1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Меняя находящийсл в нашем распоряжении параметр а Е Ж, мы будем получать другие многочлены У,(х) с вещественными коэффициентами. Каждому нз них соответствует пара индексов д < у (зависящая от а) такая, что элемент е; = и;и + а(ид + и,) е Р содержится в подполе С поля Р. Так как различных пар индексов з < у всего (2), а вещественных чисел а Е Ж бесконечно много, то найдутся два различных вещественных числа а, а' с одной и той же отвечающей им парой индексов, скажем, д = 1,1 = 2 (это вопрос нумерации корней ид,..., и„), для которых ад из + а(ид + из) = с, иди»+а'(ид+из) =с', а~а', будут комплексными числами.
Из этой системы уравнений следует, что и с — с' с — с' ид + из = —,, иди» = с — а —, а — а" а — а' принадлежат полю С. Коль скоро это так, элементы им из будут кор- нями квадратного многочлена (х — ид)(х — из) = хз — (ид + из)х+ иди» Гл. о. Корни многочленое с комплексными коэффициентами. По известным формулам и1+ иг иг,иг = 2 так что иг,иг тоже оказываются комплекснымн чнсламн. Таким образом, для рассматриваемого многочлена у(х) с вещественнымн коэффнцнентамн найдены даже два комплексных корня.
Пусть теперь Дх) — многочлен вида (1) с пронзвольнымн комплекснымн коэффициентами (можно считать ао — — 1, но это неважно). Заменяя все а; комплексно сопряженнымн числами, мы получнм многочлен ДХ) = аОХи+а1Х" +... +а„12+а„. Введем многочлен е(х) = у(хщх) = еохг" +егхг" '+...
+ег„ степени 2и с коэффициентами еа = ~~~ а1ау, й =0,1,...,2п. 1+у=а Так как операция сопряжения х ье 2 является автоморфнзмом порядка 2 поля С (теорема 1 нз 2 1 гл. 5), то еа = 2;+. „а;а = еа, а это означает, что еа е йь. По доказанному многочлен е(х) с вещественными коэффнцнентамн имеет хотя бы один комплексный корень с: У(с) У(с) =е(с) =О. Отсюда вытекает, что либо У(с) = О, н теорема доказана, либо Дс) = О, т.е. аос" + агс" ' + ... + а„гс + а„= О. Применяя к обенм частям этого равенства автоморфнзм комплексного сопряженна, получим асс + агс" ' +...
+ а„гд+ а„= О, т.е. у(с) = О. С) Алгебраической замкнутостью поля С (а также фактом существовання поля резложеннл многочлена) удобно пользоваться прн решении различных задач. П р и м е р. Пусть зе(у) — множество всех рзззвчнык корней многочаена 1 Е Е С[Х], а 81(/) — множество всех его "единиц": Е зг(/) сеьь У(о) = 1. Пусть теперь |, Х вЂ” какие-то многочлены вз С[Х]. 1)>ееуетсв показать, что зо(у) = зо(р), 81(у) = 81(я) =ь 7(Х) = д(Х). Так как, очевидно, Яо(у) й з1(У) ы И, то согласно результатам 1 1 достаточно показать, что ]во(у) О зг(у)] ) и+ 1, где и = оея у. По теореме 1 У(Х) = оо П(Х вЂ” сс)м, У(Х) — 1 = оо П(Х вЂ” Яг)~г, силу Е С, усп где а= и=~ О, н+н=]яо(У)оя1(2)]. у 4.
Мноеочоены с еетлестпеенными ноеффнннентпомн 241 В соответстввв с теоремой б $1 имеем н Ф У(Х)' = (У(Х) — Ц' = П(Х вЂ”;)' -' П(Х вЂ” Лл)тт-т а(Х), т=т т' 1 тек что (н — о) + (н — тт) = 1'(ет — 1) + Я(тт — 1) < Лей /(Х)' = н — 1. Стасо быть, о+о>н+1. Время от времени полвапотся новые доказательства основной теоремы алгебры как иллюстрации передовых идей математики.
Обратим внимание на топологвческие доказательства, использующие понятия гомотопии, степени отображения, порядка кривой, крвтической точки и пр. С ними можно познакомвтьсл по злементарвым вводным курсам: 1. Стпинрод Н., Чини У. Первые понятия топологии. — М.: Мвр, 1967. 2. Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциаяьная топология. — Мо Мир, 1972. 3. Торп Дзс. Начальные главы дифференциальной геометрив.— М.: Мир, 1982. 5 4. Многочлены с вещественными коэффициентами 1. Разложение на неприводимые множители в Е[Х]. Из теоремы 1 3 3 следует, что каждый многочлен у степени и в С[Х) может быть записан, и притом единственным образом (с точностью до перестановки множителей), в виде у(Х) = а(Х вЂ” ст)(Х вЂ” сз)...
