1611143554-2751c415c5775cb40b07ebcab0fe74f2 (825015), страница 30
Текст из файла (страница 30)
5 23), в которых вектор скорости перпендикулярен радиусу-вектору, можно записать глгг щ = шгз ог. (1) Из закона сохранения полной энергии Е следует, что для тех же положений планеты з з лгМ шог глМ вЂ” у = у (2) 2 г1 2 гз Решив совместно уравнения (1) и (2), выразим, например, с, через г, и гз 2уМ гз о 1 гг + гз гт 162 где 7т и Т вЂ” суммарные кинетические энергии частиц в ((-системе, когда частицы находятся далеко друг от друга, и в момент нанболь.
щего сближения. Из уравнений (2) и (3) получим то же выражение (1), только в нем вместо Тз будет стоять т „причем в данном случае (частнца 2 первоначально покоилась), согласно (4.51), глв то = то. и! + гла Заметим, что цри пц цта величина 'Гам Т, н вырах.снне д ~я гчча будет полвостью совпадать с (1). ® 5.3. Небольшой шарик подвесили к точке О на легкой нерастяжнмой нити длиной 1 Затем шарик отвели в сторону так, что нить отклонилась на угол б от вертикали, н сообщнлн ему начальную око. ((",(:-.гх 5 Рис.
5.25 Рис. 5 25 рость о, перпендикулярно вертикальной плоскости, в которой распо. лажена вить Прн каком значении па максимальный угол отклонения нити от вертикали окажется равным и/22 Р е ш е и и е. На шарик в процессе движения действуют две силы — сила тяжести и сила натяжения со стороны нити. Нетрудно видеть, что опюсительно вертикальной осн а, проходящей через точку О, момент этих снл М,=О. Следовательво, относительно данной оси момент импульса шарика („=сопя(, илн 1 з1п 5 шоо = (шо, (1) где т — масса шарика, о — его скорость в положении, прн котором нить составляет прямой угол с вертикалью Шарик движется в поле тяжести Земл~ под действием сторон. ней силы — силы натяжения со стороны нити Эта сила все время перпендикулярна вектору скорости шарика и поэтому работы не совершает.
Отсюда следует, что согласно уравнению (431) мехаии. ческая энергия шарика в поле тяжести Земли сохравяется: глв~о/2 = тпт)2+ шу(соз й, (2) где праван часть равенства соответствует горизонтальному положению нити. 164 Решив совместно уравнения (1) и (2), получим оо = ] 281/соз $. й) бА. На жестком проволочном полукольце радиуса гэ, которое может свободно вращаться вокруг вертикальной оси АВ (рис. 5.26), находятся две одинаковые небольшие муфточки. Их соединили нитью я установили в положение 1 — й Затем всей установке сообщили угловую скорость см и, предоставив ее самой себе, пережгли нить в точке А. Считая, что масса установки практически сосредоточена в муфточках, найти ее угловую скорость в момент, когда муфточки соскользнут (без трения) в крайнее нижнее положение 2 — 2.
Рис. 5.28 Рис. 5.27 Р е ш е и и е. Пусть в нижнем положении расстояние муфточек от оси вращения г и угловая скорость установки ю. Тогда из законов сохраяения энергии и момента импульса относительно оси вращения следует, что гтнт — г но — — 2нЛ, гзн =ганс, где Л вЂ” разность высот верхнего н нижнего положений муфточек. Здесь учтено, что в нижнем положении, как и в верхнем, скорость муфточек относительно проволочного полукольца равна нулю. Кроме того, из рис. 5.26 видно, что го = гз+ Лз. з Решив совместно эти три уравнения, получим м= — 1+ 1+ ° 5.5. Гладкий стержень свободно вращается в горизонтальной плоскости с угловой скоростью ва вокруг неподвижной вертикальной оси О (рис.
5.27), относительно которой его момент инерции равен 1. На стержне около оси вращения находится небольшая муфта массы гл, соединенная с этой осью нитью. После пережнгания нити муфта начинает скользить вдоль стержня. Найти скорость о' муфты относительно стержня в зависимости от ее расстояния г до оси вращения. 155 Решение. У данной системы в процессе движения сохраняютсн нинетнческан энергия и момент импульса относительно оси вра. щения.
Отсюда следует, что !и = умз + тнз, 7 о = (/ + глгз) м, где оэ=о'+созга (рис. 5.27). Иэ этих уравнений получим и' = ма г/у' 1 + юга(7 ° 5.6. Горизонтально летевшая пуля А попала, застряв, в вертикальный однородный стержень массы т н длины 1м верхний конец которого укреплен в шарнире О (рис. 528).
Пуля имела импульс р и попала в стержень на расстоянии 1 от точки О. Пренебрегая ее массой, найти: 1) приращение импульса системы пуля — стержень за время движения пули в стержне; 2) угловую скорость, которую приобретет стержень, с учетом собственного момента импульса пули, равного В и совпадающего по направлению с векторам р (пуля вращается вокруг направления ее движения). Р е ш е н н е.
1. Система пуля — стержень незамкнутая; помимо сил, уравновешивающих друг друга, в процессе движения пули в стержне возникает горизонтальная составляющая силы реакции в точке О со стороны осн. Действие этой составляющей и вызовет приращение импульса системы: дР глоп Р где пс — скорость центра стержня после застревания пули. Так как все внешние силы в этом процессе проходят через точку О, то за время движения пули в стержне момент импульса системы будет оставаться постоянным относительно любой оси, проходящей через эту точку. Взяв ось перпендикулярной к плоскости рисунка, запишем (В =У где 1 — момент инерции стержня относительно выбранной оси, а ы— угловая скорость стержня непосредственно после остановив пули в нем.
