1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Теорема 1 имеет скорее теоретическое значение. С вычислительной точки зрения, в особенности при болъших размерах матриц, для отыскания матрицы А ' удобнее пользоваться методом (Р, Я)-приведения, описанным в п. 7 гл. 2. 2. Формулы Крамера.
Выведем теперь формулы для решения системы иэ п линевных уравнении с п неизвестными, ради которых, в частности, и была первоначально развита теория определителей. Теорема 2 (Крамер). Если линейная систпема амх» +... + агох„= Ь», а„»х» +... + а„„х„= Ь„ имеетп оп»личный отп нуля определи»пель (пт.е. деФ(а»т) уФ О), тпо ее Гл.
Ю. Определитпели 124 единстпеенное решение задается формулами в хк— л =1,2,...,н аы ° .. а»к ... агв аш ° авк ° ° ° авч хо ! Ь, Аы Ам ... А„д А»з Азз ... Авз хв к 1 =А 'В=— йей А Ь„ о хч А»и Аев " Авв откуда о о ~; де»А ., 1 = — (Ь»А»к+ЬзАхк+ +Ь.А к), Й=1,2,...,п. бес А Именно такое въгрзжение в числителе мы получим, разложив определитель Рк по й-му столбцу (см. (2)).
Выполнение всех преобразований в обратном порядке показывает, что набор (Р»/с1есА,..., Р„(»(ег А) действительно является решением нашей системы. П Заметим, что формулы (3), (9) иэ й 4 гл. 1 совпадают как рвз с формулами Крамера при н = 2 и п = 3 соответственно. Удобные при небольших п формулы Крамера несут в общем чисто теоретическую функцию. Например, их применение к линейной системе из примера 2 в и. 5 й 3 гл. 1 дает (с учетом равенства »1е»А = 1) для чисел Фибоначчи выражение 1 О О О 1 О -1 -1 1 О О 1 О О 1 О О О О О О ...
-1 1 О О О О ... -1 -1 О (числитпель Рк получаетпся заменой л-го столбца в Р = де»(а» ) стполбиом свободных членов). Доказательство. По теореме 1 матрица А = (а».) обратима. Поэтому, записав нашу систему в виде АХ = В, мы, как и в п. 8 3 3 гл. 2, будем иметь 3 Я. Приееепепил опредееитпелей 125 Понятно, что оно весьма далеко от того явного выражения для у„, которое мы нашли в п. 5 з 3 гл. 2. Надо сказать еще, что необходимое для применения формул Крамера условие бес А ф 0 неустойчиво в следующем смысле.
Для реальных квадратных линейных систем с приближенно вычисленными коэффициентами увеличение точности вычислений может радикально изменить картину. Если, например, -1 10 0 ... 0 0 0 -1 10 ... 0 0 б М1е(И), 0 0 0 ... -1 10 е 0 0 ... 0 — 1 то беС А, = 1- е 10е (рззложить определитель по элементам первого столбца). При е = 10 е имеем бее А = О. В то же время, вычисляя коэффициенты матрицы всего лишь с точностью до одной миллионной, мы могли "не заметить ее (т.е. посчитать е = О, а беСАе = 1).
Таким образом, условия применимости формул Крамера чувствительны к малому "шевелению" коэффициентов системы. 3. Метод окаймляющих миноров. В 3 3 гл. 2 содержится все необходимое для описания совокупности решений прямоугольной системы линейных уравнений. Важнейшая роль в этом описании принадлежит понятию ранга матрицы. Нам осталось лишь перевести его на язык теории определителей, чтобы получить в свое распоряжение еще одни метод вычисления ранга и удобное средство для выражения факта линейной независимости системы векторов линейного пространства Й™. Итак, пусть аы .. а1„ ... а1„ о1 1 ° ° вее ° оеп — произвольная прямоугольная матрица размера еп х п с коэффициентами аб е Ж. Определение.
Элементы, стоящие на пересечении каких-то выделенных й строк н й столбцов т х и-матрицы А (й ( ш1п(гп, и)), составляют квадратную матрицу, определитель которой называется манером л-го порядка для А. Иногда говорят о миноре и('! "' ".) если еы...,ее и ум...,уе — номера выделенных строк и столбцов. 126 Г*. Ю. Определители При й = и- 1 мы приходим к ранее введенному понятию минора М;. для п х и-матрицы А. Мннор М называется окоймляюшим для М, если М получается из М вычеркиванием одной крайней строки (первой или последней) и одного крайнего столбца. Теорема (метод окаймлюощих миноров).
При вычислении ранга моп1рины А следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если для А ухсе найден минор М ф О порядка г, то требуют вычисления лишь миноры порядка с+ 1, скейт ляюшие минор М. Если все они ровны нулю, п|о гзп(с А = г. Доказательство. Рассуждение основано на простом замечания, что если все миноры й-го порядка матрицы А равны нулю, то равны нулю и все миноры более высоких порядков. Для этого согласно теореме 1 ~ 2 достаточно рассмотреть репложение любого минора порядка у+ 1 по элементам какого-нибудь столбца (например, первого илн последнего, если ограничиться рассмотрением только миноров, полученных посредством окаймления), затем перейти к минорам порядка й + 2 и т.д.
