1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Сумма и произведение комвлексно сопряженных чисел явлгютвся веществвенными числами. Доказательство. Утверждение х = х, х е )й, очевидно из определения комплексно сопряженного числа. В частности, О = О и 1 = 1. Столь же очевидно утверждение о порядке: (У) = ». Нам остается проверить соотношения (8) »т +»г = »т + уг, »т»г = »туг, но они прямо следуют из формул (б), которые нужно только перепи- сать в виде (хт+ тут)+ (хг+ туг) = (хт+хг)+т(ут + уг), (9) (хт + тут) (хг+ туг) = (хтхг — утуг) + т(хтуг+ хгут). Частным случаем формул (9) является утверждение о сумме и произведении числа» = х + ту и комплексно сопряженного с ним числа у: »+» = 2х, »» = хг+у».
П Замечание. Автоморфизм» ~т» выделяется среди многих других автоморфизмов поля С тем, что он — единственный непрерывный автоморфизм (переводящий близкие точки плоскости С в близкие). Мы не уточняем и не доказываем это утверждение. Модулем комплексного числа» = х+гу называется неотрицательное вещественное число ф = ~/»у = ~/хг + уг.
Положение точки» на плоскости, как известно, вполне определяется заданием ее полярных координат: расстояния г = (») от начала координат до» и угла у между положительным направлением оси абсцисс и направлением из начала координат на» (см. рис. 18). Угол у называется аргументном числа» и обозначаетсг а»8» = тр. По определению аг8» может принимать любые положительные и отрицательные значения, но при заданном т углы, отличающиеся на целое кратное 2я, соответствуют одному и тому же числу.
Аргумент не определен для числа О с модулем )О) = О. Отношения "больше" или "меньше" бессмысленны в применении к комплексным числам, т.е. их нельзя соединять знаком неравенства: в отличие от вещественных чисел, аргумент которых принимает лишь два главных значения — О (положительные числа) и г (отрицательные числа), — комплексные числа не упорядочены.
У 1. Поле комплексных чисел 171 Более точно, на С не существует отношения > со свойствами: 1) если»ЕС,то»>0,»=Оияи — »>О; И) из и > О, и > 0 следует, что и + и > 0 и ии > О. Действительно, в противном случае из» ~ 0 следовало бы (как и в К)»з > О. В частности, 1 > О, 19 > 0 и согласно й) 0 = 1 + 1 > 0— противоречие. Полярные координаты т и ~р определяют х и у по известным формулам х = тсовю, у = теш1о, » = т(сов~р+гешер). (10) Это — так называемая тлриаонометрическая форма числа».
Операция сложения комплексных чисел», »' просто выражается в декартовых координатах, а 19 я+»' именно по правилу параллелограмма, или, что равносильно, по правилу сложения направлен- д ных отрезков (векторов), вы- л ходюцих вз начала координат и соответствующих числам», »' 0 (рис.
19). Из рис. 19, сравнивая стороны треугольника с вершинами в точках О,» и» +»' (и отождествляя модули комплекс- Рис. 19 ных чисел с соответствующими геометрическими длинами), получаем важное неравенство 1»+ '1 <!4+И. (11) Заметим, что неравенство (11), которое можно было бы записать в более общей форме )»! — )»') ( )» ~ »'! ~ ()»)+ )»'), совершенно аналогично соответствующему неравенству для вещественных чисел. Операция умножения комплексных чисел удобно выражается в полярных координатах. Теорема 2. Модуль произведения комплексных чисел»,»' равен произведению модулеб, а аргументп — сумме аргументное множишелеб: (»»') = )»! )»'), агя»»~ = агя»+ згя»'.
