1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 23
Текст из файла (страница 23)
а1„ О»1 ° ° ° О»» дФ О В шдеФА деФВ. А С (4) Здесь А н  — квадратные матрицы, а нулевая матрица 0 и матрица С прямоугольные. Опираясь на теорему 1 из з 1 и теорему 2 или на рассуждения, использованные в ходе доказательства теоремы 2, мы без труда устанавливаем, что деФ, = деФА деФВ. (З Иногда пытаются написать в точности такое же выражение для С А определителя деФ, хотя сразу же напрашивается простей- 0 1 ший контрпример 1 0 = — 1. Все дело в знаке. Правильный ре- зультат получается путем перестановки ст ок или столбцов, приво- С А1 В О (А С дашей матрицу В О ~ к виду С 1 или ~ О В Более простые рассуждения основаны на той же теореме 3 из 2 1, которую мы неоднократно использовали. Действительно, деФ = деФ, деФ В. С А С А Окончательно получаем Р = с (В) = деФА деФВ. П В новых обозначениях формула из теоремы 2 принимает более компактный вид 118 4 е.
У. Опредееипмаи Далее по формуле (2), примененной тп раз, находим а11 а1» ав1 ° ° ° авв 1 ... О О ... О О ... 1 О ... О ( ])(в+2)+(в+4)+...+(в+2ш) ()ет 4 щ ( Ц»»т 4)ет. А Окончательно приходим к выводу, что если А,  — квадратные матрицы порядков и и тп соответственно, то бес ~ = (-1)" десА ()есВ. С А ~ (5) Формулы (4) и (5) охватываются общей теоремой Лапласа о разложении определителей. Эта теорема, однако, употребляется сравнительно редко, и мы на ней не останавливаемся, отсылая любознательного читателя к упражнениям в конце следующего параграфа.
Исключительно важное в теоретическом плане утверждение об определителях матриц содержит Теорема 3. Пустпь А и  — квадратные матприиы порядка п. Тогда бе(АВ = де(А (1есВ. Доказательство. Согласно формулам (7) и (О) 2 3 гл. 2, выражающим коэффициенты с( матрицы (с( ) = АВ = (а;,)(Ьтт) через коэффициенты матриц А и В, 1-я строка (АВ)(1) записывается в виде (АВ)(1) = (А(1)В('), А(1)В(2),..., А(1) В(")), » А(1) В = ~~ а(е бе).
В) — ч 2=1 Фиксируем матрицу В и для любой матрицы А положим Рв(А) = бес АВ. Докажем, что функция Р = 'Ра удовлетворяет условиям 1), й) теоремы 3 из 2 1. В самом деле, поменяем А(,) и А(О местами. Так как в-я и 2-я строки матрицы АВ имеют вид (А(,)В('),..., А(,)В(")), (А(т)В(') " А(1)В(")). 9' й Дальнейшие свойства опредалителей 119 то при этом они тоже поменюотся местами и, значит, то теореме 1 Ю( " А(з) " А(4)>" ) = 23(А) = = деС АВ = 4(еС]..., (АВ)(е),..., (АВ)(4),...] = Щ... > (АВ)(4)»...
(АВ)(е)>' '] = ч>(. ' ' > А(>)»' ' ' А(е)> ). Далее, как известно, бес А — линейная функция элементов з-й строки (АВ)(4). с(еСАВ = Л А(4)В(') + Л А(4)В(2) +... + Л„А(4)В("). Поэтому Э(А) = 'У Л) ~~~ амЬа = ~~ а>в ~~~ Л Ьяй — — ~ )зяаея, а=с Я=1 1=1 а=1 где )>» = 2 1 Л) Ьа) — скаляр, не зависящий от элементов з-й строки А(4) матрицы А. Мы видим, что ь линейно зависит от элементов з-й строки матрицы А. Таким образом, выполнены оба условия теоремы 3 3 1, согласно которой ь (А) = З(Е) 11еСА. Но по определению Т)(Е) = бес ЕВ = = с)ес В.
Отсюда вытекает искомая формула. С) Непосредственная проверка теоремы 3, сравнительно легко выполнимая при и = 2, уже при и = 3 сопряжена со значительными трудностями. Однако и в общем случае можно указать обходной маневр, основанный непосредственно на свойствах Р1-1)2, а также на привлечении теорем 1 и 2 (см. упр. 3). УПРАЖНЕНИЯ 1. Целые числа 1798, 2139, 3255, 4857 делятся на 31. Без всякяк вычислений показать, что определитель четвертого порядка 1 7 9 8 2 1 3 9 3 2 5 5 4 8 б 7 также делится на 31. 2.
Показать, что любой кососимметрический определятель (е;>( четвертого порядка с оц Е Е является квадратом целого числа. 3 ам е ч а н и е. Это верно для кососимметрического определителя произвольного порядка. 3. Доказать соотношение бес АВ = бес А бес В (теорема 3) путем приведе. ння зяементарными преобразованиями типа (П) над строками вспомогательной матонпы С ~~ -А О ~~ Размеоа2п к 2пк ДУ С ~~ О АВ ~~' Указание. Воспользоваться равенством >(есС = де(С' н соотношениями (4), (5). Гл. з. Определипсели 120 Мп (Х1) йСй (х ) СЛп(йС,Х11 .;й,и ) = 84ь"„(хж) где х1,...,х, — любые переменные; 111,...,й, — натуральные числа, й1+ + Ссз +...
