1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Доказанные свойства дают возможность сравнительно просто вычислить определитель порядка и. Один из методов заключается в следующем. Матрицу А = (а;.) следует привести элементарными преобразованиями к треугольному виду (см. 3 3 гл. 1). Пусть мы получим матрицу А вида (5). Предположим, что в процессе приведения было совершено д элементарных преобразований типа (1) и какое-то количество преобразований типа (П). Так как последние не меняют определителя (свойство 137), а каждое преобразование типа (1) умножает его на -1, то с(ес А = ( — 1)е бес А. По формуле (6) мы имеем бесА = ам аж ..
авв. В таком случае с(еС А = (-1)е ам аж... авв. (7) Это и есть одна из формул для вычисления деФ А. Теперь, опираясь на формулу (7), мы установим важный факт, касающийся роли свойств Р1-03 определителя. Именно, имеет место 112 Гя. 8. Опреде напели Те ор е м а 3. Пустпь '0: Мя(И) -+ И вЂ” функция, обладающая следующими сеойстпвами: 1) при перестпановке месшами любых двух соседних строк матприцы А б Мп(И) значение Э(А) меняетп знак на проптиеопояожный; й) 0(А) яеяяетпса линейной функцией элементное каждой строки матприцы А (другими словами, 0(А) — кососимметпричсская поли- линейная функция стпрок маптрицы). Тогда '0(А) = 12(Е) деь А. Доказательство.
Как мы знаем, свойство т) эквивалентно тому, что 0(А) меняет знак на противоположный при перестановке любых двух строк, т.е. при любом элементарном преобразовании типа (1). Далее, согласно замечанию 4 0(А) обладает также свойствами 04-07. В частности, 0(А) не меняется, если строки матрицы А подвергнуть элементарному преобразованию типа (П).
Приведем матрицу А при помощи элементарных преобразований к треугольному виду (5), где, конечно, некоторые из Ан могут равняться нулю. С учетом вьппесказанного мы имеем формулы (см. (7)) с)ес А = (-1)е с)ес А = ( — 1)тамаза... а„„, '0(А) = ( — 1)т'0(А), где т) — число элементарных преобразований типа (1), совершенных при переходе от А к А. Нужное нам соотношение 72(А) = 72(Е) с)еФ А вытекает теперь непосредственно из предложения 1. П Итак, свойствами 01-03 функция с)ес характеризуется однозначно. По этой причине мы отнесли их к основным свойствам определителей.
Можно было с самого начала назвать определителем функцию Х>, обладающую свойствами 01-03, но в таком случае нужно установить ее существование. У нас существование обеспечивается самой конструкцией функции с(ес — формулой (3). Имея в виду двльненшие применения теоремы 3, мы не включили в ее формулировку нормировочное условие Р(Е) = 1. УПРАЖНЕНИЯ 1. Кососямметряческую фуккцяю сь: Еа -+ Н трах переменных сь(х,у,к) = (у — х)(к — х)(х — у) запясать в виде опредеяятехк третьего порядка. 2. пусть А = (ау), А' = (а'; ) — дае и к я-матряцы, сь, ть' — ях определи- техн.
Сравнять Ст я Ь' а случаах: а) а', = 2т"Уау, б) а'; = а„тт тд; т Р а) ат. = а„тт Ь„.т.т 1. У Я. Дальнейшие свойства определителей 3. показать, что 1 1 1 ... 1 1 1 2 1 ... 1 1 1 1 3 ... 1 1 1 1 1 ... и 1 1 1 1 ... 1 и+1 =»к 2 2. Дальнейшие свойства определителей 1. Разложение определителя по элементам столбца нли строки. Существует регулярный способ вычисления определителей, основанный на редукции к определителям меньшего порядка. При этом используются понятия минора М; и алгебраического дополнения А; (см. определение в 2 1). Теорема 1.
Пусть А = (а; ) Е Ми(К). Справедливы следующие формулы: п и с1е1А= ь (-1)'+'а;,М<; = ~~ а; А," (рвзложение определителя по элементам 1-го столбца); деФА = ~~~ ( — 1)'+'аОМО = ~ аг Аб (2) ап ... а1, ... а1„ ам ... аэу ... аэ„ бе1А = а»1 ... аи .., аии аы .. О ...
а1„ а21 ... а21 ... а2» ап ... ап ... а1„ ам .. О ... ази а»1 ... О ... аи а»1 ... О ... аии (разложение определителя по элементам 1-й строки). Кначе говоря, определитель матрицы А равен сумме произведений всех элементов некоторого столбца (некоторой строки) на их алгебраические дополнения. Д о к аз а т ел ь с т во. 1) Опираясь на основные свойства 01 и П2 определителей (сначала относительно столбцов, а затем относительно строк), выпишем цепочку равенств: Га. 8. Определитпеаи 114 ам ... О ... аг„ ам ...
О ... агв а„г ... а„ ... а„„ ам ... аг,у г О ац!+г ... аг ап ... ас1-г ау а;„..и ... аь а„г ... а„, г О а„„; ~г ... а„„ О ам ... ац, г ацг+г ... аг„ ау' ан ° ° ° а!,1-1 аа,1+1 ° ° ° а!» в=1 О а!!г ° ° ° а!!,1-г ава+г ° а!!и !! " ( — 1)О '1+О '> х а;, ап ... ас, г а;,г+г ... аск О аы ... ац ! ац +г ... аг а, цг+г ... а, ц„ а! ~.цу~-г . аг ~.ц!! х О а,гд ... а;г1г О а;~г г ... ам.ц О аа ..
