1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Первое аксиоыатическое построение. Будем считать определителем любую функцию э: м„(Й) -4 )й, обладающую следующими тремя свойствами: 1.1) Э(А) — кососимметрическая функция строк матрицы А; 1.2) Р(А) — полилинейная функция строк матрицы А; 1.3) Э(Е) = 1. Мы видели, что свойствами 1.1)-1.3) функция Р однозначно характерязуется и совпадает с функцией ЙеС, определенной формулой полного развертывания (3) 2 1. Единственное, о чем нужно позаботиться, это дать независимое доказательство факту Р( 'А) = Э(А).
Сама формула (3) 2 1, если угодно, также нуждается в выводе. 9 4. К поетпроепито тпеории опреттелитпелее 131 2. Второе аксиоматическое построение. Определителем считаем любую функцию Р: М„(Ж) -+ Й, обладающую тремя свойствами: 2.1) Р(..., ЛАтб,... ) = ЛР(..., АОП... ), т.е.
если одну вз строк А(О матрицы А умножить на Л, то значение Р(А) также умножается наЛ; 22) Р( Атб тАПР ) =Р( ~АО)+АОО тАОО ); 2.3) Р(Е) = 1. Последовательно проверяется, что: а) значение Р(А) не меняется при элементарных преобразованиях типа (П) над строками матрицы А; б) Р(А) — полилинейная функция строк матрицы А; в) Р(А) = 0 прн равенстве двух строк матрицы А и, следовательно, Р(А) — кососимметрическая функция строк. Мы вернулись, очевидно, к первому аксиоматическому простроению. Нормировочное свойство Р(Е) = 1 в обонх случаях необходимо. 3.
Построение методом полной индукции. Возьмем в качестве определителя матрицы (ам) порядка 1 число ам. Определители матриц порядков 2 и 3 вводятся соответственно формулами (2) и (8) ю г 4 гл. 1. Пусть определители матриц порядков 1, 2,..., и — 1 уже введены. Назовем определителем матрицы А = (аб) порядка п величину Р(А) = амМм — амМм + ° . + (-1)" ~атпМ„м где М; — лминорп матрицы А, соответствующий элементу ау и являющийся определителем Р(А) матрицы А порядка и — 1, которая получается ю А вычеркиванием строки с номером 1 и столбца с номером у.
Таким образом, в качестве исходного свойства берется разложение определителя по элементам первого столбца (частный случай теоремы 1 г 2). Используя индукцню по и, нужно установить свойства 1.1)-1.3) функции Р применительно к матрицам порядка и, памятуя, что для М; эти свойства выполнены.
Реалвзацвл этой программы, закрепляющей навыки в грамотном применении метода индукции, не очень сложна. С деталями можно познакомиться по учебнику "Введение в алгебру" (1977 г.). 4. Характеризация мультипликативными свойствами. Пусть мы имеем функцию Р: М„(И) ~ й, обладающую следующими свойствами: 1) Р(АВ) = Р(А)Р(В) для любых матриц А, В с Мп(Й); й) Р(Е,л) = — 1 для каждой элементарной матрицы Р,л (см. п.
6 г3 гл.2); 132 Га 8. Опредеьитпели ш) 1З(А) = Л для верхних треугольных матриц вида л 1 о Л е К. В частности, Р(Р~(Л)) = Л. Утверждается, что З = бес. В самом деле, воспользовавшись свойствамн 1) и и) в применении к матрице Р,(Л) = Р,, Р (Л) Р эь мы получим 'П(Р,(Л)) = ( — 1) Л ( — 1) = Л, причем это верно при любом Л Е Ж, а не только при Л 1Е О, когда по определению матрица Р,(Л) элементарна.
Отсюда для О О Р"+1(О) ' ' ' Р" (О) Я, О О, если г(п, имеем Согласно й~) З(Р,л(Л)) = 1 для элементарной матрицы Р, с(Л) с я ( с. Так как РалГэд(Л) ~ед = Рьл(Л Л то и 11(Рьл(Л)) = 1, а поэтому 21(~ал(Л)) = 1 при любых индексах г 11 $. Итак, Р(Р,Л) = -1 = Йеь Рея, '0(Р Л(Л)) = 1 = с1еСХ~Л(Л), Э(Р,(Л)) = Л = беС Р,(Л). Поскольку любая матрица А Е М„(И) записывается в виде А=Р( ' (Ц, г(п, где Р и Я вЂ” произведения элементарных матриц (см.
