1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 27
Текст из файла (страница 27)
4 $ б гл. 1) рассмотренных Рве. 15 подгрупп группы СЬ„(Ж) вэображветсл помацйнной здесь диаграммой (рнс. 15). П рн мер 3. Позожвв в првмерах 1 в 2 и = 1, мы првддм, во-первых, к мультиплвкатлвным группам Ж* = Ж ~ (0) = СЬ|(Ж), О' = () ~ (0) = СЬ~(()) вещественных н рациональных чисел. Этн группы, очевидно, бесконечны. Так как в (Е,,1) обратимыми элементамя являются только 1 и -1, то СЬз(Х) = = (хЦ. Далее, Я з(Ж) = Я з(С) = 3Ь|(Х) = 1. Но уже при и = 2 группа 5Ьз(Х) бесконечна: ей принадлежат, например, все матрицы Отметим еще бесконечные аддвтивные группы: (Ж,+,О), (С,+,О), (Х,+,О).
Пример 4. Пусть й — произвольное множество, а 5(й) — множество всех бнектнвных (эзавмно однозначных) преобразований 1: П -+ й. Обратввшвсь к результатам 1 5 гл. 1 об отображениях множеств (теоремы 1, 2 и следствие теоремы 2), мы немедленно двшлм заключевве, что 8(й) — группа с естественной бинарной операцией, явлшощейся композвцвей преобразований. Разумеетсл, Я(й) — подмоноид всех обратимых элементов моновда М(й) нз примера 1 1 1, но зто обстоятельство мы не склонны подчеркивать. Сама по себе группа Я(й) и в особенности различные ее подгруппы, называемые группами преобразований, — стартовая площадка, с которой начинаются всевозможные применения теории групп. Достаточно упомянуть о знаменитой "Эрлангевской программе" Ф. Клейна (1872 г.), положившей понятие группы преобразований в основу классификации разлкчных типов геометрий (более подробно см.
по этому поводу (ВД и)). Взяв за й линейное пространство Ж", мы придем к "большой" в мзлообозрвмой группе 5(Жз). Но в 3(Жз) содержится подгруппа обратимых (бнективвых) линейных преобразований ыя: Ж" -+ Жз, нэходлщнхся во взавмно однозначном соответствии с невырожденнымв матрицами А порядка и (см. 1 3 гл. 2). Таким образом, получаетсл вложение СЬ„(Ж) в Я(Жз). Смысл этого вложения станет яснее, когда будет введено важное понятие изоморфизма групп. 142 Гл.
4. Гррввы. Кольцо. Полл 2. Циклические группы. Пусть Сг — мультипликативная груп- па (т.е. с операцией умножения), а — ее фиксированный элемент. Если любой элемент д й С записывается в виде д = а" для не- которого в Н Е, то говорят, что (' = (а) — цпклпческал гррвва с образующим а (или циклическая группа, порожденная элементом а).
Анавогично циклическая грушга определяется в аддитивном случае: (а) = (на ) и Н л ). Это, конечно, не означает, что все элементы а" или на попарно различны. Условимся обозначать (а 1)" = а " и убе- димся в справедливости следующего утверждения. Теорема 1. Каковы бы нп быдпгв,в б Е, г» в гв+в ( г»)в г»» (соответственно тпа+ ва = (т+ п)а, в(та) = (вт)а).
Доказательство. При неотрицательных т,в см. соотно- шения (2), (2') из п. 3 $ 1. Если гв < О, в < О, то т' = -гв > О, в'=-в>0 и а»га» (а-1)ш'(а-1)»' (ГЗ-1)гв'+»' Гз-(гв'+в') Гсг»+в При т' = -гв > О, н > 0 имеем " "- г 'ч"" = гс ';;я„эь.."..о = " »г' в Если т > в, то ав = (а г)г» "= а'"+в Аналогично рассматривается случай т > О, в < О. Равенство (а )" = а~" вытекает из предыдущего и достаточно очевидно вз определения степеней. П Простевшим примером циклической группы служит зддитнвнвл группа целых чисел (Х, +, 0), порожденная обычной едишщей 1 или 1 1 -1. Легко проверить, далее, что матраца порождает в ВЬз(Е) бесконечную циклическую подгруппу.
Множество (1,— 1) является по умножению циклической группой порядка 2. Пример циклической группы порядка в получается, еслн рассмотреть все вращеннл на плоскостн вокруг некоторой точкн О, совмещашщне с собой правнльный в-угольннк Р» с центром в точке О. Очевндно, что зтн вращения обрвзугот группу: под нх провзведеннем следует понимать последовательное выполненне преобргзованнй.
Наша группа С» содержнт вращеннл уо,гдгг...,чг» против часовой стреакн на углы О,ЬгГ'в,...,(в — 1)зя/в. Прн этом ка = гргд, а НЗ ГЕОМ»тРНЧЕСКНХ СОООРажЕННй ЯСНО, ЧтО 1ег Г» ЕГ»г ' Н ЧГ»г = ГОО (ЕДНННЧ- ное преобразование). Итак, (С»! = в н С» = (рг). Заметим, что цкклнческая группа С» является собственной подгруппой группы О» всех преобрззованнй снмметрвн в-угольннка Р» (т.е.
совмещеннй Р» с собой). Пусть снова (' — произвольная группа, а — некоторый ее элемент. Имеются две возможности. 1) Все степени элемента а различны, т.е. т Ф в =р а -,6 а". В этом случае говорят, что элемент а б сг имеет бесконечный порядок. 143 2) Имеются совпадения а = а" при т г6 и Если, например, т ) и, то а " = е, т.е. существуют положительные степени элемента а 6 С, равные единичному элементу. Пусть в — наимевыпий положительный показатель, для которого аг = е. Тогда говорят, что а — элемент конечного порядка 4. В конечной группе б (СзгдС < оо) все элементы, разумеется, будут конечного порядка.
