1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 38
Текст из файла (страница 38)
5 из 1 1), в в нем целостное кольцо К = (а + Ьч-5( е,Ь б Е). Норма Ф(а+ Ьчг-5) ж аз + 5ЬЗ кюкдого отличного от нУлл элемента а б К вЂ” целое пожвкитеяьное число. Если а обратим в К, то (Ф(а)) 1 = Ф(а 1) б Е, откуда Ф(а) = 1, Это возможно лишь прн Ь = О,о = х1. Таким образом, в К, как и в Е, обратимымк элементами являются только х1.
Если а = еа1аз...а„ее О, С = ж1, тО Ф(а) = Ф(а~)...Ф(а ). ТаК КаК 1 < Ф(СЧ) Е М, тО Прн ЗаданнОМ а число множителей г не может неограниченно расти. Стало быть, разлшкенне на простые множители в К возможно. Вместе с тем число 9 (дв н не только оно) допускает два существенно различных разложения нв простые множителк: 9 = 3 3 = (2 + ч'-5)(2 — ч'-5). Неассоциировавность элементов 3 н 2 х й-5 очевидна.
Далее, Ф(3) = Ф(2 ж х й-5) = 9. Поэтому из разложения а = а~аз длв а = 3 или 2 ш й-5 с необратимыми ам аз следовало бы 9 ж У(а) = У(а1)И(аз), т.е. И(си) = 3, з = 1,2, что невозможно, поскольку уравнение хз+5уз = 3 с х,у й 2 неразрешимо. Этим доказана простота элементов 3 н 2 х ~/-5. Рассмотренный пример содержит в эародьппе бозыпой круг вопросов, частично остающихся пока нерешенными, о квадратичных полях Щ~lф. Их изучение входит в крут вопросов алгебраическое шеории чисел.
Прежде чем устанавливать при помощи теоремы 1 факториальность тех нлн иных колец, мы введем важные вспомогательные понятия, представляющие независимый интерес. 2. НОД и НОК в кольцах. Пусть К вЂ” целостное кольцо. Под иаибояьзаим обиьим делинзеяам двух элементов а, Ь б К мы будем понимать элемент а б К, обозначаемый НОД(а, Ь) и обладающий двумя свойствами: 1) с()а, а)Ь; й) с)а, с)Ь =Ь с(а. Ясно, что вместе с а свойствами 1), й) обладает любой ассоциированный с ним элемент.
Обратно: если с и с( — два наиболыпнх делителя элементов а н Ь, то будем иметь с)с(, И)с, так что с и а' ассоциированы. Обозначение НОД(а, Ь) относится к любому из них, т.е. в этой запнси ассоциированные элементы не различаются. С учетом такого соглашения к определяющим свойствам 1), й) наибольшего общего делителя добавятся следующие: ш) НОД(а, Ь) = а с=у а(Ь; у 8. Рвэлоэеение в кольце многонленов 193 !г) НОД(а,О) = а; г) НОД(га,гЬ) = !ВОД(а, Ь); г!) НОД(НОД(а,Ь),с) = КОД(а,НОД(Ь,с)). Проверка их не вызывает никаких трудностей и оставляетсл чи- тателю. Свойство ц!) позволяет также распространить понятие НОД на произвольное конечное число элементов. По аналогии с НОД(а, 6) вводится дуальное понятие наименьше- го общего крашного ш = НОК(а, Ь) элементов а, Ь е К, также опре- деленного с точностью до ассоциированности двумя свойствами: !') а!пь, 6)пь; й') а)с, Ь|с =ь ш!с.
В частности, полагая с = аЬ, получаем пь)аЬ. Теорема 2. Пусть длл элеменпьов а,Ь целосшного кольца К сущесэлвуюпь НОД(а,6) и НОК(а, 6). Тогда: а) НОК(а,Ь) = О е=ь а = О или Ь= О. б) а, Ь ф О, ш = НОК(а, 6), аЬ = дпь =ь д = НОД(а, 6). Доказательство. Утверждение а) вытекает непосредствен- но из определения НОК(а, 6). Для доказательства б) нам нужно убе- диться, что элемент д, определенный равенством аЬ = е!пь, обладает свойствами !), й). В самом деле, !') =ь пь = а'а, ш = Ь'6. Зна- чит, аЬ = е!пь = да'а, откуда после сокращения на а, допустимо- го в любом целостном кольце, имеем Ь = е(а', т.е.
