1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 29
Текст из файла (страница 29)
б. Группа — это мовоид С, в котором уравнения вида ах = Ь, уа = Ь однозначно разрешимы при любых а, Ь 6 С. Доказать это утверждение. 6. Показать, что множество Аэ(Ж) так называемых аффпккмх преобразоеа»пб р»,ь: х»+ ах + Ь (а, Ь 6 И; а ф О) вещественной прямой В образует группу с законом умножения 1с»,ьр,,л = х»,, 4».ь. В группе А~(В) содержатся подгруппа СЬ|(И), оставляющая точку х = О на месте, и подгруппа "чистых сдвигов" х»+ х + Ь. 7.
Группа 31 з(2) содержит элементы А = ~~ з, В = ~~ порядков 4 н 3 соответственно. Показать, что (АВ) — бесконечная циклическая подгруппа в 31.з(2). Таким образом, произведение двух элементов конечного порядка в группе С не обязано быть элементом коыечного порядка. А как обстоит дело в абелевой группед 8. Доказать, что группа С четного порядка )С! = 2п обязательно содержит элемент д ф е порядка 2. Указакке. Рассмотреть разбиение С на пары д,д 9. Доказать, что Я» ь» ((1 2), (1 3),..., (1 и)).
19. Доказать, что Я» ж ((1 2), (1 2 3 ... и)). 11. Доказать, что знакопеременная группа А», и В 3, порождается циклами длины 3, причем на самом деле А» = ((1 23), (1 2 4), ..., (1 2п)). 12. Доказать, что Ь-я степень х" цвкла л = (1 2 ... «) О Я» является произведением 4 ж НОД(п,й) независимых циклов, каждый из которых имеет длвну д = »/4. 13. Показать,что порядок перестановки л 6 Я» ( порядок циклической подгруппы (л)) равен наименьшему общему кратному длян независимых циклов, входящих в разложение х. 14. Пусть А, В О М»(Ж) и (АВ)"' = Е для некоторого целого числа гп.
Верно ли, что (ВА)м = Еу 13. Доказать, что вепустое подмножество Н конечной (мультипликативной) группы С является подгруппой, если Н замкнуто относительно умножения. Значит, в данном случае требования существования в Н едиыичного элемента е и обратного Л э для каждого Л О Н излишыи. 16. Кзлсую систему образующих можно предложнть для мультипликативвок группы Я»., ) положительыых рациональных чисел? Указ ание. Использовать основную теорему арифметики вз $9 гл. 1.
существует лн в (»л»., ) конечная система обрззующиху 17. Доказать, что с точностью до изоморфизма существует лишь конечное число р(») групп данного порядка и. У к аз аз и е. Оценить сверху число раэличыых таблиц Кали порядка и. Формальные рассуждения с использованием теоремы 4 ограничивают р(п) числом (-) п11 »') рзэлвчвых подмножеств в Я» из и элементов. На самом деле р(п) значительно меньше, но хорошей оценки, приближаккцейся к точной, пока ве найдено.
у 3. Кольцо н пол.е 151 18. Используя упр. 10, показать, что каждая конечнал группа может быть вложена (т.е. для нее существует мономорфизм) в конечную группу с двумя образующими. 19. Попробуйте убедиться, что на диаграмме (рис. 17) изображены все подгруппы знакопеременной группы Ае Символом У4 обозначена так называемая А4 (123) (23) е Рис.
17 четеернел группа (или группе Клепке) Уе = (е,(12)(34),(13)(24),(14)(23Ц, а возле других вершвн диаграммы поставлены обрээующке цкклических подгрупп. 20. Показать, что есе группы порядка 4 абелевы и с точностью до изоморфизма исчерцываются группамп перестановок (7 ж ((1234)), Уе, пли же группамп матриц: "=Ф '!! !!-' '!! !! ' -'!! !!' '!!)"" " ь,=Ц ' е !!, !!,' ', !!, !! ' б !!,!! ' 0!!) саь,(и). Выписать в явном виде пзоморфизмы (7 -> Ьь Уе -э Ъз.
у казан не. Если хэ = е для любого элемента х Е 6, то аЬаЬ = е =ь аЬ = = Ь ~а 1 = Ь(Ь э)э(о 1)за = Ьееа = Ьо. 5 3. Кольца и поля 1. Определение и общие свойства колец. Алгебраические структуры (Е, +), (Е, ) выступали у нас в качестве самых первых примеров моноидов, причем на (Е, +) мы смотрели позднее как на аддитивную абелеву (фактически циклическую) группу. В повседневной жизни, однако, эти структуры чаще всего объединяютсп и получаетсп то, что в математике называется кольцом.
