1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Кольцо Р[[Х]] факториально. Обосновать зти утверждения. у, Показать, что без(хсу) = 1, ел е»х„1|1 |... х 1»> „— неприводимый однородный степени в многочлен от вз независимых переменных хс|. У к аз вы и е. Рассуждал от противного, предположвтз» что без(х |) = д|(...,х |,...) х дз(...,хс,,.,). Так ках дез(хи) — линейный однородный мыогочлен от перемеыных, стапцих в одном фяксироваыном столбце, то одни из множителей до де являетсл линейным одяородным многочленом от хц, 1 ( з ( в, прв фиксироваывом,з, в то время как другой совсем не зависит от хс, 1 ( з ( в. Аналогичные рассуждения сохравлютсл прк замене столбцов ва строки. Пусть, скажем, хы входит в д|. Тогда дз не содержит х|ю 1 ( у ( в, откуда следует что дз не содержит х||, 1 ( з, у ( в, т.е, дз — константа.
у Е. Поле отношений 201 $ 4. Поле отношений 1. Построение ноля отношений целостного кольца. В предыдущих двух параграфах было установлено много свойств, общих для Е и Р[Х]. Наша ближайпшя цель — вложить Р[Х] в поле, причем сделать зто нужно самым экономным способом, образцом для которого может служить вложение Е в Я.
Фактически нисколько не сложнее релпать точно такую же задачу для произвольного целостного кольца А. Рассмотрим множество А х А' (А' = А 1 (0)) всех пар (а, Ь) элементов а,Ь Е А с Ь о1 О. Это множество разобьем на классы, полагая пары (а, Ь) и (с, й) принадлежащими одному и тому же классу, как только аА = Ьс; в записи: (а, Ь) ° (с,а). Ясно, что всегда (а,Ь) (а,Ь). Далее, (а,Ь) (с,а) с=э (с,а) (а,Ь) и, наконец, (а,Ь) (с,а), (с,а) (е,У) ~ (а,Ь) (е,У).
Действительно, имеют место равенства аА = Ье, с1 = й, откуда ад~ = ЬсУ = Ые, т.е. 4(ау — Ье) = О. Но 4 ф О, и в силу целостности кольца А получаем ау = Ье, что и означает (а, Ь) (е, у). Итак, отношение «рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. (см. 1 б гл. 1) оно является отношением эквивалентности на множестве А х А' и, следовательно, определяет разбиение А х А' на непересекающиеся классы. Пусть ей(А) — множество всехклассов эквивалентности, или, что то же самое, 1й(А) есть фактормножество Ах А'/ множества Ах А' по отношению эквивалентности . Будем обозначать символом [а, Ь] класс, в котором лежит упорядоченная пара (а, Ь). По определению [а, Ь] = [с, А] е=о ад = Ьс.
(1) Если на множестве А х А' задать операции сложения и умножения формулами (а,Ь)+(с,е() ш(ае(+Ьс,Ы), (а,Ь)(сА) =(ас,Ы) (а это возможно, поскольку в А из Ь 1й О,д 11 О следует Ы о1 0), то эти бинарные операции можно перенести на 1й(А), В самом деле, нам нужно показать, что ] (а,Ь) + (с,й) (а',Ь') + (с,Н), ] (а, Ь) (с, е() (а', Ь') (с, а). То же самое выражается соотношениями (ае(+ Ьс)Ь'и = (а е(+ Ь с)Ы, ас Ь'е(= а'с Ы, истинность которых прямо вытекает из условия а'Ь = аЬ'.
Аналогичный результат получим, заменяя (с, а) на (с', й'), где Ы' = с'й. Мы приходим к заключению, что на 1й(А) операциями сложения и умно- 202 Г». 5. Комнеекенме чнееа н многоноенм женил,не зависящими от выбора представителей в классах эквива- лентности, будут [а, 6] + [с, И] = [ад+ 6с, Ы], [а, 6][с, е1] = [ас, Ы]. (2) Здесь следовало бы писать [а, Ь] Ю [с, И] и [а, 6] О [с, И], но без ущерба для ясности Ю и О заменены обычными знаками суммы и произведения. Убедимся теперь в том, что Я(А), рассматриваемое вместе с опе- рациями (2), есть поле. Действительно, например, из соотношений [а, Ь]+ ([с,б]+ [е,У]) = [а,Ь]+ [с1+ де,4] = [а4~+ Ьс,1+ Ые,Ыу], ([а,Ь]+ [с,е(])+ [е,у] = [Ы+6с,Ы]+ [е,у] = [аф+Ьсу+Ые,ЫЯ вытекает закон ассоциативности для операции сложения.
