1611143554-2751c415c5775cb40b07ebcab0fe74f2 (825015), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Приращением велнчнны Х называют разность конечного (Хз) н начального (Х,) значений этой величины: прнра щенке ЬХ = Хз — Хг. Убылью величины Х называют разность ее начального (Х~) н конечного (Хз) значений: убыль Х, — Ха = — ЛХ, т. е. убыль величины Х равна ее приращению, взвтому с обратным знаком. Прнращенне н убыль — величины алгебраические: если, напрк. мер, Ха<Хи то прнращенне отрвчательно, а убыль воложнтальнз. 92 3) в однородном поле сил тяжести У (в) =эппл. (4.13) Еще раз подчеркнем, что потенциальная энергия У— функция, которая определяется с точностью до прибавления некоторой произвольной постоянной.
Это обстоятельство, однако, совершенно несущественно, ибо во все формулы входит только разность значений У в двух положениях частицы. Поэтому произвольная постоянная, одинаковая для всех точек поля, выпадает. В связи с этим ее обычно опускают, что и сделано в трех предыдущих выражениях. И еще одно важное обстоятельство. Потенциальную энергию следует относить не к частице, а к системе взаимодействующих между собой частицы и тел, вызывающих силовое поле. При данном характере взаимодействия потенциальная энергия взаимодействия частицы с данными телами зависит только от положения частицы относительно этих тел.
Потенциальная энергия и сила поля. Взаимодействие частицы с окружающими телами можно описывать двумя способами: с помощью сил или с помощью потенциальной энергии. В ньютоновской механике оба способа используют одинаково широко. Однако первый способ обладает несколько большей общностью, ибо он применим н к таким силам, для которых нельзя ввести потенциальную энергию (например, к силам трения) Второй же способ применим только в случае консервативных сил. Наша задача — установить связь между потенциальной энергией и силой поля, точнее, определить поле снл Г(г) по заданной потенциальной энергии У(г) как функции положения частицы в поле.
Мы уже знаем, что при перемещении частицы из одной точки стационарного поля консервативных сил в другую работа, которую производят силы поля, может быть представлена как у б ы л ь потенциальной энергии частицы, т. е. Ам=У~ — Уз= — ЛК Это относится и к элементарному перемещению дг, а именно: 6А= — пК или Г бг= — б(У. (4,14) Имея в виду, что Гбг= Р,дз, где Ф =- ~ дг ~ — элементарный путь, Р,— проекция вектора Г на перемещение дг, перепишем уравнение (4.14) в форме где — с)У есть убыль потенциальной энергии в направлении перелеи(ения бг. Отсюда Р,= — д(У/дг, (4.15) т, е. проекция силы поля — вектора à — в данной точке на направление перемещения с)г равна с обратным знаком производной потенциальной энергии У по данному направлению.
Символ д/дз — частной производной — подчеркивает, что производная берется по определенному направлению. Перемещение с(г можно взять в любом направлении, в частности вдоль координатных осей х, у, х. Если перемещение с)г, например, параллельно оси х, то его можно представить так: бг=Ых, где ! — орт оси х, с(х — приращение координаты х. Тогда работа силы Г на перемещении бг, параллельном оси х, Гбг=Г! бх=Р бх, где Р, — проекция вектора Г на орт 1 (а не на перемещение с)г, как в случае Р,). Подставив последнее выражение в уравнение (4.14), получим Р„= — д(У/дх, где символ частной производной означает, что У(х, у, г) при дифференцировании должна рассматриваться как функция одного аргумента х, остальные же аргументы должны оставаться при этом постоянными.
Ясно, что для проекций Р„и Р, уравнения будут аналогичны уравнению для Г,. Итак, взяв с обратными знаками частные производные функции у по х, у и г, мы найдем проекции Р„, р, и Р, вектора Г на орты 1, ! и к. Отсюда легко найти и сам вектор: Г=Г„1+Рэ)+Р,(с, или Г ('~~~1 ( дгг . ( до' (г) (41б) 1 дх ду дх Величину, стоящую в скобках, называют г р а д и е н т о м скалярной функции У и обозначают вегас! У или т К Мы будем пользоваться вторым, более удобным, обозначением, где Г(«набла») означает символический ректор или оператор у=! — +! — +!г — . д д д дх ду де (4.17) Поэтому !)У формально можно рассматривать как произведение символического вектора 7 на скаляр У. Таким образом, связь между силой поля и потенци.
альной энергией как функцией координат можно представить в следующем компактном виде: (4.1 8) т. е, сила поля Г равна со знаком минус градиенту потенциальной энергии частицы в данной точке поля. Последняя формула дает возможность, зная функцию У(г), восстановить поле сил Г(г). Пример. Потенциальная энергия ~встпцы в некотором поле нме.
