1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Всякое евклидова кольцо К *вллетпся кольцом с разлоэсением (тп.е. любой элемента а ф О из К записывастпсл в виде (1)). Доказательство. Пусть элемент а б К обладает собственным делителем 6: а = 6с, где 6 и с — необратимые элементы (другими словами, а и 6 не ассоциированы). Докажем, что б(6) < б(а). В самом деле, согласно Е1) непосредственно имеем б(Ь) < б(Ьс) = = 6(а).
Предположив выполнение равенства б(6) = 6(а), мы воспользуемся условием Е2) и найдем о, г с 6 = оа + т, где 6(г) < 6(а) или же г = О. Случай г = О отпадает ввиду неассоциированности а и 6. По той же причине 1 — дс ф О. Стало быть, снова по Е2) (поменять местами а и 6) имеем 6(а) = б(Ь) < 6(6(1 — дс)) = б(6 — да) = 6(г) < 6(а) — противоречие.
Итак, 6(Ь) < б(а). Если теперь а = атаз... а„, где все а; необратимы, то а,„+та,„+з... а„— собственный делитель а,„а +т... а„, и по доказанному б(а) = б(атаз ... а„) > 6(аз ... а„) » ... 6(а„) > 6(1). Эта строго убывающая цепочка неотрицательных целых чисел имеет длину и < б(а). Значит, для элемента а б К имеегсл разложение максимальной длины, которое и будет разложением на простые множители.
0 д Я. Разлогеение в кольце многоцленов 197 Теорема 4. Всякое евклидова кольцо К фактпориальио (тп.е. обмадаетп свобстпвом однозначмостпи размоисемиг ма проснтьте миозкиптели). Доказательство. С учетом леммы и критерия факторигльности, содержащегося в теореме 1, нам остается показать, что если р — простой элемент кольца К, делящий произведение ос каких-то элементов 6, с Е К, то р делит либо 6, либо с. Действительно, прн 6 = О или с = О доказывать нечего.
Если же бс ф О и д = КОД(б, р), то И, будучи делителем простого элемента р, либо равен 1 (точнее, является делителем 1), либо ассоциирован с р. В первом случае б и р оказываются взаимно простыми, и утверждение й) следствия теоремы 3 позволяет заключить, что р]с. Во втором случае д = ир, и]1 и, значит, р]б. П Следствие. Кольца Е и Р(Х] фактпориальны (Р— произвольное ломе). Доказательство. Как отмечалось непосредственно после определения евклидовости, на каждом иэ колец Е, Р'1Х] задана естественная функция д с нужными свойствами Е1), Е2), так что остается сослаться на теорему 4.
П Очень рекомендуется провести отдельно для Е и для Р]Х] доказательства факториаяьности, чтобы устранить всякую видимость какого-либо наукообргзия в этом вопросе. Факториальность кольца многочленов Р(Хт,..., Х„], и > 1, уже не являющегося евклидовым, устанавливается в (ВА 1П].
Там же приводятся дополнительные примеры евклидовых колец. 4. Неприводиыые ыногочлеиы. Специагизируя данное ранее определенке простого элемента, еще раз подчеркнем,что много- член у ненулевой степени из кольца Р]Х]называется меприводимым в Р(Х] (или неприводимым мад полем Р), если он не делится ни на какой многочлен д б Р(Х], у которого О < декд < дел ~. В частности, всякий многочлен первой степени неприводим.
Совершенно очевидно, что неприводимость многочлена степени > 1 или разложение его на неприводимые множители — понятия, тесно связанные с основным полем Р, как это показывает уже известный нам по построению комплексных чисел многочлен Х + 1 = (Х + т)(Х вЂ” т). Многочлен Х4 + 4 приводим над Щ хотя об этом и нелегко догадаться: Хе+ 4 = (Хг — 2Х+ 2)(Хг+ 2Х+ 2). Оба множителя справа неприводимы не только над Щ но и над Ж, будучи приводимыми, однако, над С.