(12) Аналогично, 1~= » ~ )») » — — — агя — = егя» — агя»'. »~ ~ ы~' »/ 172 Гл. с. Комиленснме числа и мноеочленм Доказательство. Действительно, пусть тригонометрической формой (10) для х н х' будет х = г(сохф+ гешер), х' = г'(сову'+гз1п~р'). Непосредственным умножением или же по формуле (9) получаем хх' м гг'[(соя сгсоз~р' — з(псг ешь ) +1(сов фе1пф + е1п ~осое~Р )], а это соотношение при помощи нзвестных формул приводит к тригонометрической форме числа хх'.
хх' = [х] [х'[. [соз(се+ сг')+(зш(а+ се')]. Если, далее, х" = х/х', то х = х'х". Поэтому, используя доказанные формулы (12) для произведения х'х", мы получим из них формулы для дроби х/х'. С1 В частности, х = [х] [сов( — ф) + 1 Зш( — ф)]. Чтобы получить х 1 на комплексной плоскости (рис. 20), надо, следовательно, применить к х инверсию относительно окружности единичного радиуса с центром в 0 (это даст точку х'), а затем — отражение относительно вещественной оси (нли автоморфнзм х' ~+ х').
Фактически утверждения о модуле произведения и модуле суммы легко вытекают без обращения к геометрической интуиции из теоремы 1. В самом деле, во-первых, [хх [ = хх,Ы = хх хх = ххх'х = [х[ [х'], откуда [хх'[ = ]х[ ]х']. Далее, заметив, что ]х[ = ~/хг + д~ > ~/хг г= [х[, мы получаем [1 + х[ = (1 + х)(1 + х) = 1 + (х + х) + хх ее 1+2.+[ [г <1+2] ]+] ]г (1+] [)г откуда [1 + х[ < 1+ [х[. Если теперь х ~ 0 и х' ф О, то ]х+х'] = [я(1+я х')[= [х[ [1+х х] < < ]х[ (1+]х ~х']) = [х](1+]х] [х']) = ]х]+ ]х'].
Из полученных результатов мы можем извлечь некий общий принцип: обычная форма (7) комплексных чисел приспособлена к выражению их аддитнвных свойств, а тригонометрическая форма (10) — к у 1. Поле $$олплексных чисел 173 выражению мультипликативных свойств. Нарушение этого принципа приводит к чрезвычайно сложным формулам, затуманивеющнм суть дела. 4. Возведение в степень и извлечение корня.
Из формулы (12) для умножения комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, вытекает формула Муавра [г(СОВ ф+ $8Ш~Р)] = Г (СО8П$$+ $81ПЯ$$), (13) справедливая для всех и Е Е (в иной записи [х" ] = ]х]", агйх" = = п агй х). Частный случай формулы (13) при г = 1, бнномиальная формула (1) из 3 7 гл.
1 и соотношения $$ — 1 $8 — $ $4 — 1 $4$+$ж$$ дают возможность получить выражения для синусов и косинусов кратного угла: сох л$$ = ~~ ( — 1) со8 ф ' 8ш $$, ~2й/ $>е и ~2й+ 1) (14) Справедливости ради стоит заметить, что частным случаем формул (14) при п = 2 мы воспользовались ранее — в ходе доказатвпства теоремы 2.
Замечание. Пусть е = 1пп„+ (1+а/а)". В аналвзе, путем разложения функции комплексной переменной в степенные ряды, доказывается 4ор4$ула Эйлера е$" = со8$$+$8ш$$, из которой вытекают все полученные нами результаты. Стоит только заметить, что 8$еевР' СЦР+еЗ (ее~в $ии ! Тригонометрическая форма комплексного числа х сводится к записи х = ]х] е"'. Далее, мы хотела бы научиться извлекать корни произвольной степени из комплексных чисел, и основной вопрос, который здесь возникает: всегда ли это можно делать? Оказывается, что всегда, и формула Муавра дает по существу полное решение этого вопроса.