рассуждения перед теоремой 6 ~ 3 гл. 2), свойство 1) позволяет заключить, что Ю(А) = бесА. у Е. К построению пзеории опреоеяителеб 133 УПРАЖНЕНИЯ 1 (Ю. ВгоиЫп, Ро1апб). Пусть |: И -+ И вЂ” произвольная фуыкцил с условием 1(О) = О. Доказать, что существует, ы притом только одна, фуыкция с" Мз(И)-ч И, обладающая следующыми свойствами: !) если А содержит столбец пулей, то 11(А) = 0; й) если А' получается из А злемевтаримм преобразоваввем типа (П) ыад столбцами, то 11(А') = 11(А); ш) если А = 01аб(Л, 1, 1,..., 1) — дыагоыаяьыая матрица, то Э(А) = ~(Л). При 1(Л) и Л получаем Ф = де$, ыо произвол в выборе 1 полезеы в других приложеыиях.
2. Читателю предлагается вмдвиыуть и обосновать собственные варваыты аксиоматического описания функции бе1. Глава 4 ГРУППЫ. КОЛЬЦА. ПОЛЯ В предыдущих главах накопилось довольно много конкретного материала, который необходимо осмыслить с более общих позиций. С этой целью мы введем и изучим (пока на элементарном уровне), фундаментальные для всей алгебры понятия группы, кольца и поля. й 1. Множества с алгебраическими операциями 1.
Бинарные операции. Пусть Х вЂ” произвольное множество. Бинарной алгебраической операцией (или законом композиции) на Х называется произвольное (но фиксированное) отображение т: Х х м Х -+ Х декартова квадрата Х = Х х Х в Х. Таким образом, любой упорядоченной паре (а, Ь) элементов а, Ь Е Х ставится в соответствие однозначно определенный элемент г(а, Ь) того же множества Х. Иногда вместо г(а. Ь) пишут атЬ, а еще чаще бинарную операцию на Х обозначают каким-нибудь специальным символом: *, с, . или +. Последуем и мы по тому же пути, называя а Ь (или просто аЬ, без всякого значка между а и Ь) произеедеаием, а а + Ь вЂ” суммой элементов а, Ь й Х. Понятно, что эти названия в болыпинстве случаев условны. На Х может быть задано, вообще говоря, много разных операций.
Желая выделить одну из них, используют скобки: (Х, *), и говорят, что операция я определяет на Х алгебраическую структуру или что (Х, я) — алгебраическая структура (аягебргическая система). Так, например, на множестве Е целых чисел, помимо естественных операций +,. (сложения и умножения), легко указать получающиеся при помощи + (или — ) и "производные" операции: п с т = п+ т — пт, и * т = — п — т и т.д.
Мы приходим к различным алгебраическим структурам (Е, +), (Е, ), (Е, о), (Е, е). Наряду с бинарными алгебраическими операциями не лишены интереса гораздо более общие п-арные операции (унарные при и = 1, тернарные при и = 3 и т.д.), равно как и их комбинации. Связанные с ними алгебраические структуры составляют специальную теорию универсальных алгебр. Впрочем, мы упоминаем об этом только для того, чтобы лишний раз подчеркнуть принципиальную важность для математвки, казалось бы, частных разделов теории универсальных алгебр — алгебраических структур с бинарными операциями.
В направлении конструирования разных бинарных операций на множестве Х также, очевидно, открывается неограниченныи простор для фантазии. Но задача изучения произвольных алгебраических структур слишком обща, чтобы представлять реальную ценность. По 3 П Мнозсеспэеа с алвсбраическими операциями 135 этой причине ее рассматривают при различных естественных ограничениях. 2. Полугруппы и моноиды. Бинарная операция е на множестве Х называется ассониапэиеной, если (а е Ь) е с = а е (Ь * с) для всех а, Ь, с й Х; она называется коммдгпапэионой, если а*Ь= Ь*а. Те же названия присваиваются и соответствующей алгебраической структуре (Х,*).
Требования ассоциативности и коммутативности независимы. В самом деле, операция * на Е, заданная правилом и з пэ = — и — пз, очевидно, коммутативна, но (1 е 2) * 3 = (-1 — 2) е 3 = -(-1 — 2) — 3 = О ~ 4 = 1 е (2 е 3), так что условие ассоциативности не выполняется. Далее, на множестве М„(й) всех квадратных матриц порядка и > 1 определена операция умножения — ассопиативная, но некоммутативная (см.
