, вращаюшуюся вокруг вертикальной оси вместе со стержнем. В этой системе на стержень действует кроме силы тяжести щй и силы реакции 11 еще центробежная сила инерции Гдз. Так как стер. гкень покоится в данной системе отсче. га, т. е. находится в состоянии равновесия, то это значит, что результируюшнй момент всех сил относительно любой точки и результирующая всех сил равны нулю.
Относительно точки О момент соз. дают только сила тяжести и центробежные силы инерции. Из равенства моментов этих сил следует 1/ глл(з[ПЭ = М а (1) Вычислим Мдз. Элементарный момент сил инерции, который действует на элемент стержня дх, находацийся иа расстоянии х от точки О, равен бМ„а = (гл дД[1) а!п Э соз Э лв,бл. Рнс.
5.33 Проинтегрировав это выражение по всей длине стержня, получим М„,= г)з Д(гз(пЭ ° зй. (2) Из [1) и [2) следует, что соз Э = 33(2мг 1. [3) Найдем модуль и направление вектора (1. В системе отсчета, где стержень вращается с угловой скоростью ы, его центр масс (точка С) движется по горизонтальной окружности. Поэтому из уравнения движения центра масс (3.11) сразу следует, что вертикальная состзвляющан вектора м есть 11г тд, а горизонтальная составляющая г7 определяется уравнением гла„ =)сд, где а„ вЂ” нормальное А ускорение центра масс С. Отсюда (4) Л = 1г Сыпб.
Модуль вектора (1 есть !с= р (лщ)г+Я. = г/гт„г1~/1+ 774[йуна!)г, / г а его направление — угол д' между вектором К и вертикалью— определяется формулой соз 6'=юйЯ. Интересно, что 6'Фй, т. е. 170 вектор (с не совпадает по направлению со стержнем В этом легко убедиться, выразив соз д' через соз д: 4созЭ сов Э =- г )г9+ 7 созз Э Отсюда видно, что соз д')соз Ю, т.
е. б'ч.д. Это и показано на рис. 5.33. Заметим, что равнодействующая сил инерции Гаа проходит нв через точку С, а ниже. Действительно, Газ=на и определяется формулой (4), а результврующий момент Маа — формулой (2). Из этих формул следует, что плечо вектора Гца относительно точки 0 равно Чз1соз б (рнс 5.33). ф 5Л2. Гироскоп. Волчок массы т, ось которого составляет угол Э с вертякалью, прецесснрует вокруг вертикальной оси, проходящей через точку опоры О.
Момент импульса волчка равен (., расстояние от его центра масс до г точки 0 есть й Найти модуль н направление вектора à — горизонтальной составляющей силы реакции в точке 0 Решение. Согласно (538), угловая скорость прецессии Е сд и' =та1/5, Центр масс нолчка движется по окружности; следовательно, вектор Г направ- Рис. 5.34 лен так, как показано на рпс. 5 34 (этот вектор поворачивается вместе с осью волчка), Из уравнения движения центра масс (3.11) получаем гв м з з з!п Э = Е. В результате Е (глзяз(зУйз) Мпй Заметим, что если бы точка опоры волчка находилась на абсолютно гладкой плоскости, то волчок прецессировал бы с той же угловой скоростью, но вокруг вертикальной осн, проходящей через центр масс волчка — точку С на рнс.
5.34. Часть П РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА Глава 6 КИНЕМАТИКА СПЕЦИАЛЬНОИ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 5 6.1. Трудности дорелятивистской физики Специальная теория относительности, созданная Эйнштейном в 1905 г., означала пересмотр всех представлений классической физики и главным образом представлений о свойствах пространства и времени. Поэтому данная теория по своему основному содержанию может быть названа физическим учением о пространстве и времени. Физическим потому, что свойства пространства и времени в этой теории рассматриваются в теснейшей связи с законами совершающихся в них физических явлений. Термин «специальная» подчеркивает то обстоятельство, что эта теория рассматривает явления только в инерциальных системах отсчета.
Мы начнем этот раздел с краткого обзора дорелятивистской физики и остановимся на истоках тех трудностей, которые привели к появлению теории относительности. Основные представления дорелятивистской физики. Напомним сначала те представления о пространстве и времени, которые связаны с законами Ньютона, т. е. лежат в основе ньютоновской механики.
1. Пространство, имеющее три измерения, подчиняется евклидовой геометрии. 2. Наряду с трехмерным пространством существует независимое от пего время (независимое в том смысле, в каком три измерения пространства не зависят друг от друга). Но вместе с тем время связано с пространством законами движения. Действительно, время измеряют часами, в принципе представляющими собой любой прибор, в котором используется тот или иной периодический процесс, даюший масштаб времени. Поэтому определить 172 время безотносительно к какому-либо периодическому процессу, т.
