1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Умножив обе части этого соотношения на 1, получим 1 = 1итдт + 1иэдэ. Если теперь 1кэ = одт + 1м Йея Л < Йеб дт (деление 1иэ на дт с остатком), то 1 = Лдэ + 1эдм где 1э = 1кт + ддэ. Разделив обе части этого соотношения на дтдэ, т.е. рассмотрев дроби со знаменателем дтдэ, мы придем к искомому разложению (3), поскольку по построению Л/дт б Ро(Х) (множество правильных дробей) и в соответствии с замечанием в конце п. 2 Ь/дэ = 1/д — Л/дт Е Ро(Х). Пусть теперь наряду с (3) имеется еще разложение 1/д = /т/дт + + 1э/дэ в сумму правильных дробей. Тогда из равенства Л/дт + + 1э/дэ = 1(/дт + 1э/дэ будем иметь (Л - 1т) дэ = (1э - Ь) й.
Из делимости (Л вЂ” 1,')дэ на дт и из взаимной простоты дт, дэ следует, что разность 1т-1( должна делиться надь Но дед(1т-1() < бебд, и, стало быть, 1т — 1т = О. Единственность разложения (3) установлена. Э т а п 2. Пусть в правильной рациональной дроби 1/д для (нормализованного) знаменателя д имеется каноническое разложение (4) в произведение степеней попарно различных нормализованных не- приводимых над Р многочленов рт(Х),рэ(Х),...,р (Х). Тогда существует однозначно определеное разложение -'=~л;- мт 206 Гм о. Комиееисиые число и миогочееиы в сумму правильных дробей /е/р,"' (эти дроби называются еще примариыми).
Наше утверждение легко получается индукцией по т, базу для которой дает этап 1: Так как Л и /о определены однозначно, то по предположению индукции это верно и относительно /г>..., /д,. Этап 3. Всякая правильная примарная дробь а/р" представляется, и притом единственным образом, в виде суммы простеюпих дробей. Действительно, так как по условию с1еяа < пдебр, то евклидов алгоритм деления с остатком приведет нас к системе равенств а = дер" ' + ты бея т1 < (и — 1) с)екр, т, = дэрР г+ тг, беятг < (и — 2) бебр, те э =д„,Р+т„ы сект„1 <дебР, то-1 = до~ где беб д» < бебр для всех однозначно определенных частных ды...
..., д„. Мы видим, что а = д1Р + дар + + до-1Р+ ди, откуда а д1 дг д -1 ди — = — + — +... + — + —. ри р рг ''' ро-1 Так как бенд, < с)ебр, то дроби д;/р' являются простейшими. По построению они однозначно определены (аналог разложения целого числа в 2-адическую нли в десятичную дробь). Этап 4. Рассуждения этапов 1-3, соединенные вместе, дают все, что нужно. Из доказательства теоремы 3 видно, что если //д — правильная рациональная дробь, то знаменателями соответствующих простейших дробей при заданном каноническом разложении (4) для д будут Тема простейших дробей, не очень актуальная для алгебры (хотя и дающая новые примеры колец), находит важные приложения в анализе.
Это обусловлено специальным видом неприводимых многочленов над полями С и И, о чем более подробно будет говориться в гл. 6. у 4. Поле отношений 207 УПРАЖНЕНИЯ 1. Построить поле отношений К((Х)) кольца К[[Х)] формальных степенных рядов от Х с коэффициентами в поле К. Опираясь на упр.
б из Э 3, показать, что каждый элемент полн К((Х)) имеет внд так называемого мероморрного степенного ряда р(Х)юа Х- + +Х +'+... ... + а-!Х + ао + азХ + аэХ +..., а! Е К, в котором допускаетгл конечное число отрицательных показателей. Другими словами, р(Х) ю Х м/(Х), где /(Х) — обычный степенной ряд из К[[Х)]. 3. Пусть бесконечная последовательность вещественных чясел ао,аз,аэ,... периодична, начиная с некоторого члена. Показать, что степенной ряд /(Х) = = аз+ а!Х + аэХэ +... записывается в виде рациональное дроби иэ К(Х). 3. Показать, что множество простеишях дробей вида //р", а ) 1 (и нх линейных комбинаций), является подкольцом кольца Ро(Х) (см. замечание в конце о.