а„,у г а!!,г+г ... а„„ ! ! ам а,г ... а,„ О агг А' = О аг с ам = ап, агг — — ап,..., аг„— — аам Мм = М,". Остается вспомнить, ! что по определению А," = (-1)сег Мьо Формула 11) доказана. 2) Положим 'А = (а',ч), а',; = аб. Заметим еще, что минором, соответствующим элементу а'; в сМ'А, будет М', = Мсь Как было пока- ='~ (-1)*+гаг М . !вм Последнее равенство основано нв предложении 2 1 1, примененном к матрице у й. Дальнейшие свойства опреоелителеб 115 т.е.
мы пришли и формуле (2). Можно было рассуждать проще, сославшись сразу на замечание 3 из 3 1. П Следующие двв примера служат иллюстрацией полученных нами свойств определителей. Пример 1. Определитель 1 1 ... 1 Х1 Хз ° ° Х» х2 хз ... х2 1 2 ''' « = Ь(хг,хз, . х») 23» = «-1 »-1 Хз ° ° Х» связываемый с именем Вандермонда, вычясляегся по формуле Ь» = П (хз хз) 1<1<1<» или, в более подробной ззляси, 23 =(хз — х1)(хз — хг)...(х — хгНхз — хз) .
(х« — хз)" (х — х -1) (а связи с этой формулой полезно вернуться к упр. 1 нз 1 1). В частности, при попарно различнык элементах хг,...,х» определитель Вандермонда отличен от нуля. Этим его свойством часто пользуются. По теореме 1 1 1 имеем ташке 2»-1 З .»-1 23» = 1 х» х» . х» 2 «-1 Для доказательства формулы (3) применям индукцию по п. Считая, что Лм,«1 < п, вычисляется по формуле (3) и опираясь на свойство 127, вычтем из каждой з-й строки определителя Ь» (1 — 1)-ю строку, умноженную на х11 1 0 0 Х» Х1 Х» — Х»Х1 2 Хз — Х1 Х~ - Хзяз О х«-1 »-2Х1 х» 1 — х» зх 1 1 ... 1 Хз ХЗ Х» а» = (х» х1)(х»-1 х1) ° (хз хг) »-2 »-2 «-2 Х2 Хз (х» х1)(х»-1 х1) ° ° (х2 — х1) зз(хз,хз °,х») совпадающему с (3), поскольку по предположению индукции 11(хз,,х ) = П (х — х ).
2«1<14» Напрашивается мысль разложить теперь Ь«по первому столбцу, а в получив- шемся определителе порядка и — 1 вынеств из у-го столбца (1 = 1, 2,..., и — 1) за зныс определителя общий множитель хзтг — хг (свойство Р1 для столбцов). мы придем к выражению 116 Г*. 8. Определипзели П рви ер 2. Матрица А = (ат.) вида О ом отз " от» -ом О озз .. оз» -отз -озз О оз» -от» -оз» -оз» О назывзятся косоопммзтпричеокоа (о ве опредвлнтеле тоже говорят, что он коооовммепзрвческче).
Другими словами, 'А = -А. С учетом теоремы 1 из 1 1 имЕем бвь А = ает 'А = оет(-А) = (-1)" бет А, откуда (1 Е (-1)" т) без А = О. При нечетном п получаем без А = О, т.е. определитель любой кососимметричвской матрицы печатного порядка равен нулю. 2. Определители специальных матриц. Чем больше нулей среди элементов матрицы А и»чем лучше" они расположены, тем легче вычислять определитель т)ех А. Это интуитивное представление находит в некоторых случаях точное количественное выражение. Например, мы знаем (см.
(6) иэ 2 1), что определитель треугольной матрицы (верхней или нижней) равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Другой важный частный случай содержит Теорема 2. Для определителя Р порядка и+па, у котпорого на пересечении первых и стполбнов и последних тп спзрок, сшоятп нули, имееш местпо формула аы ...
ат„ат „т1 ... а1,»+ а»1 ° ° ° а»» а»,п+1 ' ° . а»,»+тл о ... о ь ... ь О О Ьт»1 " Ьтт ь ... ь а11 ... ат» а„з ... аяп Ьтз " опт (определипзель в яевот1 части зтпого равенстпва называется квазитареугольным или определипзелем с углом нулей). Доказательство. Зафиксируем сначала п(п+ тп) элементов а,т и рассмотрим определитель Р как функцию элементов Ьы, которые образуют квадратную матрицу В порядка тп. На полученную функцию можно смотреть как на функцию матрицы В: Р = зт(В). Ясно, что полилинейность и кососимметричность определителя Р относительно последних т строк эквивалентна тем же свойствам Р(В) относительно строк матрицы В.
Значит, правомерно применить к Р(В) теорему 3 2 1, согласно которой Р(В) = Р(Ж) деФВ. По у 3. Дальнейшие свойства оиреоелителей определению функции Р имеем О11 ... О1» О1,».1.1 ° ° ° О1,»+т О„1 ... О»» а»,».ь1 ... О»,»+ 21(Е) = 0 ... 0 1 ... 0 0 ... 0 0 ... 1 Разложим с(Е) по последней строке (см. формулу (2)), затем по предпоследней и т.д. Повторив зту операцию т раз, мы убедимся в том, что 21(Е) = деФ А, где аы ° ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