е. вне связи с движением, невозможно, 3. Размеры твердых тел (масштабы) и промежутки времени между данными событиями одинаковы в разных системах отсчета. Это соответствует ньютоновской концепции абсолютности пространства и времени, согласно которой их свойства считаются не зависящими от системы отсчета — пространство и время одинаковы для всех систем отсчета.
4. Признается справедливость закона инерции Галилея — Ньютона, согласно которому тело, не подверженное действию со стороны других тел, движется прямо- у утГ 1 линейно и равномерно. Этот закон утверждает существование инерциальных систем ! отсчета, в которых выполня- ~~х' ются законы Ньютона (а х также принцип относительности Галилея). Рис.
б.! 5. Из зтих представлений вытекают преобразования Галилея, выражающие пространственно-временную связь любого события в разных инерциальных системах отсчета. Если К'-система отсчета движется относительно К-системы со скоростью У (рис. 6.1) и начало отсчета времени соответствует моменту, когда начала координат О' и О обеих систем совпадают, то"' х'= х — Уг'; (6.1). р =у; Отсюда следует, что координаты любого события относительны, т.
е. имеют разные значения в разных системах отсчета; момент же времени, когда событие произошло, одинаков в разных системах. Последнее означает, что время течет одинаковым образом в разных системах отсчета. Это обстоятельство казалось столь очевидным, что даже не оговаривалось как специальный постулат. Из (6.1) непосредственно вытекает закон преобразования (сложеиня) скоростей: "з„... в.. и.
р ранственными координатами: х и у. Координата и ведет себя во всех отношениях так же, как у. 173: ч'=ч — Ч, (6.2) где ч' и ч — скорости точки (частицы) в К'- и К-системах отсчета. 6, Выполняется принцип относительности Галилея: .все инерциальные системы отсчета эквивалентны друг другу в механическом отношении, все законы механики одинаковы в этих системах отсчета, или, другими словами, инвариантны относительно преобразований Галилея. 7. Соблюдается принцип дальнодействия: взаимодействия тел распространяются мгновенно, т. е, с бесконечно большой скоростью.
Эти представления ньютоновской механики вполне соответствовали всей совокупности экспериментальных данных, имевшихся в то время (заметим, впрочем, что эти данные относились к изучению движения тел со скоростями, значительно меньшими скорости света), В их пользу говорило н весьма успешное развитие самой механики. Поэтому представления ньютоновской механики о свойствах пространства и времени стали считаться настолько фундаментальными, что никаких сомнений в их истинности ни у кого не возникало. Первому испытанию подвергся принцип относительности Галилея, который, как известно, касался только механики — единственного раздела физики, достигшего к тому времени достаточного развития. По мере развития других разделов физики, в частности оптики и электродинамики, возник естественный вопрос: распространяется ли принцип относительности и на другие явления? Если нет, то с помощью этих (немеханических) явлений можно в принципе различить инерцнальные системы отсчета и в свою очередь поставить вопрос о сушествовании главной, нли абсолютной, системы отсчета.
Одно нз таких явлений, которое, как ожидали, поразному протекает в разных системах отсчета, — это распространение света. Согласно господствовавшей в то время волновой теории, световые волны должны распространяться с определенной скоростью по отношению к некоторой гипотетической среде («светоносному эфиру>), о природе которой, правда, нс было единого мнения. Но какова бы ни была природа этой среды, она не можст, конечно, покоиться во всех инерцнальных системах сразу.
Тем самым выделяется одна из инерциальных систем — абсолютная —.та самая, которая неподвижна относительно «светоносного эфира». Полагали, что в Ч74 этой — и только этой — системе отсчета свет распространяется с одинаковой скоростью с во всех направлениях. Если некоторая инерциальная система отсчета движется по отношению к эфиру со скоростью Ч, то в этой системе отсчета скорость света с' должна подчиняться обычному закону сложения скоростей (6.2), т. е. с'=с — Ч.
Это предположение оказалось возможным проверить на опыте, который и был осуществлен Майкельсоном (совместно с Морлн). Опыт Майкельсона. Цель этого эксперимента заключалась в том, чтобы обнаружить «истинное» движение Земли относительно эфира. Было использовано движение Земли по ее орбите со скоростью ЗО км/с. Идея эксперимента состояла в г следующем.
г и Свет от источника 5 (рнс. у 5.2) у* ю перпендикулярных направлениях, отражался от зеркал А и В, находящихся на одинаковом расстоянии ! от источника 5, и возвращался в точку 5. В этом опыте сравнивалось время прохождения светом обоих путей: 5А5 и 5В5. Предположим, что установка вместе с Землей движется так, что ее скорость Ч относительно эфира направлена вдоль 5А (в момент проведения опыта).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
