1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 37
Текст из файла (страница 37)
у, д й А[Х) =Ь д, т Н А[Х!. С) Замечание. Многочлены со старшим коэффициентом 1 часто называют нормализованными (еще нормированными, унитарными). Указанный выше процесс деления многочленв У нв д, называемый евклидовым, несколько упрощается, если д — нормализованный многочлен.
Говорят, что у дслитпсл на д, если остаток т равен нулю (см. (10)): У = дд. УПРАЖНЕНИЯ 1. Многочлены у(Х) ж Хз+ЗХ4+Хз+4Хз-ЗХ-1, я(Х) = Хэ+Х+1 можно счятать принадлежащими казьцу Х[Х] или, скажем, кольцу Хз[Х] в зависимости от того, как интерпретировать кх козффяциенты. Прямевлл алгоритм деленая с остатком, йокаэать, что в первоы случае /(Х) не делится ва В(Х), а во втором— делятся. Возможна ля реализация противоположного варианта? 2. Доказать при помощи теоремы 3, что если Р— поле, то группа всех автоморфизмов кольца Р[Х], тождественных на Р, изоморфна группе преобрв; зований Х ~л оХ + Ь, где а, Ь Е Р и а ЗЬ О, 3.
Показать, что многочлен у Е Р[Хы...,Х„) лвллетсл формоя степени т (см. доказательство теоремы 4) тогда и только тогда, когда /(ФХы..., ФХь) = ж С"'1(Хы..., Х„), где 1 — повал переменнаэ. 4. Показать, что число различных одночленов от и независимых переменных полков степевя пз равно (~+„", ). Указание. Использовать принцип двойной индукцик по и к из, опираясь иа соотношеняе (т+ (п — 1) — 1) ((т — 1) + н — 1) (щ+ н — 1) 6. Возвращаясь к определенвлм п. 1, рассмотрим совокупность А[[Х)) так называемых рормольимв шаеагиимв радое /(Х) = Я<Зов;Х' от переменной (неязвестной) Х или, если угодно, посзедовательпостей (оо, аы аэ,...
) с любым, возможно, бесконечным, числом коэффициентов о; ф О, приьадлежащвх коммутативному кольцу А. Действия с формальными степеннымн рлдамя из А[[Х]] проводлтсл по тем же правялам, что и деяствил с многочленами: (ЯщХ') + (~ Ь;Х*) = ~ (а;+Ь|)Х', ( о;Х') ( Ь!Х') ж ) сьХ, сь = ~ аьЬЗ.
с ьз=ь у й. Кольцо мкоеочленое 189 Показать, что множество А[[ХЦ, рассматриваемое вместе с эткмя опера- цялмя, является ассоцнатявным в коммутатнвным кольцом с единицей 1 = (1,0, 0,...). Так как в степенной рлд / = д аэХ' входят сколь угодно высокяе степени Х' переменной Х, то вместо степени бей 7, не ямеющей теперь смысла, естественно рассматрввать порядок м(1) — целое число, равное наяменьшему индексу и, дла которого е» Р' 0 (поаагают еще и(0) = +оо). Показать, что: 1) (1 -О) > ~п( (э') м(ОН' 11)»(эр) > (7)+ (О). Есля А — целостное кольцо, то м(/0) = м(у) + и(0).
В частности, вместе с А цыюствым лвзлвгсл к кольцо А[[Х]). Показать также, что А[Х] — подкольцо в А[[ХД. 6.Многочлены я степенные рады часто яспользуютсл в качестве ярояэеодл- щев руккннб различных чясловьпс величая. Смысл оперирования с няня поясним на двух простых примерах. а) Установить соотношение ~(;) (,,) =(т) похода яэ бяномяальной формулы Я [ "э) Х' = (1+ Х)» в 2[Х] я очевидного разложения (1 й Х)м(1+ Х)» = (1+ Х)"»Ь».
б) Найтя число 1» всевозможных расстановок скобок в прокэведеняя длины п элементов множества с одной бинарной операцяей. С зтоя целью удобно авеста провзводлщую функцшо — формальный степенной рлд 1(Х)=) 1»Х»=Х+Хэ+гх +..., »>1 начальные коэффяцвенты которого быая вычислены еще в п. 3 $1 гл. 4. Из очевидного рекуррентного соотношения -1 1» — д, 1л1»-ь ь 1 вытекает, что 1(Х)э = 1(Х) — Х. Решал зто квадратное уравненяе, находим 1 — »'Г- 4Х 2 (знак перед радикалом определяется условвем 1» > 0). Но еслв степенной рлд /(Х) таков, что /" = 1+ ЛХ, г Е Н, то $~й( -)1'"„' (ркэложенве в ряд Тейлора, которое можно пршить пока на веру). В нашем слу- чае т = 2, Л ж -4, я простая подстановка лайт окончательное выражение 1(2 -г) (заметкм, что 1» = С» с — классическое число Каталана).
Предлагаетсл провести все промюкуточные выкладки. 190 Гл. Ю. Кома ыксныв числа и многочлены 3 3. Разложение в кольце многочленов 1. Элементарные свойства делимости. В разных местах, начиная с гл. 1, мы затрагиввли вопросы делимости в кольце Е целых чисел, но так называемая основная теорема арифметики у нас оставалась пока недоказанной. Теперь настала пора не только заполнкть этот пробел, но и распространить соответствующие утверждения на более широкий класс колец. В первую очередь нас интересует кольцо многочленов Р[Х] над полем Р.