И~Ь. Аналогично, аЬ = е(пь = ИЬ'6 =ь а = дЬ', т.е. а!а. Мы пршпли к !). Далее, пусть а = уа", 6 = 16н. Положим с = уав6". Тогда с = = а6н = Ьао — общее кратное а и 6. Согласно свойству И') с = с'пь для некоторого с' Е К, откуда ус'пь = ус = угавЬн = а6 = йн, т.е. 4 = ус' и Дб. Мы пришли к й). С! Определение. Элементы а,Ьцелостногокольца,в котором су- ществует НОД, называются взаимно нросшмми, если НОД(а, 6) = 1. Нз свойств !), И), й), и') или из теоремы 2 нельзя извлечь ни способа вычисления, ни доказательства существования НОД(а, Ь) и НОК(а, 6). Теоремой 2, б) устанавливается лишь соотношение между ними.
Предположим теперь на время, что К вЂ” факториальное кольцо. Обозначим через Р множество простых элементов в К такое, что всякий простой элемент из К ассоциирован с одним и только одним элементом нз Р. Рассматривая разложения двух элементов а, Ь с К, удобно считать, что в них входят одинаковые элементы из Р, но некоторые, возможно, с нулевыми показателями, т.е. ь1 ь, ь ц 3 а=ир, ...р„", 6=ир1 ...р,, (3) и)1, и)1; Йе>0, (е>О; рбр; 1<в<с.
При помощи теоремы 1 получается легко запоминающийся 194 Гл. 5. Комклвкснме числа и многочлентл Признак делимости. Пуствь а,6 — элененктьт фактвориального кольча К, записанные в виде (3). Справедливы ушвержденил: 1) а~Ь тогда и тлолько твогда, когда й; ( 1О т = 1, 2,..., т; 2) НОД(а, 6) = р*,' ...р,'", где в; = ппп (йо Ц, т = 1, 2,..., г; 3) НОК(а,6) = р",...р,'г, где Ст = тпгх(йчЦ, т = 1,2,...,т.
Таким образом, в качестве вт нужно брать наименьший из двух показателей й;, 1о а в качестве $т — наибольший. В частности, элементы а,Ь е К взаимно просты в точности тогда, когда простые множители, входящие в разложение одного элемента, не входят в разложение другого. Недостаток этого признака делимости заключается, конечно, в том, что на практике бывает весьма трудно получить разложение вида (3). Даже в случае К = Е (этим не предвосхюцается факториаяьность Е) приходится довольствоваться незначительными вариациями метода прямого перебора простых чисел, меньших данного числа и.
Тем более приятно, что в факторигльных кольцах, о которых пойдет речь виже, имеется эффективный способ вычисления НОД(а,Ь) и НОК(а,Ь). 3. Факториальность евклидовых колец. Алгоритм деления с остатком в Е и Р(Х1 (см. п. 3 3 9 гл. 1 и п. 3 3 2) делает естественным рассмотрение целостного кольца К, в котором каждому элементу а ~ 0 поставлено в соответствие неотрицательное целое число 6(а), т.е. определено отображение б: К ~ (0) = К -т 1Ч0(0) так, что при этом выполняются условия: Е1) 6(аЬ) > 6(а) длл всех а, 6 16 0 из К; Е2) каковы бы ни были а, 6 Е К, 6 ф О, нат1дутпсл д, г к К ту— "частное", г — "остаточек"), длл которых а=дЬ+т; 6(г) (б(Ь) или т=О. (4) Целостное кольцо К с этими свойствами называется евклидовым колькам. Полагая 6(а) = (а~ для а е Е и 6(а) = т(еяа для а = а(Х) Е Р(Х~, мы приходим к выводу, что Е и Р(Хт — евклидовы кольца.