Пусть нам дано комплексное число х = г(сох $$ + хш $$), а мы хотим найти число х' = т'(ссыр' + $8шу') такое, что (х')" = х. Выражая (х')" по формуле Муавра, а затем сравнивая в обеих частях равенства (х')" = х модули н аргументы, мы находим (г')" = т и п$$' = $е+ 2яй 174 Гл. 5. Комплексные чис,тв и мноеочлены (слагаемое 2тгй — плата за неполную определенность аргумента). Итак, Нами доказана Теорема 3. Извлечение корня и-0 степени из комплексного числа г = Щсое ут+ т еш1о) всегда возможно. Все и значения корил и-й стпепени из г растюложены в вершинах правильного п-угольника, вписанного в окружностпь с центпром е нуле и радиуса фя~: 17'г = ~/Я ~сое — + т еш ), т' 1о+ 2кй, . уг+ 2яй'г (16) /с = О, 1,..., и — 1.
Следствие. Корни и-т1 стпепени из 1 выражаютсе формулой 2тгй, . 2кк Я=ее =сов — +теш (17) и и ' й = О, 1,..., и — 1. Они расположены в вершинах правильного п-угольника, вписанного в окружностпь с центром в нуле и радиуса 1. Из (16)и (17)непосредственно видно, что вещественных корней 17Гх будет нуль, один или два, а корней 72 +;„72. Я вЂ” одни или два (на рис.
21 показаны корни из 1 степени 5). г г / ! Корень и-й степени из 1 называг г етсл примитпивным (или первообразным), если он не является корнем из ! 1 никакой меньшей степени. Таковыми будут, например, 2 2тг,, 2к Е = Е1 = СО8 + т ЕШ Еь-1. Рнс. 21 и и Любой другой корень еь является степенью примитивного ь ЕЬ =Ег, что опять-таки видно из формулы Муавра. Более того, вьет = еь+г, если й + 1 брать по модулю и. В частности, ее 1 — — е„ь, ео = 1. Уже ~р+ 2тгй ~р~ и (под 17'т подразумевается арифметическое значение корня и-й степени из положительного вещественного числа). Корень 17г, стало быть, существует, но определен неоднозначно.
При й = О, 1,..., и — 1 для з' будет получено и различных значении, причем нми исчерпываются все корни, поскольку из й = пд+ т, О < т < и — 1, следует гр+ 2тп гр' = + 2яд. у 1. Поле коммлексмыз мигел искушенные в теории групп, мы замечаем, таким образом, что корми м-й степени из 1 соствавллюит циклическую группу (е) порядка м. Тем самым получена еще одна реалнзация циклической группы порядка и.
Для каждого <фь в (е) имеется ровно одна подгруппа (е"1л) порядка И. Коремь евт будеш мриюмитивмым тмогда и шолько шогда, когда (е ) = (е), мт.е. Сато(е™) = п, а зтло возможно тлолько мри ш, взаиммо мростиым с п. Например, при и = 12 примитивными корнями будут е,ег,ет,е'". В случае простого п = р все корни из единицы, отличные от 1, примитивные. С алгебраической точки зрения, без учета геометрического изображения, все примитивные корни данной степени п равноправны. Возвращаясь к вопросу об извлечении корня степени и из произвольного комплексного числа г ~ О, заметим, что если г' — какоймибудь фиксированный корень (скажем, г' = (тЯ(сог к + тгш ф)), ото все другие корми имеют вид г'еь, к = О, 1,..., м — 1.Это утверждение находится в соответствии с формулой (16).
5. Теорема единственности. Преимущество поля С перед К мы сможем оценить полностью лишь впоследствии, но уже один тот факт, что С содержит все корни из 1, оправдывает повьппенный интерес к комплексным числам. Заметим, что по построению С вЂ” двумерное векторное пространство над К (в смысле определения из п. 2 1 1 гл. 2) с базисными элементами 1, т: С = (1, т)и. Возникает естественный вопрос, насколько широко семейство полей, облгдаюпплх аналогичными свойствами. Оказывается, справедлива следующая теорема единственности поля комплексных чисел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