3). 4. Показать, что в соответствии с упр. 3 простейшие дроби над Р = Ез а!Х+Ь! аэХ+Ьэ Хэ+! + (Хэ+Цэ образуют кольцо К с бесконечно убывающей цепью К ю К! Э Кэ Э ... З Кн Э ° подколец Кя, натянутых на дробя (аХ + Ь)/(Хэ + 1)", п ) д!. Глава 6 КОРНИ МНОГО'ЧЛЕНОВ Займемся тем, ради чего в прошлом изучали алгебру, — корнями многочленов. Эта область перестала быть доминирующей в алгебре, но ее важность никем не оспаривается. Дело в том, что многие задачи математики в конечном счете сводятся к вычислению отдельных корней конкретных многочленов или к качественному описанию их совокупности.
Нам удастся затронуть лишь простейшие свойства корней, но вх во всяком случае будет достаточно, чтобы в полной мере оценить особое место, занимаемое полем С комплексных чисел. 2 1. Общие свойства корней 1. Корни и линейные множители. Пусть коммутативное кольцо А с единицей содержится в целостном кольце К. Определение.
Элемент с 6 К называется корнем (или нулем) многочлсна У е А[Х], если у(с) = О. Говорят также, что с — корень уравнения у(х) = О. Необходимость рассмотрения колец, содержащих А собственным образом, станет понятной, если вспомнить, что многочлен у(Х) = = Хг + 1 над й не имеет нулей в К, но Я) = О, 1 е С = й[ь]. Сначала мы рассмотрим, однако, случай К = А. Теорема 1 (теорема Безу). Элемент с е А лвллгтсв корнем многочлгна у е А[Х] тогда и только тогда, когда Х вЂ” с делит у в кольце А[Х]. Доказательство. Этатеорема — частьболееобщегоутверждения, которое мы могли бы доказать давно. А именно, алгоритм деления с остатком (теорема 5 из з 2 гл. 5) гласит, что у(Х) = (Х вЂ” с)д(Х) + г(Х), где дебг(Х) < дед(Х вЂ” с) = 1. Значит, г(Х) — константа.
Подстановка с вместо Х (т.е. применение отображения П, из теоремы 2 з 2 гл. 5) дает у(с) = г, так что всегда У(Х) = (Х вЂ” с)д(Х) + у(с). (1) В частности, у(с) = О л=» у(Х) = (Х вЂ” с)о(Х). П Деление многочлена у(Х) с коэффициентами в целостном кольце А на линейный многочлен Х вЂ” с удобно осуществлять по так называемой схеме Горнера, более простой, чем общий алгоритм деления с остатком.
Именно, пусть 1(Х) = аоХ" + а1Х" ' +... + а„, а, е А. Согласно формуле (1) о(Х) = ЬоХ" '+ Ь1Х" ~+... + Ь„ь, Ьз е А. у 1. Общие свойстве корней 209 Подставляя теперь в (1) зти выражения для у(Х) и д(Х) и сравнивая козффициенты при одинаковых степенях Х (начиная со старпшх), мы после небольшого преобразования получим Ьв = ао Ь» = Ь» 1с+ а» Ь„-» =Ь„»с+а„1 у(с =Ь„1с+а„, (2) так что заодно вычисляется значение у при Х = с.