В евклидовых кольцах существует способ нахождения НОД(а, 6), называемый алгоритмом последоватлельного деленил или алгоришмом Евклида и заключающийся в следующем. Пусть даны ненулевые элементы а, 6 евклидова кольца К. Применяя достаточно большое (но конечное) число ргз предписание Е2), мы получим систему равенств у Ю. Разложение е кольке мноеочленов 195 типа (4) с последним нулевым остатком: а = о1 Ь+ гы 6(т») < б(Ь), Ь = дгт» + тг, 6(гг) < 6(т»), т1 — — узтг + тз, 6(тз) < 6(тг), (5) т» г = д»т» » + т», 6(г») < 6(г» »), т» » = 4»+»т», т»+» = О.
Это действительно так, поскольку строго убывающая цепочка неотрицательных целых чисел б(6) > 6(т») > б(гг) > ... должна оборваться, а обрыв может произойти только за счет обращения в нуль одного из остатков. Утверждается, что последний отличный от нуля остаток т» является как рзз наибольшим общим делителем элементов а и Ь в смысле определения, данного в п. 2. В самом деле, по условию г»~г»». Двигаясь в системе (5) снизу вверх и используя свойство 4) отношения делимости, сформулированное в п. 1, получим цепочку т»~т» „ т» 1т»-г з ° ° ) т»!тг > т»!т» н1 наконецю т» )Ь, т» )а.
Стало быть, т» — общий делитель элементов а и 6. Обратно: пусть с — любой другой делитель тех же элементов; тогда с~ты и, двигаясь теперь в системе (5) сверху вниз, мы получим цепочку отношений делимости д,тг, с(тз, ..., с~т». Последнее иэ них окончательно убеждает нас в том, что НОД(а, 6) существует, причем имеет место равенство т» = НОД(а,Ь). (б) Обратим, далее, внимание на то обстоятельство, что каждый остаток то в системе (5) выражается в виде линейной комбинации с коэффициентами в К двух предыдущих остатков г; » и т; г.
При этом т» выРажаетсл чеРез а и Ь: т» = а — 9»6, а гг, выРажаЯсь чеРез Ь и ты тем самым является опять линейной комбинацией а и 6. Последовательная подстановка в т; выражений те» и г; г через а и 6 даст нам при 1 = к выражение т» = аи+6е (7) с какими-то элементами и, е б К. Сопоставляя (б) и (7) и принимая во внимание теорему 2, б), получаем следующее утверждение. 'Теорема 3. В евклидовом кольке К любые два элемента а,6 имеют наибольший обшиб де штель и наименьшее обшее кратвное. При комати алгоритма Евклида можно найти такие и, е б К, что будет вьтолнено соотношение НОД(а,Ь) = аи+ Ьи. 19б Гл.
Б. Комплвксныв число и многочлвны В частпностпи, злемвнпты а,6 Е К взаимно простпы тпогда и тполько тпогда, когда сущвстпвуютп злсменнты и, и й К, длл которых аи+ Ьо = 1. Следствие. Пустпь а,Ь,с — злсмвнтпы евклидова кольца 1т. 1) Если НОД(а, 6) = 1 и НОД(а, с) = 1, тпо НОД(а, Ьс) = 1. й) Если а~бе и НОД(а, Ь) = 1, пю а)с.
ш) Если Ь|а, с~а и НОД(Ь, с) = 1, ттю Ьс)а. Доказательство.!) СогласнотеоремеЗимеемравенствааит+ + Ьит = 1, аиз+ сттз = 1. Перемножая соответственно их левые и правые части, находим а(аитиз + Ьизит +ситиз) + Ьс(итие) = 1, что и дает нужное утверждение. й) Имеем пи+ Ьи = 1, откуда ас и+ (Ьс)и = с. Но Ьс = аю, поэтому с = а(си+ ив), т.е. а~с. ш) Согласно свойству и') НОК 6)а, с~а ~ НОК(Ь,с))а =ь Ьс~а, поскольку Ьс = НОД(Ь, с)НОК(Ь, с) и НОД(Ь, с) = 1 по условию. П Читатель легко распространит утверждение теоремы 3 на случай произвольного конечного числа элементов евклидова кольца. Непосредственным шагом к установлению факториальности евклидова кольца служит Лемма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