Предостережение. Слово "порядок" вматематикемногозначно. Мы говорили раньше о квадратных матрицах порядка и (матрицах размера и х и), но невырожденная матрица А, рассматриваемы как элемент группы Сап(Е), имеет также порядок (возможно, бесконечный) в только что указанном смысле. Каждый раз будет ясно из контекста, о чем идет речь. На фоне приведенного вьппе примера циклической группы порядка и следующее утверждение почти очевидно. Теорема 2.
Порядок любого элемента а 6 0 (С вЂ” абстрактная группа) равен Саед(а). Если а — элемент конечного порядка д, |по (а) = (е,а,..., ав '), а" = е с=э Й = 1о, 1 6 Е. Доказательство. В случае элемента бесконечного порядка доказывать нечего. Если а — элемент порядка д, то по определению все элементы е,а, аг,..., ав ' различны. Любая другая степень а~ совпадает с одним из этих элементов, т.е. (а) = (е,а,...,ав ').
В самом деле, воспользовавшись алгоритмом деления в Е (п. 3 6 9 гл. 1), запишем показатель Й в виде Й=16+г, 0<с<с — 1, после чего, оперируя со степенями по правилам, изложенным в теореме 1, получим аг = (аг)'а' = еа' = а'. В частности,ав =е=ьг=О~Й=)о.
П 3. Изоморфизмы. Как уже отмечалось ранее, три вращения юо,уыуг против часовой стрелки на углы г 0',120',240' соответственно переводят правильнын треугольник )эг в себя. Но имеются еще три осевых преобразования симметрии (отраэсения) 161,фг 166 с указанными на рис. 16 осями симметрии 1-1', 2-2', 3-3'. 1 г Всем шести преобразованиям симметрии соот- Рнс. 16 ветствуют перестановки на множестве вершин треугольника. Мы 144 Гя. 4. Группьь Кольцо. Поля получаем уо е, <р1 ° (1 2 3), уэ ° (1 3 2), ф1 (2 3), бч (1 3), т~з (1 2). Так как других перестановок степени 3 нет, то можно утверждать, что группа Рэ всех преобразований симметрии правильного треугольника обнаруживает большое сходство с симметрической группой Яэ.
В том же смысле близки друг к другу циклические группы С (см. пример в п. 2) и ((1 2 ... и)) С Я„. Эти факты, а также общие размьппления о группах не могут не приводить к весьма естественному вопросу о наиболее существенных свойствах групп. На первый взгляд, полная информация содержится в таблице умножения группы С, называемой пьаблапеб Кэлум: Действителыю, многие закономерности группы можно уловить из рассмотрения ее таблицы Кали или, что то же самое, матрицы М = (т; ) (рэзмера п х п, если и = (С: е)) с элементами ш;~ = дпуу Е С. Мы замечаем, например, что среди элементов каждой строки и каждого столбца матрицы М любав элемент группы С встречается ровно один рвз (см. ниже доказательство теоремы 4). Группа С абелева тогда и только тогда, когда матрица М симметрическая, т.е. пь; = пь ч. Этот список свойств можно было бы продолжить, но все-таки сравннвать две таблицы для групп С,С' одинакового порядка довольно затруднительно, потому что вид матрицы М зависит от нумерации (расположения) элементов группы, а уж в случае бесконечных групп ситуация еще более усложняется.
Самый правильный и самый радикальный подход к различению (или, напротив, к отождествлению) групп С и С' предлагает понятие изоморфизма. Определение. Две группы С и С' с операциями * и о называются изоморфными, если существует отображение У: С -+ С' такое, что: !) Ца» Ь) = Яа) о у(Ь) для всех а, Ь е С; й) у биективно. Факт изоморфизма групп часто обозначается символически С ш С'. Отметим простейшие свойства изоморфизма. д д. Вруллы 145 1) Еданана лереходвтп в едаиану. Действительно, если е — единица группы С, то е * а = а * е = а, и, значит, у(е) о у(а) = у(а) о у(е) = = у(а), откуда следует, что у(е) = е' — единица группы С'. В этом рассуждении использованы, хотя и частично, оба свойства у.
Для 1) это очевидно, а свойство й) обеспечивает сюрьективность у, так что элементами у(д) исчерпывается вся группа С'. 2) у(а ') = у(а) '. В самом деле, согласно 1) у(а) о у(а т) = = У(а * а т) = У(е) = е' — единица в С', откуда у(а)» = у(а) т ое' = у(а) т о(у(а) ау(а т)) = = (у(а) ' о у(а)) о у(а ') = е' оу(а ') ж у(а ') 3) Обратпное отображение у' ~: С' -+ С (сущестпвующее в салу свобстпва й)) тпоже являетпся изоморфттзмом. В силу следствия теоремы 2 г 5 гл.
1 надо убедиться лишь в справедливости свойства 1) для у т. Пусть а',Ь' ч С'. Тогда ввиду биективности у имеем а' = у(а),6' = у(6) для каких-то а, Ь ч С. Поскольку у — изоморфизм, а'»6' = у(а) оу(6) = Яа»6). Отсюда имеем а»6= у ~(а'оЬт), а так как в свою очередь а = / т(а'),Ь = у т(6'), то у т(а' о Ь') = = у '(а')» У т(Ь'). Замечание. Несложная проверка показывает, что установленное нами соответствие между группами Юг и Яг является на самом деле изоморфизмом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