Важная компонента элементарной арифметики заключена в дистрибутивном (или распределительном) законе (а+ Ь)с = ос+ Ьс, кажущемся тривиальным только в силу приобретенной привычки. Попытавшись, например, объединить алгебраические структуры (Е, +), (Е,о), где п о пэ = и + ш + поз, мы уже не заметим столь хорошей согласованности между двумя бинарными операциями. Прежде чем переходить к дальнейшим примерам, дадим точное определение кольца. 152 Гл..(. Груипы.Кольца. Полл Определение. Пусть К вЂ” непустое множество, на котором заданы две (бинарные алгебраические) операции + (сложение) и ° (умножение), удовлетворяющие следующим условиям: К1) (К, +) — абелева группа; К2) (К, ) — полугруцпа; КЗ) операции сложения и умножения связаны дистрибутивными законами (другими словами, умножение дистрибутивно по сложению) (а+ Ь)с = ос+ Ьс, с(а+ Ь) = со+ сЬ для всех а, Ь, с Е К.
Тогда (К, +, ) называется кольцом. Структура (К,+) называется аддвшивиоб группой кольца, а (К, ) — его мультпипликатпивкоб иолугруппой. Если (К, ) — моноид, то говорят, что (К, +, ) — кольцо с единицей. Единичный элемент кольца принято обозначать обычной единицей 1. Существование 1 часто вносится в определение кольца, но мы этого делать не будем. В приложениях и в общей теории колец (а такая теория, и притом чрезвычайно развитая, существует) рассматриваются алгебраические структуры, в которых аксиома К2) либо совсем устраняется, либо заменяется другой — в зависимости от конкретной задачи.
В таких случаях говорят о кеассопвативкмя кольняя. Пока у нас будут только обычные (ассонвашивяые) кольца. Это значит, что мы можем опираться на теорему 1 из Ь 1 и не заботиться о расстановке скобок в произведении а~аз... аь любого числа й элементов кольца. Подмножество Г кольца К называется подкольцом, если х,р е Ь =ь я — д е Г, яр Е Ь, т.е. если 1 — подгруппа аддитивной группы и подполугруппа мультипликативной полугруппы кольца. Ясно, что пересечение любого семейства подколец в К является подкольцом (рассуждения те же, что и в упр.
1 нз з 2) и, стало быть, имеет смысл говорить о подкольце (Т) С К, порожденном подмножесшвом Т С К. По определению (Т) — пересечение всех тех подколец в К, которые содержат Т. Если с самого начала Т было подкольцом, то (Т) = Т. Кольцо называется кольвушашивкым, если хр = ух для всех х, д е Е К (в отличие от групп, коммутативное кольцо не принято называть абелевым). Понятие кольца в том виде, как оно введено нами, является весьма широким. Более того, класс коммутативных колец, кажущийся на первый взгляд довольно специальным, был предметом усиленного изучения в течение многих десятилетий, и в настоящее время теория коммутативных колец переплетается с алгебраической геомет- у Я.
Кольца ц поля 153 рией — красивой математической дисциплиной, пограничной между алгеброй, геометрией и топологией. Пря мер 1. (Е,+, ) — кольцо целых чцселс обычными оперзцкями сложения и умножения. Множество гпЕ целых чисел, деюпцихся на т, будет в Е подкольцом (беэ единицы при щ > 1). Аналогично, кольцами с единицей являются !л и Ж, причем естественные включения Е С ч) С Ж определяют цепочки подколец кольца Ж. Пример 2.
Свойства операций сюжения и умножении в М„(Ж), введенные и подробно изученные намк в гл. 2, позволяют утверждать, что М„(Ж) — кольцо с единкцей 1 = В. Оио называется цолкым мощрнчкым кольцом кад Ж, а также кольцом кеадраткых мащрцц порядка и (илк размера и х и) над Ж. Это один иэ самых вюкных примеров колец.
