1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 42
Текст из файла (страница 42)
п. 1 3 2 гл. 5) вопрос о соотношении теоретико-функциональной и алгебраической точек зрения на многочлены. Каждому многочлену у 6 А[Х] ставится в соответствие функция ,т': А -ь А, а р+ у(а). Множество всех таких функций составляет кольцо Ар 1 полиномиальных (или целых рациональных) д)дикций, являющееся подкольцом кольца функций А" = (А ~ А) с поточечным сложением и умножением (см.
пример 3 в п. 1 3 3 гл. 4 и теорему 2 3 2 гл. 5). Совершенно аналогичным образом вводятся полиномиальные функции от нескольких независимых переменных. Как уже отмечалось ранее, отличный от нуля многочлен Хз + Х Е Рз[Х] определяет нулевую функцию. Вообще, если ПХ) = (ХР— Х)О(Х) — много- член над конечным полем из р элементов, то / — нулевая функция, поскольку лр — я = л(хр — 1) = О для всех я Е Рр. Лишь в случае без у ( р — 1 многочлен т" е Рр[х) опРеделлетсл своей фУнкцией 1. пРоизвольный многочлен У е Рр[Х] можно заменить однозначно определенным редучироеоииым мноеочленом У' степени ( р-1, взяв в качестве 7' остаток от деления У на ХР— Х.
Тогда, очевидно, У=/ В случае бесконечных полей или целостных колец ситуация значительно проще. У 1. Общие своаспзва корнее 211 Теорема 3. Нели А — целостное кольцо с бесконечным числом элеменшов, шо отображение кольца многочленов А(Х] на кольцо полиномиальных функций Арьь определяемое соответствием 1' ~-> 1, являетасл иэоморфиэмом. Собственно говоря, это есть переформулировка следствия теоремы 2, поскольку речь идет лишь о том, что многочлену 1 -6 О сопоставляется ненулевая функция 1, т.е. 1(а) ф О хотя бы для одного а Е А. На самом же деле 1 имеет не более чем и нулей в А, если де31 = и.
П На основании теоремы 3 кольцо многочленов над бесконечным полем Р отождествляют с кольцом полиномиальных функций (обозначаемых 1(х)), и остается только решить вопрос о том, как по 1 (а фактически по нескольким значениям многочлена 1) восстановить в явном виде сам многочлен. Точная постановка задачи "интерполяции" заключается в следующем. Пусть 5о,бм...,б — произвольные элементы, а со,сы... ..., с„— попарно различные элементы поля Р. Требуется найти многочлен 1 Е Р(Х~) степени < и такой, что 1(с,) = йи 1 = О, 1,..., и.
Согласно следствию теоремы 2 решение задачи, если оно существует, единственно. Но один многочлен 1 с заданными свойствами всегда существует, как показывает интперполяционная формула Лагранжа (Х вЂ” со)... (Х вЂ” с; ~)(Х вЂ” с;+~)... (Х вЂ” с„) ' (с; — со)... (с; — с, ~)(с; — с1ь1)... (с; — с ) ' Впрочем, существование и единственность решения сразу усматриваются нз линейной системы ,4+а,с,"-'+...+а„=ус, аос,", + а~с'„' ' + ... + а„ = 6„ для коэффициентов ав,...,а„ искомого многочлена 1.
Определитель этой системы, являющийся определителем Вандермонда, отличен от нуля, и а; находятся по правилу Крамера. Удобство формулы (4) заключается в ее простоте н легкости запоминания. Некоторые преимущества иногда имеет иншерполяционнав формула Ньютона 1(Х) = ив+ и1(Х вЂ” со) + .. + ив(Х вЂ” со)(Х вЂ” с1)... (Х вЂ” с„~), (5) где коэффициенты ио, им..., и„определяются путем последовательной подстановки значений Х = со, Х = сы..., Х = с„.
Интерполяцнонные формулы (4), (5) находят практическое применение при вычислении н графическом изображении функции у: Н -+ Ж, заданной таблично или полученной из опыта. Зная нз каких-нибудь косвенных соображений, что функция у ведет себя на интервале 1 вещественной прямой Н "достаточно хорошо", стараются приближенно изобразить 212 Гл. б. Корки многочлгиог изобразить у на 1 такой "гладкой" функцией, как полввомиальная (рис. 24). При этом используют в качестве так называемых узлов интерполяции часть точек со, см..., с„внутри интервала 1, в которых (и только в них) известны значения <р(с;) = б<. Ряа 24 Тонким вопросам выбора узлов интерполяции и разработки общих методов приближения функций посвящены целые разделы математики. Стоит отметить, что применение ннтерполяционных процессов сыграло большую роль в развитии теории трансцендентных чисел (определение алгебраических и трансцендентных чисел см.
в З 2 гл. 5), так что здесь смыкаются интересы теории функций, теории чисел и алгебры. Отметим в заключение, что каждой рациональной несократимой дроби //д Е Р(Х) (см. З 4 гл. 5) и каждому расширению Р Э Р с бесконечным числом элементов сопоставляется рапвональнаг фднкпел //д: Ру~о1 -+ Р с областью определения Рупор получающейся из Р удалением конечного числа элементов — нулей многочлена д в Р. Можно доказать, что при указанных условиях отображение У/д > //д взаимно однозначно. Нам это утверждение не потребуется. Интуитивно оно ясно. Несмотря на это соответствие, нужно делать четкое различие между рациональными функциями и рациональными дробями.