Ассоциа- тивность умножения очевидна. Далее, соотношения ([а, Ь] + [с, А]) г [е, у] = [або + Ьсе, Щ], «а,Ьие,у]+ [с, Яе, Я = [адеУ+ Ьсеу 6|4] = [(аде+ Ьсе)Л(64~)У] и условия (1) равенства классов эквивалентности показывают, что выполняется закон дистрибутивности. Столь же просто проверяется коммутативность операций сложе- ния и умножения. Нулем для сложения является класс [О, Ц ([О, Ц + + [а,6] = [а,Ь]), а единицей для умножения — класс [1, Ц.
Далее, -[а,Ь] = [-а,Ь], поскольку [а,Ь] + [-а,Ь] = [О,Ьг] = [0,1]. Все это вместе взятое огначает, что Я(А) — коммутативное кольцо с еди- ницей. Если [а, Ь] ф [О, Ц, то а ф 0 в А, стало быть, [Ь,а] к Я(А) и [а, Ь][Ь,а] = [1, Ц, так что мультипликативным обратным к [а,Ь] ф ф [О, Ц служит [6, а). Тем самым показано, что Я(А) — поле. Сопоставление а ~о [а, Ц определяет инъективное отображение у: А — ~ Я(А), которое на самом деле является морфизмом ((моно- морфизмом) колец (у(а+ 6) = /(а) + 1(6), ЯаЬ) = ~(а)у(6); а ~ Ь =ь =э Да) ф у(Ь)). Для любого элемента х = [а, Ь] б Я(А) имеем [Ь, Цх = [а, Ц, так что х есть "отношение" у(а)/1(6) элементов из У(А). По этой причине Я(А) называется полем ошношенвб кольца А. Удобно отождествить каждый элемент а б А с его образом у (а) = = [а, Ц к Я(А), т.е.
заменить А на ~(А). Можно поступить несколь- ко иначе: заменить каждый нз элементов [а, Ц е Я(А) на а б А, оставив без изменения все другие элементы поля Д(А), и произвести надлежащие замены в формулах (2). Именно, следует положить а+ [Ь,с] = [ас+ Ь,с], а[Ь,с] = [а6, с]. В результате целостное кольцо А окажется с самого начала подколь- цом поля, изоморфного фА) и изображаемого обычно тем же симво- лом Я(А). После такого отождествления разумно называть элементы д 4. Поле отношений 203 [а, Ь] дробями и писать короче и в привычной форме [а,Ь] = —.
Введенные вьппе правила действий с классами [а, Ь] повторяют, как нетрудно догадаться, правила действий с дробями в поле (см. (8) в п. 4 г 3 гл. 4). Нами доказана Теорема 1. Длл каждого целостного кольца А суитгстпвуепт воле отпношгниб (или воле частпных, иоле дробей) ЩА), элементам котпорого имеютп вид а/Ь, а б А, 0 ф Ь б А. Дет1стпвия с дробями подчиняются правилам (1), (2), гдг следуетп положитпь [а, Ь] = а/Ь. Конструкция полей отношений довольно часто используется в математике. Ее естественность оправдывается хотя бы тем, что поле Я есть не что иное, как поле отношений Я(Е) кольца Ж. Легко видеть (проверьте зто), что Я(А) вя А, если А — поле.
3 а меч ан не. Можно доказать, что если целостное кольцо А есть подкольцо поля Р и каждый элемент х е Р записывается в виде отношения а/Ь элементов а Е А, 0 1~ Ь ч А, то Р ~ Я(А). Например, ж/4 = ЕЕ[.Я) 2. Поле рациональных дробей. Пусть Р— поле, Р[Х]— кольцо многочленов над Р. Поле отношений ЩР[Х]) кольца Р[Х] обозначается символом Р(Х) (смена квадратных скобок на круглые) н называется полем рациональных дробей от переменной Х с коэффициентами в Р. Следует заметить, что поле рациональных дробей Р(Х) всегда содержит бесконечное число элементов, атто характеристика совпадает с характеристикой поля Р. Поле У„(Х) доставляет пример бесконечного поля характеристики р > О. Каждая рациональная дробь поля Р(Х) записывается (притом многими способами) в виде //д (или ~~, если не стремиться к экономии бумаги), где /,д — многочлены нз кольца Р[Х], д ~ О. По определению //д = /т/дт е=» /дт = /тд.