п. 2 2 3 гл. 2). Элемент е й Х называется единичным (или нейпэральнььы) относительно рассматриваемой бинарной операции е, если е * х = х е е = х для всех х Е Х. Если е' — еще один единичный элемент, то, как следует нз определения, е' = е' е е = е. Стало быть, в алгебраической структуре (Х, е) может существовать не более одного единичного элемента. Множество Х с заданной на нем бинарной ассоциативной операцией называется полугррппой.
Полугруппу с единичным (нейтральным) элементом принято называть еще моноидом (или нояргррппой с единицей). Как и для всякого множества, мощность моноида М = (М,*) обозначается символом Сгп(М или (М(. В случае конечности числа содержащихся в нем элементов говорят о конечном моноиде М порядка (М(. Приведем несколько примеров полугрупп н моноидов. Прк мер 1. Пусть й — проызвольыое мыожество и М(й) — мыожество всех его преобразоваыый (отображеыиы й в себя). Из свойств множеств и отображеыый, отмечеыыых в 1 5 гл. 1, следует, что М(й) — моыоид.
Имеется в виду, коыечыо, тройка (М(й), о, ео) где о — естествеыыая композиция отображений, а еп — тождественное отобрыкеыие. Выделим тот частный случай, когда й — коыечыое множество ыз (й( = п элементов, обозначаемых просто натуральными числами 1,2,..., и. Каждое преобразование у: П -> П определяется укаэаыием упорлдочеыыой последовательности у(1),/(2),..., У(п), где в качестве образа у(1) может стоять любой элемеыт из й.
Не исключаютсл совпадеыия у(1) = уП) при 1 Ф у. Выбирал всевозможыые последовательыости, мы получим ровыо и" преобразований. Значит, 136 Гл. 4. Группы. Кольца. Поля )М(й)! = СагбМ(й) = и". Пусть, скажем, и = 2. Элементы е,у>д,'» моыоыда МП1, 2)) в их попарвые произведеыия полностью задави се следующими двумя таблицамы; Пепосредствевво видыо, что М((1,2)) — векоммутатввыый мовоид. П р и и е р 2. Пусть снова й — произвольыое мвожество и Р(й) — миожество всех его под мвожеств (см.
упр. 4 из 1 Ь гл. 1). Так как (А г1 В) сэ С ы А г1 (В г1 С) и (АсВ)мс = А11(В1>с), то ив Р(й) определекы две естествевыые ассоциативные бииарвые операцик. Очевидыо, что Э С А = А и А г1 й = Л. Мы имеем два коммутативвых мовоида: (Р(й), 11, И) и (Р(й), й, й). Как иэвество, (Р(й)) = 2", если (й( = и. Пример 3. (Мэ(Ж),+,О) — коммутатввыый мовоид с ыейтрэльвым элемевтом — ыулевой матрицей, а (М„(Н)> з Е) — векоммутативвый моыоид с вейтрвльвым элементом — едиыичвой матркцей Е.
Это ыепосредствевыо вытекает из свойств сэожеыия и умвожеыыв матриц, с которыми мы позвакомвлись в гл. 2. и р и и е р 4. пусть пх = (п>п)>п е е) — мжпкество целых чисел, делящихся ыа и. Ясно, что (па,+,О) — коммутатввыый моыоид, а (по,.) — коммутативвая полугруппа без едыыицы (и > 1). Пример 5.
Мыожество Ре(Н) стохастических матриц порядка п (см. упр. 4 иэ 1 3 гл. 2) явлвется мовоидом с обычной операцией умвожевия матриц. Подмножество о> полугруппы о' с операцией е называется лодполугрунпоб, если х е у 6 о' для всех х, у 6 о>. В этом случае говорят еще, что подмкохсеспэео У С о замккуэпо опзкосигпелько операции е. Если (М, е) — моноид, а подмножество М' С М не только замкнуто относительно операцни *, но и содержит единичный элемент, то М' называется подмокоидом в М. Например, (пЕ, ) — подполугруппа в (Е, ), а (пЕ, +,О) — подмоноид в (Е, +,О). Всякий подмоноид моноида М(й) называется мококдом преобразоеакый (множества П). 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