(Х вЂ” с„), где а ф О, см...,с — комплексные числа. Пусть теперь 7'(Х) = = Х" + отХ" ' +... + а„тХ+ а„— нормализованный многочлен с вещественными ктвеффвциентами ат,..., а„н с — какой-то его комплексный корень: с = и+ тс, и ф О. Применял к соотношению У(с) = О автоморфизм комплексного сопряжения, как мы зто делали во втором доказательстве теоремы 1 из 3 3, получим, что и у(с) = О, поскольку ат = аь Стало быть, у(Х) делится на многочлен второй степени д(Х) = (Х вЂ” с)(Х вЂ” с) = Х вЂ” (с+ с)Х + сс = Х вЂ” 2иХ + (и + и~) с отрицательным дискриминантом )9(д) = 4из — 4(из + сз) = -4се < < О. Условие П(д) < О необходимо и достаточно для непрвводимости вад и квадратного многочлена д е й[Х).
Если, далее, й — кратность корня с мвогочлена У(Х) в ( < й— кратность корня с, то у (Х) делатся на (-ю степень многочлена д(Х): у(Х) = д(Х)тд(Х). 242 Гл. б. Корни ммогочлекое Частное д(Х) двух многочленов из ЩХ] будет тоже многочленом из 11[Х], причем при й ) 1 элемент с Е С будет его корнем кратности й — 1, в то время как с корнем не является. Мы видели, однако, что зто не так. Значит, й = 1 (предположение 1 ) й рассматривается анашгично), т.е. комплексные корни всякого многочлена из )к[Х] попарно сопряжены. Мы приходим к заключению, что для элементов факторигльного кольца )к[Х] справедливо следующее утверждение. Теорема 1.
Любой иормалиэоваиимй миогочлеи / Е )к[Х] стаепеии п разлагается едииствеиным образом (с точиостью до порядка множителей) в проиэведеииг тп < и линейных миогочлгиов Х-с;, соответствующих гго вгществеииым корням сы..., с, и (и — т)/2 квадратных миогочягиов, игприводимыг иад й и соответствующих парам комплексно сопряженных корней. Замечания. 1) Неприводимый многочлен из )к[Х] либо линеек, либо квадратнчен, с отрицательным дискриминантом.
2) В обозначениях теоремы 1 имеет место соотношение 1)(/) ( 1)( — )/2[1)(/)[ т.е. знак дискриминанта определяется числом пар комплексно сопряженных корней. Это соотношение получается либо непосредственно из определения дискриминанта, либо при помощи формулы, содержащейся в упр. б из 2 2. Пример 1. у(Х) = Хг" + 1. Так как у(Х) аещестаепиык корией ие имеет, 12й — 11п .. 12й — 11п а комплекскые корки се и сов" — 2 — '- + еещ ~ — 26 — '-, 1 й (й (ч 2п (апре. делеппые по формуле (1е) ие 1 1 сл. ь), асе простые, то еещестаеикые пеприаодкмые множители ысодлт а у(х) с покюателлми 1. Очеакдио, гл = сг„+1 а при й = 1, 2,, и и (Х вЂ” се)(Х вЂ” са) = Хг — (2 сое ( — ~-~-) Х + 1, так что Хге+ = ) ( [Х' — ( ( )")Х+1].
2. Простейпгие дроби над С и И. Теперь, когда мы знаем общий вид неприводимых многочленов над С и )к, естественно вернуться к теме простешпих дробей (п. 3 2 4 гл. 5), поскольку именно зти случаи важны в теорни интегрирования. Мы знаем, что нормализованные неприводимые многочлены имеют вид Х вЂ” с над С и Хэ + аХ + 6 или Х вЂ” с над К. Поэтому простеншими дробями над С будут т/(Х вЂ” с), 7 Е С, а в случае )и к ним добавятся дроби вида (аХ+)9)/(Хг+аХ+6) . Практически удобным методом разложения правильной дроби //д в сумму простейшнх над С и )й при известном каноническом разложении знаменателя д(Х) является мгпгод игопргдслеимых коэффиииеитов.