Как простых чисел в Е (см. г 9 гл. 1), так и нормализованных неприводимык многочменов мад произвольным полем Р бесконечно много. 198 Гл. 5. Комплексные числа и многочлены В случае бесконечного поля Р это ясно: достаточно рассмотреть неприводимые многочлены вида Х вЂ” с, с й Р. Если же поле Р конечно, то годится рассуждение Евклида. Именно, пусть уже найдены и неприводимых многочленов ры..., р„. Многочлен у = ртрг... р„+ 1 имеет хотя бы один нормализованный простой делитель, поскольку т1е8 у > и.
Обозначим его через р ьт. Он отличен от 1ты...,Рв, поскольку из Рнат = Рт Длл какого-то в (~ и следовало бы р,]Ц вЂ” рт... р„), т.е. р,]1. П Так как многочленов заданной степени над конечным полем конечное число, то можно сделать следующее полезное заключение. Над любым конечным полем сутцестпвуютп неприводимые много- члены сколь угодно высокой стпепени. Это утверждение качественного характера будет уточнено в [ВА 1Щ.
Неприводимые многочлены над полем О играют особую роль в теории полей алгебраических чисел. Так как умножением на подходящее натуральное число от многочлена из Я[Х] всегда можно перейти к многочлену из Е[Х], то естественно уточнить сначала связь между свойствами приводимости над Я и над Е. Имея в виду другие приложения, мы докажем одно общее утверждение о многочленах над факторигльным кольцом К. Назовем содержанием многочлена 7 = ас + отХ + ... + а„Х" к й К[Х] наибольший общий делитель д = д(у) всех его коэффициентов. До сих пор мы говорили о НОД(а, 6) двух элементов, но свойства 1)-ч1) НОД позволяют без труда распространить это понятие на любое конечное число элементов целостного кольца.
Если д(у) — обратимый элемент в К, то многочлен у называют яримюпивным. Лемма Гаусса. Нустпь К вЂ” фактпориальное кольцо и у,д к е К[Х]. Тогда д(й) = д(У) д(д). В частпностпи, произведение двух примитпивных многочленов снова будетп примитпивным многочленом (здесь и ниже ят означаетп равенстпво с тпочностпью до ассоциированностпи). Доказательство.
Начнем с последнего утверждения. Пусть ~=ао+атХ+...+а„Х", у=Ьо+6|Х+...+Ь Х™ — примитивные многочлены из К[Х], произведение уд которых не является примитивным. Существует, стало быть, простой элемент р б К, делящий Щд). Выберем наименьшие индексы в, С, для которых р,[а„р (Ьт. Такие индексы найдутся ввиду примитивности у и д. Коэффициентом при Х'+' в уд будет стьт = атут+ (ат шут-т+ а,ьзЬт-г+ ".) + (ат-тЬс+т + а.-гЬт+г+ ".) д Ю. Разложение в кольЧе мноеочленое 199 Так как а,; и Ьт; при т > 0 делятся на р по условию и р]с,+т по предположению, то мы имеем соотношение ри = «,Ьт+ ро, из которого следует, что р[а,Ьт.
Ввиду факториальности К имеем р[а, или р[Ьт — противоречие, доказывающее наше утверждение. Переходя к общему случаю, запишем произвольные многочлены ~, д б К[Х] в виде У = И(1)~о д = д(д)до, где Уо до — примитивные многочлены. Так как Уд = а(,т')а(д) Уодо и по доказанному Н(Уодо) нт 1, то, стало быть, е((/д) е ИЦ)И(д). П Следствие. Многочлен у й Е[Х], неприводимыт1 над Е, продол- жаетп остпав«тпьсв неприводимым и над Я (беку > О). Доказательство. Согласно следствию теоремы 4 Š— фак- ториальное кольцо, поэтому к Е[Х] применима лемма Гаусса. Пред- положим, что у = дй, где у' б Е[Х], а д, Ь б Я[Х]. Умножая обе части этого равенства на наименьшее общее кратное знаменателей всех коэффициентов у д и 6, мы перепишем его в виде ау = Ьдойо, где а, Ь Е Е и до, Ло — примитивные многочлены над Е.