Рациональная функция х ~4 1/х не определена в точке х = О, в то время как вопрос об определимости рациональной дроби 1/Х вообще не возникает. 3. Дифференцирования кольца мвогочленов. Функциональная точка зрения на многочлены делает естественным следующее определение. Пусть /(Х) = аоХ" + а1Х" ' +... + а„1Х + а„ вЂ” многочлен степени и над полем Р.
Его производной называется многочлен /'(Х) =паоХ" 1+(п — 1)а1Х" ~+...+а„1. (б) у 1. Ойцне своветава корнее 213 (Х"+')'=(й+1)хьм ' =(йх" )Х'+Х"(1Х' ) = = (Х")'Х'+ Хв(Х1)'. Обобщением (8) служит легко доказываемая индукцией по й формула Иг Й " Ь)' = ,'» Л " Л-1ЛЛ+г " Б. В частности, ув)г йуь-г 7г Соотношения (7), (8), переписанные в терминах отображения ~Х .
1 ~+ 1 (говорят также, что ~ — оператор дифференцирад . ~ д ванов), наводят на мысль ввести в рассмотрение для произвольного кольца К отображение З: К -в К, обладающее свойствами 71(и+и) =71и+Ро, (7') З(ио) = (Ри)о + и(Ро). (8') Такого рода отображения кольца К в себя, называемые дифференцированиями, весьма полезны для изучения К, а их множество Пег(К) оказывается интереснейшим объектом, вводящим в обширную область математики (группы и алгебры Ли).
Обобщением (8') служит формула Лейбница тп Рт(ио) ~~~ ( ) 71виР™о (8") Если Р = И вЂ” поле вещественных чисел, а 1 — связанная с 1 полиномивльнея функция, то определение (6) производной совпадает с обычным ее определением как предела 1пп 1(х + Ьх) — Дх) арче Ьх В случае же произвольного поля Р говорить о каких-либо свойствах непрерывности полиномиельной функции бессмысленно (что такое сходящаяся последовательность в Ер?) и нужно исходить иэ формального определения (6). Имеют место хорошо известные из анализа соотношения (а,7+)Зд)' = ау'+)3д', а,~д 6 Р, (7) (Уд)' = 1'д+ й' (8) Соотношение (7) прямо вьггекает из (6) и иэ определения суммы многочленов.
Используя (7) и определение произведения многочленов, проверку (8) можно свести к тому случаю, когда у' = Х", д = Х'. 214 Гл. б. Корни многочленое получаемая индукцией по пт > 1 (применение Тт к (8п), использование (8') и соотношение (й™1) + Щ) = ( й ) дадут (8п) при от+1). В случае К = Р!Х) из соотношений (7'), (8'), дополненных правилом 71(Л7') = Ль у, Л Е Р, непосредственно вытекает 'ь 7(Х) = у'(Х)ЮХ. Стало быть, любое дифференцирование кольца многочленов Р(Х) определяется заданием единственного многочлена 77Х.
При ЮХ = 1 мы получаем обычный оператор дифференцирования аХ. д 4. Кратные множители. Результат та-кратного применения отображения ~ к 7(Х) обычно обозначается символом У! !(Х). Очевидно, что 1(Х) = аоХ" + атХ" '+... +а„~ у!"!(Х) = и!ао, 7!"+'!(Х) = О. Если Р— поле нулевой характеристики, то с(або' = де81 — 1. Однако для полей конечной характеристики р зто уже не так, поскольку (Хав)' = йрХа -т гл О.
Все же некоторую пользу из рассмотрения производной молсно извлечь и в общем случае. Разделив произвольный многочлен у Е Р(Х)) на (Х вЂ” с)з, с Е Г, Р Э Р, а затем записав (линейный) остаток в виде (Х вЂ” с)в + г, где в, т Е Р, мы придем к соотношениям у = (Х вЂ” с)зС+(Х вЂ” с)в+г, Г' = (Х вЂ” с)[2С+(Х вЂ” с)С]+в. Подставив в них значение Х = с, получим т = у(с), в = 7'(с), т.е. у(Х) = (Х вЂ” с)СС(Х) + (Х вЂ” с)7'(с) + 7(с).
Мы пришли к следующему утверждению. Теорема 4. Пусть Р— произвольное ноле и Р— любое его расширение. Многочлгн у' Е Р(Х) имеетп кратный корень с Е Р тпогда и пюлько тпогда, когда у(с) = У'(с) = О. Пример 1. В любом поле характеристики р многочлен Х" — 1 имеет лишь простые корни, если и не делится на р. Действительно, корни производной пХ" не могут быть корилми Х" — 1. Далее предполагается, что Р— поле нулевой характеристики, и без ограничения общности под Р можно понимать одно из полей Щ !й илн С. Нормализованный неприводимый многочлен рт(Х) в разложении У(Х) = Лр,(Х)'т...р;(Х)' ...р,(Х)', Л Е Р, (1О) Э 1.
Общие свойстпва корней 215 многочлена У(Х) й Р]Х] (по аналогии с определением кратного корня) называется й;-кратнын множителем для у. Ранее уже говоря- лось о том, что получить разложение (10) на практике довольно сложно. Опишем вкратце метод, основанный на понятии производной и дающий возможность узнать, содержит ли 1(Х) над данным полем Р (или над его расширением) кратные множители. Теорема 5. Пустив р(Х) есть й-кратпный неприводимый множитпеяь многочяена у' й Р(Х] (й > 1, беар(Х) > 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