Действуя теперь по схеме, указанной в формулнровке теоремы, мы дойдем до какого-то минора М уЕ О порядка г. Без ограничения общности считаем, что М отвечает матрице, стоящей в левом верхнем углу нашей матрицы: ам ... аы а11 ... а1 а,е ... а„„ а,1 ... а„ ап ... а;„... ам ... аы аыь ° ° аеь ° ° аде ° ° ать Этого всегда можно достичь перестановкой строк и столбцов, не меняющей, как нам язвестно, ранга матрицы А. Выделим теперь в А строку А16 и столбец АОО с совершенно произвольными номерами 1, у (возможно, 1 ( г или у < г). Составим при помощи элементов из А(О и Абб минор М порядка г + 1, окаймляющий М: аы .. аь„а11 о1 ...
а„, а, ап ... аь а;. Если М ~ О, переходим к минорам, окаймляющим М. Критический момент наступит, когда все окаймляющие М миноры будут равны нулю. у 8. Лрименение определипВеееа Итак, пусть М = О при любом выборе е, у. Разлагая М по элементам последней строки, придем к соотношению ачМг+агвМг+ ° .. +а;„М, +аОМ = О с коэффициентами аы ... аке г акВ+г ... аге агд М вЂ” ( ЦВ+В+г а„г ... а„л г аВл+г ... а„„а„д не зависящими от 1. Так как М ~ О, то ау = Лгап+ Лзаз+... + Л,аее для д = 1,2,...,т соднимии теми жекоэффициентами Л, = -М,/М, 1 < е < г.
Стало быть, АОО = ЛгАОО + ЛэАОО +... + Л„А~">, т.е. любой столбец АОО является линейной комбинацией первых г столбцов. Это значит, что гзгйА < г. Но кз М ~ О вытекает линейная независимость столбцов в М и тем более — соответствующих более длинных столбцов в А. Мы приходим к заключению,что гый А = т. 0 Следствие.
Ране осокой магприны соепадает с наивысиеим порядком ее онАличныя от нуля миноров. Для следствия можно указать короткое независимое доказательство. Именно, пусть ранг матрицы А равен г. Согласно теореме 1 з 2 гл. 2 это значит, что г — максимальное число линейно независимых строк и максимальное число линейно независимых столбцов матрицы А. Обращаясь к теореме 6 З 3 гл. 2, мы замечаем, что А=В~ " )(С, где В и С вЂ” невырожденные матрицы порядков т н н соответственно, записываемые в виде произведения элементарных матриц.
Е„О Так как у матрицы " имеется отличный от нуля минор М = ~Е„~ = 1 порядка г, но нет ненулевых миноров порядка > г, и так как это свойство сохраняется при элементарных преобразованиях строк и столбцов, то мы приходим к нужному утверждению. П Метод окаймляющих миноров достаточно практичен, особенно тогда, когда мы хотим знать не только ранг, но и те столбцы иля строки матрицы А, которые составляют максимальную линейно независимую систему. При элементарных преобразованиях эта информация, конечно, утрачивается.
128 Гя. 3. Определители УПРАЖНЕНИЯ 1. Показать, что вьшоянеыы сяедующяе соотношения: ~(АВ)ч — Вчдч. (1А)ч -' (дч). рд)ч — дп-гдч. (Дч)ч (бес А)~-зд. аыхг+...+агпхп геб, ап-1,1х1 + + ап-1,пх = О ранга т = п — 1 будет состоять из одного вектора-столбца Х = [Вг,-сз,Юз,...,(-1)" гсп[, где Рг — оцределвтеяь матрацы, получающеяся кз А = (аВ) вычеркиваняем ей 1-ГО СтОЛбца.
ЛЮбОЕ РЕШЕЫВЕ СяетЕМЫ ИМЕЕТ Вяд Х ж ЛХО. 5. Пусть А = (а11 ) б Мп(И) и (и — 1)[аВ [ < [аи [ дяя всех 1 ~ у. Доказать, что бес А ~ О. У к аз ам не. Предположив противное, воспользоваться крнтеряем, сформулированным в упр. 3. Именно, если [хе1,..., хЦ вЂ” нетривиальное решеыие линейной системы АХ = О и хоь — его компонента, имеющая максимальный модуль, то нз Ь-го уравнения аььхь+ 1 аь.х = О 1'1ЗЬ следует оценка (и — 1)[оке[[Ха[и (П вЂ” 1)~~ аз Х ~ < (и — 1)[аЬЬ[[ХЬ[, 1ГГЬ дающая нужное протвворечие. 6. Доказать следующее утверждение (теорема Бине — Коиги). Пусть А = = (а11), В = (Ьь1) — матрнцм размеров п х т в т х и соответственно, я пусть С ж АВ.
