1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 46
Текст из файла (страница 46)
+Ьосо ... =О, а~4~+ аес3~+ ... +Ь1со +Ьос ... = О, (19) агдо+ аА+ асдг ... + Ьзсо + 61с1 + Ьосг = О, Определитель матрицы системы (19) (точнее, определитель транспонированной матрицы) совпадает как раз с Вег(у, д). Стало быть, система (19) имеет ненулевое решение в точности тогда, когда Вег(у, д) = О, а всякое ненулевое решение приводит к паре много- членов 1мдм удовлетворяющих условию (18). С) В2. Пустпь многочлгнм у и д полностпью расщгпллюгасл на линеднме множипыли в Р(Х~): 1(Х) = ао(Х вЂ” аь)...
(Х вЂ” а„), д(Х) = 6.(Х-д,)...(Х-)1 ). Тогда В (У,д) =аоПд(ае) =(-1) Ь,"ПЛ®=Ч"Ьо,П(а;-А). «=1 1=1 Фу Доказательство. Ясно, что указанные здесь формулы, если они верны, должны носить универсальный характер, не зависящий от частных типов многочленов у,д. Эта несложная "философия", в природу которой мы не хотим здесь вдаваться, позволяет нам ограничиться рассмотрением "общего случая", когда, скажем, все д(а1),...,д(а„) и все У(А),...,7(р ) попарно различны.
Далее, так как Вег(д, у) = (-1) "Ваг(у, д) (см. определение), то достаточно убедиться в справедливости соотношения Вег(У,д) = аею П д(а;). С этой целью введем новую переменную У и нвд полем рациональных дробей Р(У) рассмотрим многочлены у(Х), д(Х) — У. Из определения результантг, где следует звменить Ь на Ь вЂ” У, получается, что Вег(Лд — У) = (-1)"аг У" +... + Вез(У,д) — многочлен степени и относительно У со старшим коэффициентом (-1)"ае и с постоянным членом Вег(У, д). Многочлены у(Х) и д(Х)- — д(ол) с общим корнем а; делятся на Х вЂ” оь Ввиду свойства В1 имеем Вег(У,д — д(ав)) = О. д 3.
Симметиричесиие мпогочлепм 231 а,", 'Ц(໠— а ) т<т оо )В О. Ю. Имеет место (рормдло ьт)(тл) ( 1)п(п-1)/3 -1тззь (тл тлт) (20) Действительно, согласно В2 п Н (~,Г') = о-'Ц~'(»). Но й»)чп Ц('- ) ттм что является простым следствием подстановки Х = а» в общее вы- ражение п 1'(Х) = оо ~~» Ц(Х вЂ” а;), т=1 тт»т получаемое дифференцированием произведения у(Х) = оо П" (Х— — а ). Таким образом, п (у у)=оо ЦЦ( ' ') Спт тт»» — оо( — 1)п(п Н~'4" 'Ц(а — .)' = оо(-1)"(" ')~'луу) С) т<т Формула (20) дает явное выражение для дискримннанта.
УПРАЖНЕНИЯ 1. Пусть р — простое число. При помощи формул Ньютоиа (9), (10) показать, что р-1 Е » = Г ) -1(що»)р), если тделитсл иа р — 1, 0(шо»)р), если пт ие делится иа р — 1. »=1 По теореме Безу многочлен КевКд — У) должен делиться на д(а») — У, 1 < т' < тт. Так как все д(а») у нас различны, то Нев(У,д — У) = оо П» 1(д(а;) — У).
При У = 0 получаем нужное выражение. П Данное в п. 4 определение дискриминанта перенесем на случай ненормализованных многочленов, полагая 232 Гл. б. Корни многоч генов 2. Использул систему рекурреитвых формул Ньютона и формулы Крамера, получить следующие лвные выраженил рь через еь и еь через рь: 1 О О ...
О аг 1 О ... О вз ег 1 ... О ег 2ег Заз (1г — 1)аь г зь з еь з еь е ... 1 йеь еь г еь з аь з ... аг 1 О О ... О р, 1 О ... О р, р, 1 ... О Рг Рз Рз 1 аь =— иг Рь-г Рь-з Рь-и Рь-е " 1 Рь Рь-г Рь-з Рь-з . Рг 3. Пусть сг, ею сз — комплексные корни мвогочлена Хз — Х+ 1. Что можно сказать о РасшиРении Я(сее + сзее + сщз)2 4. Мвогочлен 1(Хг,..., Х») вад полем Р характеристики Р' 2 называетсл кососиимещрическим (или знакопеременнмм), если гк б Я» (гг с /)(Хг,...,Х») = = е»у(Хг,...,Х ) (как всегда, е» вЂ” знак перестановки). Примером кососвмметрнческого многочлена может служить сг = П <г(Хг — Хг).
Показать, что любой кососимметрический многочлен у Е Р]Хг,...,Х»] имеет вид 1 = Ь» д, где д — симметрический многочлен. У к а ланке. Рассмотреть | как многочлен относительно Х» с козффипиентами з Р]Хг,...,Х» г]. Обратить внимание на то, что в силу кососвмметричвости 1 = О прн Х» га Х» г и, стало быть, / делится ва Х вЂ” Х» б. Использув свойство Н2 и факт существованвл полл разложение многочлева (см.
сзедующкй параграф), показать, что Н (Уд,Л) =Н (У,б) Н (д,Л). 2 3. Алгебраическая замкнутость поля С 1. Формулировка основной теоремы. Пусть Р— попе и у — произвольный многочлен над Р. Как уже отмечалось в п. 2 2 1, поведение полиномиальной функции у: Р -+ Р, ассоциированной с у, существенно зависит от поля Р. В частности, Ьпу = Р, коль скоро с]ея у > О, и к Р применимо следующее Определение. Поле Р называется алгебраичесии заминргпььн, если каждый многочлен из кольца Р]Х1 разлагается на линейные множители. 6. Из упр.