Из этих двух уравнений с учетом того, что ос=юг, г — расстояние от точки О дв центра стержня, получим АР = (3772(о — !) Р. Отсюда видно, что знак приращения Ьр зависит от отношения !)!э. В частности, при !/)э=й/3 величина Ьр О, т. е. импульс системы не изменяется за время движения пули в стержне. Это значит, что в данном случае горизонтальная составляющая силы реакции и точке О отсутствует.
2. В этом случае момент импульса системы относительно точки О также будет оставаться постоянным за время движения пули в стержне, поэтому, согласно (5,23), Е + (1 Р] = (г. Слева записан момент импульса пули относительно точки О, а справа — момент импульса стержня (с пулей) непосредстненно после 155 остановки пули в стержне (см.
рис. 5.29, где все трн вектора ратно. ложены в горизонтальной плоскости). Найдем вектор (., когда стержень (с пулей) приобретет угловую скорость и. Возьмем малый элемент стержня массы Йи, нахо. дящийся на расстоянии г от точки О. Его момент импульса относительно точки О равен бЕ = [г, бт т) =: бт гам =-. (те)(с) ге бг, где т — скорость данного элемента. Проинтегрировав это выражение по всем элементам, получим Ь =1,'з гл(ем. 2 Ц Рис. 5.30 Рис, 5.29 Таким образом, ). + ((Р) = Нз жгою Из этой формулы, согласно рнс. 5.29, получим 3 — )~гдз + (з Рз .
щуз в С помощью того же рисунка можно найти и направление вектора еь (угол а). ° 5.7, Динамика вращательного движении. Однородный сплошной цилиндр массы глэ и радиуса й может без трения вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О (рнс. 5.30). На цилиндр ° один ряд плотно намотан тонкий нерастяжимый шнур длины ! и массы лг.
Найти угловое ускорение цилиндра в зависимости от длины л свешявающейся части шнура. Считать, что скольжения нет и центр масс намотанной части шнура находится на оси цилиндра. Р е ш е н и е. Воспользуемся уравнением моментов (535) относи. тельно оси О. Для этого найдем момент импульса системы относи. тельно данной оси, йн и соответствующий момент снл М,. Момент импульса бэ = 1 мэ + /гто = (тз/2 + и) /ст м„ где учтено, что момент инерции цилиндра 1=та/сз/2 и о=а,/1 (отсутствие скольжения шнура). Момент ввешних сил тяжести относи.
тельно оси О М, = геях/1. Продифференцировав /., по времени и подставив Ы,/М и М, в урав- нение моментов, получим 2нц;х И (то+ 2т) ° 5.8. На гладкой горизонтальной плоскости лежит однородный диск радиуса гм На него осторожно опустили другой такой же диск, предварительно сообщив ему угловую скорость мм Через сколько времени оба диска будут вращаться с одной и той же угловой скоростью, если коэффициент трения между дисками равен Л? Р е ш е н не. Сначала найдем установившуюся угловую скорость вращения оь Из закона сохранения момента импульса следует, что /мз = 2/м, где 1 — момент инерции каждого диска относительно общей оси вра. щения. Отсюда '" - "'с/2.
Теперь рассмотрим поведение одного из дисков, например нижнего. Его угловая скорость меняется под действием момента М сил тре. ния. Вычислим М. Для этого выделим на верхней поверхности диска элементарное кольцо с радиусами г, г+дг. Момент сил трения, дей. ствующих на данное кольцо, равен бМ = гй (тй/и гоз) 2иг бг = 2Ф (тй/г ~ф) гз д г, где т — масса каждого диска. Проинтегрировав это выражение по г от О до г„получим М =з/з Фейга. Согласно уравнению (5.30), приращение угловой скорости нижнего дисха на величину бш происходит за время 51 = (1/М) б = (3го/455) бм. Интегрируя это уравнение по м от 0 до ем/2, находим, что искомое время 1 =3/3 го О/йк ° 5.9. Плоское движение твердого тела.
Однородный цилиндр находится на горизонтальной доске (рис. 5.31). Коэффициент трения между ними равен й. Доске сообщили ускорение а в горизонтальном направлении перпендикулярно оси цилиндра. Найти: 1) ускоренна 158 оси цилиндра в отсутствие скольжения; 2) предельное значение а,, при котором скольжение еще отсутствует. Решение. 1. Выбрав положительные направления х и ф, как показано на рис. 5,31, запишем уравнение движения оси цилиндра и уравнение моментов в Ц-системе относительно этой оси: шпп=/ч,р, /3 =гР э, где т и / — масса и момент инерции цилиндра относительно его оси, г — радиус цилиндра.
Кроме того, условие отсутствия скольжения цилиндра дает кинематическую связь ускорений: а — ап =рг. Из этих уравнений находим ос=о/3. Рис. 5.31 Рис, 5.32 2. Определим из предыдущих уравнений значение силы трения Етэ, обеспечивающей качение цилиндра без скольжения: г,р — — та/3. Максимально возможное значение этой силы равно Ьиа. Отсюда ачэ — — Зд3. ° 5.10. Однородный шар радиуса г начинает скатываться беэ скольжения с вершины сферы радиуса /1 (рис. 532). Найти угловую скорость ю шара после отрыва от поверхности сферы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
