1611143554-2751c415c5775cb40b07ebcab0fe74f2 (825015), страница 24
Текст из файла (страница 24)
!. В К-снстеме в момент наибольшего сближения обе частицы будут двигаться как единое целое со скоростью о, которую можно определить из закона сохранения импульса: Рг =- (т1 + т2) о где рг — импульс налетающей частицы, рг =у' 2тгТ1 . Из закона сохранения энергии следует, что Т- = 1/2 (тг+ глг) о2+ ЬУ, ГдЕ ПрИращЕНИЕ ПОтвицнаЛЬНОй ЗНЕрГИИ СИСТЕМЫ ЛУ=йдг/Гч«». Исключив о нз этих двух уравнений, найдем г„„„= (1+ тг/тг) йрг/Тг. 2.
В 1(-системе решение наиболее просто: здесь суммарная кинетическая энергия частиц идет целиком на приращение потенциальной энергии системы частиц н момент их наибольшего сближения: Т = Д(/, 129 где, согласно (4.61), Т=Чзр«И=Тина)(тг+тз), ЛУ=Ьрзггвв» Отсюда легко найти г„ ° 4.12. Частица массы т, с импульсом р, испытала упругое столкновение с покоившейся частицей массы тз.
Найти иыпульс р,' первой частицы после столкновения, если в результате столкновения она рассеялась под углом 0 к первоначальному направлению движения. Решение. Из ззкона сохранения импульса (рис. 4.20) находим Рз —— -Рг+ Р, — 2Р Рг сов Ь, (!) где рз' — импульс покоившейся частицы после столкновения. з Рис.
4,21 Рис. 4.20 Далее, из закона сохранения энергин следует. что Т,=Т,'+Т;, где ТТ и Т,' — кинетические энергии первой и второй частиц после столкновения. Преобразуем это равенство с помощью соотношения Т=рз)2т к виду рз = (р, — рг ) шз/шг. 'з 2 '3 (2) Исключив рз'з из (1) н (2), получим созЬ З- р' соззЬ+(тз/т,— 1) Р~ =рг 1 + шз/г«1 Если т,«т„то физический смысл имеет только знак плюс перед корнем. Это следует из того, что при этом условии корень будет больше, чем соз 6, а так как р,' — это модуль вектора, то, естественно, он не может быть отрицательным.
Если же «гг: т„то физический смысл имеют оба знака перед корнем — ответ в этом случае неоднозначен: под углом 0 импульс рассеянной частицы может иметь одно из двух значений (это зависит от относительного расположения частиц в момент соударения). Последний случай соответствует векторной диаграмме, показанной на рис.
4.14, в. ° 4.13. Какую часть г) своей кинетической энергии теряет чзстицз массы т, при упругом рассеянии под предельным углом на по. коящейся частице массы глз(ш~)тз)з Решение. Пусть Ть р~ и Т и р'~ — кинетическая энергия и импульс налетающей частицы до и после рассеяния. Тогда и = (Тг — Т У Тг =! — Т. )Тг = ! — (р /Рг)з, (1) т. е. задача сводится к нахождению отношения р'~/рь Воспользуемся векторной диаграммой импульсов, соответствую.
щей предельному углу д~ ср (рис. 4.21). Из прямоугольного тре. угольника АСО следует, что '2 г Р =(р — й' — Рз=-Р— 2РР откуда (р~)рг)з =-1 — 2р)рг =! — 2тз!(тг+ тз). (2) После подстановки (2) в (1) получим ч = 2шз((юг + глз) . ° 4.14. Атом массы ш~ испытал неупругое столкновение с по.
конвшейся молекулой массы ть После соударения обе частицы раз. летелись под углом 8 друг к другу с кинетическими энергиями ТТ и Тз' соответственно, причем молекула оказалась в возбужденноМ состоянии — ее внутренняя энергия увеличилась на определенную величину Я. Найти О, а также пороговую кинетическую энергию атома, при которой возможен переход молекулы в данное возбужденное со. стояние. Решение. Из законов сохранения энергии и импульса в этом процессе' следует: Тц= Тг+ Тз+ С), рг -- рг + рз + 2р~ )зз соз 8, 2 '3 '2 где штрихами отмечены величины после соударения (второе соотношение сразу следует из треугольнина импульсов согласно теореме косинусов).
Воспользовавшись формулой рз=2тТ, исключим Т, из этих уравнений. В результате получим 1! = — (тз!шг — !) Тт -1- 2 Т' (тз/т~) Т Тз соз О Тг нор =! 1! ! (ш! + шз)/глз ° ) 4.14. Распад частицы. Частица с импульсом рз (в К-системе) распалась на лету на две частицы с массами тг и глз.
При этом пыделилась энергия Я вЂ” энергия распада (она перешла в кинетическую энергию). Построить векторную диаграмму импульсов для этого процесса и найти с помощью нее возможные импульсы р~ и рг возникших частиц. Решение. Наиболее просто этот процесс выглядит в Ц-аисте ме: здесь распадающаяся частица покоится, а частицы распада разлетаются в противоположные стороны с одинановыми по модулю импульсами р,=рг=р. Энергия распадз О целиком переходит а суммарную кинетическую энергию Т возникающих частиц.