ет вид: в) (у(х, у) = — пху, где а — постонннвн; б) (У(г) =вг, где в — постоянный вектор, г — рвдиус-вектор точки поля. Найдем соответствующее каждому случаю поле сил: ( д(г . дб', в) Р= — ( — ! + — !) =а(у!-)- х!); (, дх ду б) представим функцию (Г в виде (!=а х+а„у+а.х; тогда ( д(Г .
д(Г . д(Г р = — — ~ — ! -)- — ! + — )с) = — (ах !+а„)+ а К) = — в. ~ дх ду дх Смысл градиента станет нагляднее и яснее, если ввести понятие эквипотенциальной поверхности— поверхности, во всех точках которой потенциальная энергия У имеет одно и то же значение. Ясно, что каждому значению У соответствует своя эквипотенциальная поверхность. Из формулы (4.15) следует, что проекция вектора Г на любое направление, касательное к эквипотенциальной поверхности в данной точке, равна нулю. Это значит, что вектор Г нормален эквипотенциальной поверхности в данной точке.
Далее, возьмем перемещение дз по нормали к эквииотенциальной поверхности в сторону уменьшения У, тогда дУ<0 и, согласно (4.!5), Рв)0, т. е. вектор Г направлен в сторону уменьшения У. Л так как Г противоположен по направлению вектору р У, то мы приходим к выводу, что градиент У вЂ” это вектор, направленный по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону возрастания потенциальной энергии У.
Сказанное поясняет рис. 4.8, относящийся к двумерному случаю. На нем изображены система эквипотенциалей (Уг<Ув<Ув<У4), а также градиент потенциальной 9о эпергин .1 У и соответствующий вектор силы Г в точке А поля. Полезно подумать, какими будут векторы этих двух величин, например, в точке В данного поля. В заключение заметим, что можно говорить о градиенте не только функции У, но и любой другой скалярной функции координат. Понятие градиента широко используется в самых различных разделах физики. Понятие поля. Опыт показывает, что в случае гравитационных и электростатических взаимодействий сила Г, действующая на интересующую и, гтг и, и, нас частицу со стороны окружающих тел, пропорциональна массе (или заряду) частицы, причем сила Г может быть представлена в виде произведения двух величин, например в случае тяготения Г =и С, (4.19) где т — масса частицы, С вЂ” некоРис.
4.8 торый вектор, зависящий как от положения частицы, так и от свойств окружающих тел. Это открывает возможность иной физической интерпретации взаимодействия, связанной с понятием поля. А именно: говорят, что интересующая нас частица находится в поле, создаваемом окружающими ее телами и характеризуемом вектором С(г). Или, иначе, считают, что в каждой точке пространства вокруг этих тел (источников поля) создаются такие условия (вектор С), при которых частица, помещенная в эти точки, испытывает действие силы (4.19), причем считают, что поле, характеризуемое С(г), существует безотносительно к тому, есть в нем частица или нет*. Вектор С называют напряженностью п оля. Заметим, что напряженность электрического поля обозначают вектором Е, а сила Г, действующая на точечный заряд д в электростатическом поле, имеет вид, аналогичный (4.19), т.
е. Г=дЕ. Далее в этом параграфе почти всюду мы будем пользоваться величинами т и С, т. е, рассматривать гравита- ' Пока мы остаемся в рамках статики, понятие поля может рассматриваться ках чисто услонное (формальное), введенное лишь для удобства описания явлений. Однако пря переходе я переменным полям выясняется, что понятие поля имеет глубоннй физический смысл: поле есть физическая реальность. ционное поле. Чтобы получить соответствующие соотношения для электростатического поля, достаточно заменить в формулах т и б иа д и Е. Одно из важнейших свойств полей заключается в том, что поле, образованное несколькими источниками, равно сумме полей, созданных каждым из пих. Точнее, напряженность 6 результирующего поля в произвольной точке С=,рао (4.20) где б; — напряженность ноля бго источника в этой же точке.
Эта формула выражает так называемый п р и нцип суперпозиции (илп наложения) полей. Обратимся к потенциальной энергии частицы. Согласно (4.19), формулу (4.14) можно записать так: тббг= = — с((/. Поделив обе части на т и обозначив отношение (//и через ср, получим бдг= — бг, (4,21) или 7 ббг=тт —.Г, 1. (4. 22) Функцию ~р(г) называют потенциалом п ол я в точке с радиусом-вектором г. Формула (4.22) дает возможность найти потенциал любого гравитационного и электростатического поля. Для этого достаточно вычислить интеграл ) ббг по произвольному пути между точками / и 2 и представить затем полученное выражение в виде убыли некоторой функции, которая и есть потенциал ~р(г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