Естественно назвать У числитпелем, а д — энаменатпелгм дроби //д. Дробь не меняется, если ее числитель и знаменатель умножаются на один и тот же ненулевой многочлен или сокращаются на любой общий множитель. В частности, целое число (положительное или отрицательное) беб/ — Йебд не зависит от представления ненулевой рациональной дроби в виде отношения (частного) //д двух многочленов.
Это число называется стпепенью дроби. Рациональная дробь от переменной Х называется несократпимоб, если ее числитель взаимно прост со знаменателем. С точностью до множителя нз Р, общего для числителя и знаменателя, любая рациональная дробь //д однозначно определяется некоторой несократимой дробью. В свмом деле, деление / и д на НОД(/, д) приводит к несократимой дроби, а равенство //д = /т/дт двух несокра- 204 Гл«5. Комплексные числа и многочлены тимых дробей, выраженное в виде /д~ = /1д, дает У = сЛ, с й Р, д = сд| (использовать следствие теоремы 4 из 3 3). Если деяЦ/д) = бей/ — деяд < О, то (несократимая) дробь //д называется правильной (нулевой многочлен причисляется к правильным дробям, поскольку мы условились считать бей 0 = -со). Теорема 2.
Каисдая раииокаеькал дробь из Р(Х) однозначно представимо в виде суммы мкогочлека и правильной дроби. Доказательство. Алгоритмделениясостатком,примененный к числителю и знаменателю дроби //д, дает равенство У = дд + «, где йея« < йейд. Теперь //д = д + «/д есть искомая запись, сравнение которой с любой другой записью того же типа //д = д + р/д (д, «, д с Р)Х), дел«< бей д) приводит к соотношению «««д — «д Я Ч= д д дд Так как д — д б Р)Х], а бей~ ) = бей(«д — «д) — йейд — деяд < О, у«д — «д~ дд ( то это возможно лишь в случае д — д = 0 и «/д = р/д.
П Замечание. Множество Ро(Х) всех правильных дробей, рассматриваемое вместе с операциями сложения и умножения в Р(Х), является кольцом без единицы 1. Действительно, пусть Яды /з/дз Е Ре(Х). Так как дея/1/з = йея/1 + йея/з < деяд~ + йеядз = деяд1дз, то Далее, /1 ~ Ь /1дг+/зд1 д1 дя д дя поскольку степени каждого из слагаемых /ьдз и /гд1 строго меньше степени знаменателя 91дз. Как мы условились перед формулировкой теоремы 2, 0 й Ро(Х). В то же время 1 й Ро(Х). П До сях пор мы все время подчеркиваяи, насколько похожи кольца Е и Р)Х].
При переходе к их полям отношений появляетсл существенное различие: правильные дроби в Я не образуют кольцо. Например, 2 3 19 — + — = —. 3 5 15 3. Простейшие дроби. Правильная рациональная дробь //д й 6 Р(Х) называется простейшей если д = р", и > 1, где р = р(Х)— неприводимый многочлен,причем йея/ < йейр. д 4. Поле отношений Основной теоремой о рациональных дробях является Теорема 3. Каждая кравилькал рациональная дробь может бытаь разложена, к крюком едккстквеккым образом, в сумму вростейшкя дробей.
Доказательство. Пусть 1/д Е Р(Х) — данная нам правильная рационапьная дробь, в которой без ограничения общности многочлен д можно считать нормализованным (если Л ~ Π— старший коэффициент многочлена д, то следует перейти от 1/д к равной ей дроби Л '1/Л 'д). Дальнейшие рассуждения распадаются на ряд этапов. Этап 1. Предположим, что д = дтдэ — пронзведение двух взаимно простых нормализованных многочленов. Тогда — = — + — > 1 Л Ь (3) йдо й дэ причем обе дроби в правой части правильные, а сама запись в виде суммы едвнственна. В самом деле, из взаимной простоты дмдо следует (теорема 3 из э 3), что 1 = батут + иэдэ для некоторых кт,иэ Е Р1Х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