Начнем с произвольного целостного колъца К. Обратимые элементы в К были названы нами делителлми единицы. Часто их именуют еще регулярными элементами. Совершенно очевидно, что много- член у Е А[Х] обратим (регулярен) в точности тогда, когда беб у' = 0 и У = ув — обратимый элемент кольца А, поскольку 7д = 1 =ь =ь бек у + бенд = де31 = О. Говорят, что элемент 6 е К дглиптсл на а е К (или Ь кратпгн а), если существует такой элемент е б К, что Ь = ас (это обозначается а]Ь).
Если а]Ь и Ь]а, то а и Ь называются аееоииирвванными элементами. Тогда 6 = иа, где и]1. В силу сделанного въппе замечания ассоциированность многочленов у, д е А[Х] означает, что они отличаются лишь обратимым множителем из А. Элемент р е К называется простым (или неразложимым), если р необратим и его нельзя представить в виде р = аЬ, где а, 6 — необратимые элементы. В поле Р каждый ненулевой элемент обратим и в Р нет простых элементов. Простой элемент кольца А[Х] называется чаще нгприводимым мнвгвчленом.
Отметим следующие основные свойства отношения делимости в целостном кольце К. 1) Если а]6, Ь]е, тпв а]с. Действительно, мы имеем Ь = аЬ', е = Ье', где Ь', е' с К. Поэтому с = (аЬ')е' = а(Ь'с'). 2) Если е]а и с]Ь, тпв с](а х Ь). В самом деле, по условию а = еа', Ь = сЬ' для некоторых а', Ь' ч К, и ввиду дистрибутивности а к Ь = = с(а' х Ь'). 3) Если а]Ь, тпо а]Ье. Ясно, что Ь = аЬ' =ь Ьс = (аЬ')е = а(Ь'е). Комбинируя 2) и 3), получаем 4) Если каждыб из э твментпов Ьд, Ьг,..., Ь й К дглитпег на а с е К, тпв на а бддетп дглитпьсл тпакжг элемент Ьтет+Ьгсг+...+6 е гдг ст, сг,..., стч — првизввльныг элементам. Определение. Говорят, что целостное кольцо К вЂ” кольна е однозначным разложением на простые мнвжитпели (или К вЂ” дтактпориавьног кольио), если любой элемент а ф 0 из К можно представить в виде а = иртрг р где и — обратимый элемент, а рт, рэ,..., р„— простые элементы (не 6 3. Разложение в кольце многочленов 191 обязательно попарно различные), причем нз существования другого такого разложения а = сотов...
о, следует, что т = в и при надлежащей нумерации элементов р; и от будет й = итрт> ° ~% = и«рт где иы..., и„— обратимые элементы. Допуская в равенстве (1) значение т = О, мы принимаем соглашение, что обратимые элементы в К тоже имеют разложение на простые множители. Ясно, что если р — простой, а и — обратимый элемент, то ассоциированный с р элемент ир тоже простой. В кольце Е с обратимыми элементами 1 н -1 отношение порядка (а < 6) дает возможность выделить положитпельное простое число р из двух возможных простых элементов ~р. В кольце Р(Х) удобно рассматривать нормализованные (см.
замечание в конце з 2) неприводимые много- члены. Справедлива следующая общая Теорема 1. Пусть К вЂ” произвольное целостпное кольцо с разложением на простые множитпели. Однозначностпь разложения в К (фактпориальностпь К) имеет месим тпогда и только тогда, когда любой простпой эяемент р й К, делящий произведение аЬ й К, делитп по крайней мере один из множитпелей а,Ь. Доказательство. Пусть К факториально, и пусть аЬ = рс.
Если а=Ца;, Ь=ЦЬ,, с=Цс, — разложения а, 6, с на простые множители, то из равенства П а; х х П Ь; = р Псе следует, что элемент р ассоциирован с одним нз ат нли 6, т.е. р делит а или 6. Обратно: установим однозначность разложения в К, где р~аЬ ~ =ь р~а или р)6. Рассуждая по индукции, допустим, что разложение всех элементов из К с числом < и простых множителей единственно (конечно, с точностью до порядка множителей и их ассоциирован- ности). Докажем теперь это для любого элемента а ~ О, который может быть разложен на и + 1 простых множителей.
Именно, пусть (2) т«а — два разложения элемента а с т ) и. Условие теоремы, примененное к р = р„зт, дает нам, что р„+т должен делить один из элементов г,,..., т +,. Без ограничения общности (ибо это вопрос нумерации) считаем что р«ьт ~тд~+т Но т1«+т простой элемент поэтому т«т+т = ир„+т, где и — обратимый элемент. Опираясь на закон сокращения в К (теорема 1 из э 3 гл. 4), получаем нз (2) равенство П," т рт = 192 Гл, б. Комплексные число и мкогочлеиы = и П ., г,. В левой его части стоит произведение и простых множителей.
По предположению индукции нз = и, и оба разложения отличаются лишь порядком простых элементов, снабженных, возможно, какнми-то обратимыми множителями. П В произвольном целостном кольце К элемент а уй 0 вообще не обязан допускать разложение типа (1). Что более интересно, имеются целостные кольца, в которых разложение на простые множители хотя и вазможно, но не янляется однозначным, т.е. условие теоремы 1, кажущееся тривиальным, не всегда выполняется. Пример 1. Рассмотрим мнимое квадратичное поле Щ~/-5) (см. пример в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