Тогда ь;„ь,,, а111 аззх . аззп а1Я азЯ а ч1 аздз аззз , ° ° агдз бесС = 1<зг«...1' < и а1„1 а;„з ... аз п агг„азз„. ап;„ /т1 Суммирование в правой части проходят по всем ~ ) возможным комбннацням по и злемеытов (~1, йз,...,дп) яз 1, 2,..., т. В частностя, без С = бес А 11ес В при 1п = и н бес С = О прв и > т. Указаняе. Так как м с = ( 3), = ~г щьььу, а=1 2. Выразить гапйАч через гап(гА. 3. Доказать, что квадратная сястема яивеяыых однородных уравыеняй тогда н только тогда обладает нетрявяаяьнымн решеныямв, когда опредеяятеяь системы равен нулю.
4. Оцнраясь на результаты и. 8 $3 гя. 2 я на теорему 2, показать, что фундаментальная система решеыия однородной свстемы у 8. Приввенепия опреде вителеб 129 то многократное применение свойства В2 определятелей (теорема 2 $1) дает аййв айвз ... айй„ ат, аййв ... ат„ бес С ы Ьйввййзэ...йй » а„й, а»й ... а„й„ йы...,й„»1 где суммярованяе проводвтся по всем попарно раэлвчвым йц..., й». Пря гп < и таких индексов нет я, следовательно, бей С = О.
Если же т > п, то йц..., й„— выборка элементов (дц..., д»), взлтьщ в какомто порядке из 1, 2,..., т. Следует собрать все члены, состветствукицие фиксярованной комбвнедяя (уц...,д„), и при помощи формулы (3) $1 получить нужное вырюкение: ац, ... а»у ац„... а„й„ где».= (, '''," ). 7. Используя предыдущее упражненке, показать, что если А — вахи-матрица надЖ, т)п,то бейвАА= ~ М', м /т~ где М пробегает по всем ( ) минорам порядка и матрацы А. й,п) 8. Данному минору М( ) порядка й для п х и-матрацы А = (ац ) (см. определение в и. 3) отвечает дополнив /йй ... вй 1 тельиыб минор М ( , ' ', ) порядка п — й, матряца которого получмтсз 21 ° ° .7й из А вычеркиванием строк с номерами вы..., вй в столбцов с номерами дц..., уй.
Выражение А( 1 ° ° ° вй) ( 1)в(м)М(~й ° ° вй) е(М) ы(вй+."+1й)+(уй+" +дй), называется алгебраическин дополнением к М ( . ' '' . ). При й = и — 1 мы ~вй ... ей 1 ~уй " дй)' возвращеемсл к обычному определеияю. Используя последовательно разложение определителя по элементам строк с номерамн вц...,вй, показать, что справедлива следующая Теорема (Лаплзс).
Пусвпь е метприие А = (ау) б М»(Ж) выбраны й строк с номерами вй„,вй. Толда бесАы ~ М(. ''' .й) А(.' '' .й). в <вй «... уй <» авйв ... а„й, а»ув ........,........ ~)ь„,...ьй„„ы а|в„... а»й„( ац„... а»1„ явйй,й ...Ьй»» ж Е Ь,„... Ь,,„ Ь,'„'," ".".."",'„'„ Гл. 8. Опреде пппелн 13О Прн пронзвозьном и теорема Лапласа известна нам в двух частных случаях; 1) й = 1; 2) А — матрнца с углом нулей размера (и — й) х й. В случае неудачи полезно убедятьсл в правнльностя теоремы Лапласа хате бы пря п = 4, 41 = 1, за=2: ! Озз Озз ! ~ Оы Озз ) ! Озз Озе !+ О1З О14 ! ! ОЗ1 ОЗЗ ) + ! О13 О14 ) ! ОЗ1 ОЗЗ бесА= ) "' ОЗ1 Оы ~ Оп 9.
Пусть А б Мв(И),В б Мм(И) — невырокденные матрацы, С вЂ” произвольнал их т матраца. Используя прием блочного умнозсеннл матриц (см. упр. 17 нз 1 3 гл. 2), показать, что ()А С)! ))А1 -А'СВ 10. Показать, что если А, В, С, В Е М„(И), бес А ,-З О, то бес~), ~~=без(А — АСА 1В)=(беСА) ° без( — СА 'В). Кроме того, проверить, что ~~ А В (! 1 без(АВ-СВ), если АС=СА, С В~~~~=~Ам(ВА СВ), если АВ=ВА. 3 4. К построению теории определителей Теоремы 2 и 3 вз 2 1 дают по существу аксиоматическое описание функции с(еС, хотя начинали мы с чисто конструктнвного ее задания. Укажем еще несколько подходов к теории определителей, каждый раз ограничиваясь наброском канвы рассуждений. (Полное их проведение является хорошим упражнением.) 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