Так как прк и > 1 матрицы, как правило, неперестановочны, то М„(Ж) — некоммутативное кольцо. Оно содержит в качестве подколец кольца МкЯ) и М„(Е) квадратных матриц того же порядка над Я и над Е соответственно. Вообще, М„(Ж) насыщено всевозможными подкольцами. Время от времени некоторые кз нкх будут возникать у нас естественным образом. Заметим еще, что можно рассматривать кольцо квадратных матриц М„(К)над произвольным коммутатквным кольцом К, поскольку при сложении И уМНОжввня дВуХ Матриц А, В Е Мк(К) будЕт СНОВа ПОЛуЧатЬСя Матрмца С КО- зффицкентами из К, аэаконы дкстрибутивности в М„(К) являются следствиями аналогичных законов в К.
Все это прямо вытекает из формальных правил действий с матрицами,подытожениых в пп. 2 я 5 иэ $3 гл. 2. Пример 3. Наряду с кольцом матриц в различных разделах математики широко кспользуется также кольцо д3дкнцн6. Именно, пусть Х вЂ” произвольное множество, К вЂ” произвольное кольцо. Пусть, далее, К» = (Х -ь К)— множество всех функций (или, что то же самое, отображений) У: Х -ь К, рассматриваемое вместе с двумя бинарными операциямк — понючечноб суммой У + д и поозочечнььк пронэеедеккем Уд, определенными следующим образом: (У+ дНх) = У(х) 9 д(х), (УОКх) = У(х) О д(х) (6 и Π— операции сложенкя и умножения в К).
Это, очевидно, не та композиция (суперпозиция) функций, которая привела нас в случае линейных отображенкй к кольцу М„. Скорее мы становнмсл здесь на точку зренкя, принятую в математическом анаэиэе, когда, например, при Х = Ж, К = Ж произведением функций !б и з!п будет !б э!и: х ! !Ох э1пх, а не Фбаз!и: х ! 13(з!ох). Легко проверяется, что К» удоалетворяет всем аксиомам кольца. Так, ввиду дистрибутквности операций а К кмеем (У(х) Ед(х)] О Л(х) = У(х) ОЛ(х) 9д(х) ОЛ(х) для любых трех функций У,О,Л б К» и любого х Е Х, а зто по определенкю поточечных операций дает (У+ д)Л = УЛ+ дЛ. Справедливость второго дистрибутивного закона устанавливается аньлогично.
Если О, 1 — нулевой и единичный элементы в К, то О»:х +О, 1»:хье1 — постоянные функции, играющие роль нуля и единицы в К». В случае коммутативности К кольцо функций К» также коммутативно. Кольцо К» содержит разнообразные подкольца, определяемые специальнымк свойствами функций. Пусть, например, Х = [О, 1] — замкнутый интервал в Ж и К = Ж. Тогда кольцо Ж!о'! всех вещественных функций, опреда йнных на ]0,1], содержит в качестве подколец кольцо Жо„'р всех ограниченных функций, [о,)! Гл. 4. Группы. Кольце.
Поля 154 а 0=0.а=О. (1) Действительно, а+ 0 = а =«а(а+ 0) = аа ~ аз + а 0 = ав =ф =«а +а 0 = а +О =«а ° 0 = 0 (аналогично, 0 а = 0). Теперь, предположив на момент, что 0 = 1, мы получим а = а 1 = = а 0 = 0 для всех а Е К, т.е. К состоит только из нуля. Стало быть, в нетривиэльном кольце К всегда 0 у6 1. Далее, (-а) ° Ь = а(-Ь) = -(аЬ), (2) поскольку, например, из (1)и аксиомы дистрибутивности следует О=а О=а(Ь вЂ” Ь) =аЬ+а(-Ь) =«а(-Ь) =-(аЬ). (3) Так как — ( — а) = а, то из (2) получаем равенства (-а)( — Ь) = аЬ (например, (-1)(-1) = 1), -а = ( — 1) а.
Аксиома дистрибутивности имеет своим следствием обцтцй закон дцсптрибрптцвиосптп » «» (а +... + а»НЬ1 +... + Ь ) = ~ ~~~ 'атЬ,, (4) «=1 1=1 в чем нетрудно убедиться рассуждением по индукции сначала (при ти = 1) по и, а затем по пт. Используя теперь (1), (2) и (3), получим и(аЬ) = (иа)Ь = а(иб) для всех и Е Е и а, Ь е К. Наконец, отметим биномиальную формулу (бином Ньютона) (а + Ь)» ~~ ( ) атЬ» — 1 т=о (5) кольцо Ине»р всех непрерывных функций, кольцо Ид,',ф всех непрерывно диффе1о,п [о, 1] ренцируемых функций и т.д., поскольку все отмеченные свойства сохраняются прн сложении (вычитании) и умножении функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