Поэтому р = )' 2р. Т = ~Г 2р О, где р — приведенная масса системы возникших частиц. 13! Найдем импульсы возникших частиц в К-системе. Воспользовавшись формулой преобразования скоростей при переходе от Ц- к К-системе, запишем: Рг = глг тг = тг (Чс + тг) = тг Чс+ Ры Рз = шз чх = гпз (чс + чз) =. та чс + Рз Глава 5 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЪСА $5.1. Момент импульса частицы.
Момент силы Анализ поведения систем показывает, что кроме энергии и импульса существует еше одна механическая величина, с которой также связан закон сохранения, — это так называемый момент импульса*. Что это за величина и каковы се свойствар Сначала возьмем одну частицу, Пусть г — раднус-вектор, характеризующий ее положение относительно некоторой точки О выбранной системы отсчета, а р — ее импульс в этой системе. Моментом импульса частицы А относительно тцчки О (рис.
5.1) называют вектор ), равный векторному произведению векторов г и р: ~ 1.=)гр~. ~ (5.1) Из этого определения следует, что 1. является аксиальным вектором. Его направление выбрано так, что вра° - -.рп --. о ° -.р- .„, --,р. р ° ...„р " Используют также названия моне н т кол нч ест на дни. жения, угловой момент нли просто момент. 132 причем, согласно закону сохранеаия импульса, р~+рз=рм С помощью этих фор- мул построим векторную С диаграмму импульсов (рис.
4.22). Изобразим сначала отрезок АВ, ранр / / Рг аый импульсу ре Затем 'р радиусом р проведем ок- / ружность с центром в А ль шх точке О, которая делит 0 Ве отрезок ЛВ иа две части е ~гик>шепни тг .. тз. Эта Рис. 4.22 окружность и есть гео- метряческое место точек всех возможных положений вершины С треугольника импульсов АВС. Е образуют правовпнтовую систему. Модуль вектора !. равен А=го з!и и=)р, (5. 2) где о — угол между г н р, Г=-гз!и а — плечо вектора р относительно точки О (рис.
5.!). Уравнение моментов. Выясним, какая механическая величина ответственна за изменение вектора !. в данной л > Рис. 5.2 системе отсчета. Для этого продпфференцируем (5.!) по времени: ' сй.,й=)с)г/й, р)+)г, бр)й). Так как точка О неподвижна, то вектор бг/й равен скорости ч частицы, т. е. совпадает по направленшо с вектором р, поэтому )дг)й, р1=0.
Далее, согласно второму закону Ньютона, с)р)й=Г, где à — равнодействующая всех снл, приложенных к частице. Следов атель но, Л./й = ! гГ). Величину, стоящую в правой части этого уравнения, называют м о м е н т о м с и л ы Г относительно точки О (рис.
5.2). Обозначив ее буквой М, запишем ~ М=)гГ). ) (5.3) (5.4) !ЗЗ Ц =!Р, Вектор М, как и !., является аксиальныи. Модуль этого вектора, аналогично (5,2), равен где г — плечо вектора Г относительно точки О (рис. 5.2). Итак, производная по времени от момента импульса Е частицы относительно некоторой точки О выбранной системы отсчета равна моменту М равнодействующей силы Г относительно той же точки О: (5.5) Это уравнение называют уравнением моментов. Заметим, что если система отсчета является неинерциаль- / l 1 (7) с Рис.
5.4 Рис. 5.3 ной, то момент силы М включает в себя как момент сил взаимодействия, так и момент сил инерции (относительно той же точки О). Из уравнения моментов (5.5), в частности, следует, что если М=О, то Е=сопзт. Другими словами, если относительно некоторой точки О выбранной системы отсчета момент всех сил, действующих на частицу, равен нулю в течение интересующего нас промежутка времени, то относительно этой точки момент импульса частицы остается постоянным в течение этого времени.
Пример П Некоторая планета А движется в поле тяготения Солнца С (рис. 5.3). Относительно какой точки гелиоцентрической системы отсчета момент импульса данной планеты будет сохраняться ао времени? Лля ответа иа этот вопрос прежде всего необходимо установить, какие силы действуют на планету А В данном случае это только сила тяготения Р со стороны Солнца. Так как при двйжении планеты направленно этой силы все время проходит через центр Солнца, то последний и является той точкой, относительно которой момент силы Р все время равен нулю, и момент импульса планеты будет оставаться постоянным Импульс же р планеты при этом будет меняться. Пример 2.
Шайба А, двигаясь по гладкой горизонтальной плоскости, упруго отскакивает от гладкой вертикальной стевин (рис. 5.4, вид сверху). Найдем точку, относительно которой момент импульса шайбы будет оставаться постоянным в этои процессе. На шайбу действу1от сила тяжести, сила реакции со стороны горизонтальной плоскости и сила реакции Н со стороны стенки в иомент удара о нее. Первые две силы уравновешивают друг друга, остается сила Н. Ее момент равен нулю относительно любой точки, лежащей на линии действия нектора и, а значит, относительно любой из этих точек момент импульса шайбы будет останаться постоявиыи в данном процессе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