Проиллюстрируем его паров примеров. у 6. Мкогочлскы с еспусспуееяяымя коэбубуяцксяшамн 243 а+Д+ 6ж1, уу+ 'у+ 26 =0, а+ О+22+ 6 =О, у+7 =О, которве, кояечно же, соеместяа в определенна, как з го следует аз теоремы 3 нз $4 га. б. Решал ее, прююдкм к заключению, что 1 1 Х (Х + «э(хе + «2(Х + «э 2(Х+ «2(Хэ + « Можно поступать более разумно, подставлял непосредственно в (е) вместо Х конкретные числовые зваченал -1,1 (корня неправодямых множителей). Это сразу даст а = 1/2, (ау + 6)21 = 1, клк т = -1/2, б = О. Пря Х = 0 получится соотношеяае длв Д.
Пример Ж Пусть баб/(Х) < п, д(Х) ж (Х-суКХ вЂ” сэ)... (Х-со) с попарно разлвчнымк злементамв сы сэ,..., с„вэ С нля Ж. Тогда /(Х) ау аэ ае + +...+ (Х вЂ” су)(Х вЂ” )... (Х вЂ” ) Х вЂ” су Х вЂ” сэ Х— откуда /(Х) = ~ аа(Х вЂ” су)...(Х вЂ” сь у)(Х-се+у)...(Х вЂ” с ). ь 1 Пра Х ж сь, 1 < й < и, имеем /(сь) ж аь(сь — су)... (сь — сь,)(сь — се+у)...
(се — с„), а тзлс как в д'(Х) = ~ (Х -су)...(Х вЂ” сь-у)(Х вЂ” се+у)...(Х вЂ” с ), ь 1 аь= —, 1<2<я. /(сь) д'(сь) Получающалсл в результате рормуле Леаранже /(Х) ч /(сь) д(Х) ь д'(сь)(Х вЂ” сь) (2) кмеет прямое отношение к антерполлцяонвой формуле Лагранжа (4) яз $1.
Действнтгльво, если умножать обе часта в (2) на д(Х) я поюжять /(сь) = Ьь, то получатсэ формула (4) кэ " э1, Првмер 2. Если д(Х) = (Х+ «э(Хэ+ « — каноническое раэложеняе над Ж, то длл дроби 1/д(Х) имеем 1 а Ф уХ+6 (Х+«э(хе+«(Х+«э Х+1 Хе+1 + + с не определенными пока коэффнцаентамв а, уу, т, б б Ж. Умножав обе части этого равенства на д(Х), получнм 1 = о(Хэ+ «+11(Х+ «(Х + «+(уХ+6)(Х+ «э. () Сравнивал теперь коэффвцпевты при 1,Х,ХЗ,ХЭ, прядем к неодвороднок лваейной системе аэ четырйс уравиеввй с четырьмя яеаэвестнымя з 4.
Многочленм с веч»еспзвеннмми козффичиеншоми 245 Впервые удовлетворительное, хотя и несколько громоздкое решение этой задачи было достигнуто Штурмом в 1829 г. Прежде чем переходить к формулировке соответствующей теоремы и ей докезательству, введем необходимые определения. Определеные 1. Пусть Я = (смог,...,с ) — конечная последовательность отличных от нуля вещественных чисел, и пусть У(Я) — число индексов», 1 < 1 < ш — 1, для которых с;с;+» < О. Тогда Ъ'(Я) называется числом перемен знаков в последовательносты Я. Если Я содержит нули, то под 1~(Я) следует понимать число перемен знаков в укороченной последовательности У, получающейся из Я вычеркиванием нулей.
Например, $'((1,0,2,0,-3,4,0,0,-2)) = 3. В двльнеяшембезограничения общности будем предполагать, что интересующий нас многочлен 7(х) с вещественными коэффициентами не имеет кратных корней, чего, как мы знаем (см. конец п. 4 3 1), всегда можно добиться. О п р е д е л е н и е 2. Конечная упорядоченная последовательность отличных от нуля многочленов с вещественными юх»ффициентами уо(х) = у(х), у»(х), ..., У,(х) (3) называется сисе»смой Шшурма (или рядом Штпурма) для многочлена 1(х) на отрезке [а, Ь] (а < х < Ь), если выполнены следующие условия: 1) последний многочлен Ях) не ымеет корней на [а, Ь]; й) Уо(а)Уо(Ь) Ф 0' ш) если Яс) = 0 для с й [а, Ь) и 1 ( й ( в — 1, то у» д(с) у»+д(с) < <О; 1е) если у(с) = 0 длл с Е [а, Ь], то произведение уо(х)11 (х) меняет знак с минуса на плюс, когда х, возрастая, проходит через точку с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