б и из НЗ вывести формулу )1(/д) = Р(г')11(д)]Ила(г', д)] . Т. Чему равен результант Нев(У(Х), Х вЂ” а)г 8. Показать, что Р(Х» +а) = (-1)»(» г1гзп»а» 9. Пусть У(Х) = Х» г + Х" з +... + 1. Использул соотношение Х» — 1 = = (Х-1)у(Х) и предыдущие упражнении, показать, что РЦ) ж (-1)1» гп» змзх х и»-з ~ 8. Алгебраическая эвмннутпвстпь поля С 233 То же самое можно выразить другими словами: поле Р алгебраически замкнутпо, если неприводимыми над Р явлгютпся лишь многочлены сшепени 1 (линейные многочлены). Если любоб многочлен у' Е Р(Х) обладаетп в Р по крайней мере одним корнем, тпо поле Р алгебраически замкнутпо.
Действительно, тогда у(Х) = (Х вЂ” а)А(Х), а б Р, Ь б Р(Х), но по условию для многочлена А в Р тоже существует хотя бы один корень, т.е. 6(Х) = (Х вЂ” Ь)г(Х), Ь б Р, г б Р(Х). Продолжая этот процесс, мы придем в конце концов к полному разложению у на линейные множители. Так как у — произвольный многочлен, то поле Р удовлетворяет определенню алгебраической замкнутости. Хотя и справедлнво утверждение о том, что длл всякого полл Р сущестпвуетп расширение Р Э Р, являющееся алгебраически замкнутпым полем (тпеорема Штпебнииа), на первых порах все же трудно воспринять не только конструкцию влгебраически замкнутого расширения, но и саму идею такого расширения.
Тем более приятно, что мы фактически располагаем ярким и очень важным примером алгебраически замкнутого поля, как об этом гласит так называемая основная тпеорема алгебрьь Именно, справедлива Теорема 1. Поле комплексных чисел С алгебраически замкнута о. Сформулируем еще ргз это фундаментальное утверждение, теперь уже в терминах корней.
Произвольный многочлен 7'(Х) стпепени п > 1 с комплексными (или вещестпвенными) козффтщиентпами имеетп ровно и комплексных корней, считпаемых со своими краптноспьями. Громкий титул "основной" теорема 1 приобрела еще в те времена, когда решение алгебраических уравнений было одним из главных занятий алгебраистов. В наши дни теорема 1 относится к числу рядовых, хотя н важных утверждений. Впервые строгое доказательство основной теоремы было предложено Гауссом в 1779 г.
С тех пор появилось много вариантов доказательства, различающихся между собой, так сказать, степенью глгебраичности. Необходимость опираться на свойства непрерывности полей И и С (иначе, на их топологию) проявляется втой илн иной форме; есть даже совсем не алгебраическое и очень короткое доказательство, основывающееся на довольно глубоком понятии аналитической функции комплексной переменной. Сейчас будет приведено доказательство, основанное на элементарных сведениях из математического анализа и восходящее к идеям Даламбера, Эйлера, Гаусса, Коши, Аргана.
Именно последнему (Атбапб В, 1814 г.) принадлежит наиболее прозрачное изложение, которому с тех пор следуют почти все учебники по алгебре. 234 Гм 6. Корни многочленов 2. Доказательство осиовиой теоремы. Его иеалгебраичность иачииается с двух вспомогательиых утверждений, которые можно найти в любом курсе анализа. 1) Каждмб комплексныб многочлен Дх) =аох" +а1»" '+...+а„1»+а„, п>1, (1) лвлхетсл непрерывноб фднкииеб в любой точке плоскости С (функция У: С -~ С непрерывна в точке хо б С, если Нш, „, У(х) = У(хо); другими словами, для любой окрестности У(у(хо)) найдется окрестность |У(хо) такаг, что пРи любом х б Цхо) бУдет У(х) б УУ(хо)) 2) Каждая непрерывно» фднкиил У: К -+ й на компака1е К С й» достигает своего минимума в К (компакт — замкнутое ограничениое множество).
Заметим, что следовало бы говорить о непрерывности полиномыальвой функции у: С -> С,ыо мы следуем упрощенному языку, принятому в анализе. Компактом у иас будет круг ]х[ < г некоторого достаточно большого радиуса г, определенного ниже. Тривиальный случай миогочлеиа у со свободным членом а„= О исключается из рассмотрения, поскольку тогда у' имеет корень хо — — О. Чтобы пояснить геометрически идею доказательства, вообразим себе поверхность, в йг, отвечающую уравнению ю = Щх)]: зиачеиия х изображаются иа горизонтальной плоскости йг, а значения [У(ф откладываются вверх, в направлении оси ю,перпендикулярной к й .
Из непрерывности у'(х) следует непрерывность функции Щх)] иа всей плоскости С. Нужно убедиться в том, что хотя бы одной точкой наша поверхность "опирается" иа горвзоитальиую плоскость й» (ю = О). Последующие рассуждения разобъем иа иесколько шагов. Лемма 1. Сдтествдет положительное число г й й такое, что [у(х)] > [у(О)[ длл всех» й С с [х[ > г. Действительно, для х ~ О имеем ]У(х)[ = [х]"[ао + д(х ')[, где д(и) = а1и+ а»и +... + а„и" б С[и].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