Рекуррентные формулы (2), в которых и заключается схема Горнера, удобны при счете. Ввиду теоремы 1 естественно ввести следующее более общее Определение. Элемент с й А называется й-кратным корнем (или й-кратным нулем) многочлена 1 й А[Х], если У делится на (Х вЂ” с)», но не делится на (Х вЂ” с)»+1. Корень кратности 1 называется простым корнем (соответственно при й = 2 и й = 3 говорят о двойном и тройном корне). Итак, с ~ А — корень кратности й многочлена у е А[Х] тогда и только тогда, когда у(Х) = (Х вЂ” с)»д(Х), где НОД(Х вЂ” с, д(Х)) = 1. Последнее условие в силу формулы 1 выражается также неравенством д(с) в» О.
Далее, ввиду теоремы 1 3 2 гл. 5 замечаем, что дебУ = й + йебд, откуда й < деба. Имеет место важнал Теорема 2. Пусть А — целостное кольцо, у' ~ 0 — многочлен из А[Х] и сы...,с, — его корни в А кратностеб соответственно й1~ ~ йс Тогда у(Х) = (Х вЂ” с) ' ... (Х вЂ” с") "д(Х), д(Х) ЕА[Х], д(с,) ~О, 1=1,...,т. В частности, число корней многочлена у' б А[Х], рассматриваемых вместе с их кратностями, не превосходит степени многочлена й1 + йз +...
+ й„< Йеб У. (3) Доказательство. Достаточно перейти к полю отношений Я(А) (если кольцо А не было полем с самого начала) и воспользоваться однозначностью разложения на простые множители (в данном случае на Х вЂ” сы..., Х вЂ” с ) в кольце Я(А) [Х] (результаты 3 3 и 3 4 гл. 5). Однако необходимости в столь мощном оружии сейчас нет. Будем рассуждать прямо. Так как дебу = (й» + ... + й,) + дебд, то неравенство (3)— следствие делимости у на (Х вЂ” с1)»' ...
(Х вЂ” с,)»", которую мы установим индукцией по г. При т = 1 доказывать нечего. Пусть мы уже знаем, что У(Х) = (Х вЂ” с1)»'... (Х вЂ” с„»)»"-'й(Х). 210 Гл. б. Корни многочленов Так как у нас с„— с1 ~ О,..., с, -с„1 у6 0 и А — целостное кольцо, то элемент с„не является корнем многочлена (Х-с1)»' ... (Х вЂ” с„1)» -'. Но с„— й„-кратный корень многочлена у, т.е. у(Х) = (Х вЂ” с,)» х х и(Х). Поэтому Ь(с„) = О. Соответственно Ь(Х) = (Х вЂ” ср)ле(Х), в < й,.
Имеем (Х вЂ” с„)»" и(Х) = 1(Х) = (Х вЂ” с1)»'... (Х вЂ” с, 1)»"-'(Х вЂ” с,)яи(Х). Используя закон сокращения в целостном кольце А[Х], приходим к заключению, что в = й„. 1.) Без предположения о целостности кольца А теорема 2 перестает быть верной, как показывает пример многочлена у(Х) = Хз над кольцом Ез . у'(О) = у(2) = т'(4) = у(б) = О. Разложение у на простые множители в Ев(Х) также неоднозначно: у = Хз = Х(Х вЂ” 4)з = = (Х вЂ” 2) (Хз + 2Х + 4) = (Х вЂ” 6) (Хз — 2Х + 4). Из теоремы 2 вытекает Следствие. Два многочлена у,д е А[Х] стпвпени ( и, принимоюи»ие одинаковые значения ири подстпановке и+ 1 розничных элементное иэ целостного кольца А, ровны: у' = д. Доказательство. Положим )т = у — д, так что с[ебЬ < и.
По условию )ь(с1) = ... = Ь(с„+1) = 0 для попарно различных элементов с1,...,сп.»1 б А, т.е. многочлен Ь степени < и имеет не менее и + 1 корней. Полученное противоречие с неравенством (3) можно устранить, лишь признав, что Ь = О. 1л 2. Полнномиаиьные функции. Следствие теоремы 2 позволяет решить затрагиваемый ранее (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