По лемме Гаусса а д(у) = 6 (в данном случае без ограничения общности ассо- циированность заменяется на равенство), так что получается разло- жение у = тт(У)дойо над Е. Остается вспомнить о неприводимости У в Е[Х]. П Критерий неприводимости (Эйзенштейн). Пдстпь ДХ) = Х" +атХ" '+... +атт тХ+а„ вЂ” нормалигованныт1 многочлен над Е, все коэффиииентпы аы..., а„ кот«араго делятпся н«некотпорое простпое число р, но а„не делился на рг. Тогда у'(Х) нелриводим над Я. В самом деле, предположив противное и воспользовавшись следствием леммы Гаусса, мы запишем т в виде произведения двух многочленов над Е: 1(Х) = (Х'+ ЬтХ' '+... + 6,)(Х'+ стХт '+...
+ ст), в8 > О. Это разложение сохранится и в кольце Ер[Х], элементы которого по- лучатотсв из целочисленных многочленов взятием их коэффициентов по модулю р. По условию ат = О, где а; — класс вычетов по модулю р, соответствующий целому числу аь Но кольцо Ер[Х] факториально (следствие теоремы 4). Сравнивал два разложения: Х'Х' = (Х'+ 6 Х' +...)(Х + б Х' +...), + С = и, мы неизбежно приходим к заключению, что Ьт = О = с, т.е. все коэффициенты Ь;, с делятся на р. В таком случае а„= Ь,ст делится на рг — противоречие, устанавливающее справедливость критерия Энзенштейна.
П Гл. Б. Комплексные числа н мнозочлевы П р и не ч ание. Критерий действует и в тоы случае, когда старший коэффициент ао отличен от 1, но не делится на р. Пример 2. Многочлен /(Х) ж Хз | +Х""з+... +Х+ 1 неприводим над О пря любом простом р. Достаточно заметить, что вопрос о неприводимости у(Х) эквивалентен вопросу о неприводимости многочлена все коэффициенты которого, кроме старшего, делится на р в первой степени (свойство биномиальных коэффициентов, отмеченное в упр. б вз 1 3 гл.
4) и к которому, следовательно, примеыим критерий Эязевштейна. УПРАЖНЕНИЯ 1. Показать, что вЕ+ п|Е = Е НОД(в, пз), вХгз п|Х = Е. НОК(в,п|). 2. Пусть Дд — нормализованные многочлены из Х[Х]. Показать, что в выражении НОД(дд) = ук+ до с н,е б Х[Х] можно считать бело < лейд, бело<4 31 3. Являются ли кольца Х[з/-3[ я Хз[Х] факторназьнымиу 4.
Разлозсить на неприводвмые множители в Х[Х] многочлены Х» — 1 при 5 ( в ( 12. б. Доказать» что неприводимые множитези однородного мвогочлена ПХ,У) = аоХ +а|Х» У+ ° ° ° +а»-|ХУ» | +а»1» е О[Х,У] однородны и /(Х, У) непрнводим тогда и толысо тогда, когда веприводим мвогочлен у(Х, 1) = аоХ» + а | Х» | +... + а» | Х + а» б Ц[Х]. 6. Пусть Р— поле и 7(Х) = Л,'сро а|Х| — формальный степенной рлд из РЦХ]] (см. упр. 5 нз 1 2).
Условие ао зз О, или, что эквивалентно, и(1) = О неосжодимо и достаточно длл существование степенного ряда д(х) е Р[[х]], обратыого к 7: уд = 1, Например, (1- Х) | = 2;сроХс. С точностью до ассоцнированности Х вЂ” единственный простой элемент в Р[[Х]].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