+ йю = и; Мь (х) — й х и-матрица вида 3 и-1 11 О 1 (п1) -з ( )х Мп( О О 0 ("-1) х— Доказать, что Дп(йз,ХСС.. ~й ь,кщ) = П (Х -Хз) , Ь1З. 141<1<п, Указание. При й1 =... = йю = 1, т.е. пркго = и, получается определитель Вандермонда. б. Показать, что Вп(з, С) = (б+и — 1) (3+и — 1) (3+и — 1) (и+ 3 — 1) (и+ 3 — 2) (и+ я - С) (и+С вЂ” 1) (и+С вЂ” 2) (п) Указание.
Вынести последовательно я + й — 1 из й-й строки при й = ж 1,2,...,п, а затем 1/(С + С вЂ” 1) вз С-го столбца при С ю 1,2,...,п. Действовать так до тех пор, пока в первом столбце не будут стоять только 1. 6. Пусть Л1 1 0 -1 Лз 1 0 0 0 0 О 0 Сп(Л1,",Лп) = О О О ° ° Лп-3 1 О О О 0 ... -1 Лп 1 1 О 0 О ... 0 -1 Лп То же доказательство провести, основываясь на упр.
17, 18 из 3 3 гл. 2 и на Е А замечании, что ~~ ~~ — верхняя унитреугольная матрица, 4 (Захаров В.И. — Тула, 1984). В задачах по моделнрованяю случайных ста.- ционарных процессов возникают определители вида У Я. Применения опреоеднпзедеб 121 Показать, что бес С» = Л бес С» г+бес С» з. Пря Лз = Лз =... = Л» ы 1 паата численное значение бес С». Указание. Вспомнить пример 3 из и. 3 $3 га. 2 и обратить внимание на тот факт, что бес С»(1,..., 1) = (-1)» без С»(-1,..., -1). Т.
Показать, что опредезятезь и х и-матрицы 2 -1 О О ... О О О -1 2 -1 О ... О О О О -1 2 -1 ... О О О А» = О О О О ... -1 2 -1 О О О О ... О -1 2 равен и+1. а. Пусть А,  — любые квадратные матряцы порядка и. Показать, что 1~~ В А ~~ бм(А+В) бе(А-В). 9.
Пусть Х вЂ” матрица размера и х й, а У вЂ” размера и х и. Доказать, что бес(Е» + ХУ) = бес(Еь + УХ). Указание. Использовать соотношение х е. (( (( О е» (( (! О е. (( (( х е. + х1 (( 3 3. Применения определителей 1. Критерий невырожденности матрицы. По теореме 5 иэ 3 3 гл. 2 условие невырожденности матрицы А к М»()й) (т.е. равенство гап)с А = и) эквивалентно ее обратимости. Применяя теорему 3 иэ 3 2 к соотношению АА 1 = А 1А = Е, мы получаем, что беСА деС(А 1) = 1. Стало быть, определнпзель невырожденноб мапзрицы ошлнчен опз нуля н с)еС(А 1) = (деСА) '.
Наряду с матрицей А рассмотрим ее прнсоеднненную (или вэанмную) матрицу Ам ... А„1 Ах 41» " А»» Чтобы получить А~, надо поставить на место каждого элемента ае матрицы А его алгебраическое дополнение А; (з,у = 1,...,и), а затем перейти к трвнспонированной матрице. 122 Гл. 8. Определители Теорема 1. Матрипа А б М»()я) невмрожденна (обратима) тогда и только тогда, когда бесА 1Е О. Если беьА ~ О, то А ' = (бесА) 'А" или, в более подробной записи, Ам А» аесА ''' йейА ам ...
а»ь аь» ... а»» Аь» А»ь аесА ''' йеФА Доказательству теоремы предпошлем лемму. Лемма. Пусть А к М„()а). Имеют место соотношение апАо + авА э +... + ае»А = 6; беь А, (1) аы ащ ... а~„ ап а~г .. аь» А = [АОО А»р" АОО " А(»)] = ап аа ... а;» а„ь а»г ... а»» получающуюся из А = [..., А1О,..., А(у),...
[ заменой у-й строки на 1-ю (1-я строка остается на месте). Как и у всякой другой квадратной матрицы с двумя одинаковыми строками, бес А' = О. С другой стороны, алгебраическое дополнение А'.» (й = 1,..., и) образуется путем зачеркивания у-й строки А[И = АОО и й-го столбца определителя, так что А'„= А д. Формальное разложение определителя матрицы А' = (а'„) по 1-й строке даст нам соотношение » » О = с)ее А' = ~~~ а'ьА и = ~ а<ьАуь, ь=г ь=ь совпадающее с соотношением (1) в формулировке леммы. Второе соотношение получается из аналогичных соображений, относящихся к олбцз . а амА»+ее<Аз +... +а»,А»1 = 6, бесА, (2) где 6» — символ Кронекера (при 1 ~ у говорят о разложении определителя беьА по чужоб строке или соответственно по чужому столбцу).
Доказательство. Приз = у утверждение леммы совпадает с теоремой 1 иэ з 2. Поэтому остается рассмотреть случай ь';Е у, когда б» = О. С этой целью введем матрицу у 8. Применения определитпглей 123 Обращаясь к доказательству теоремы, мы просто замечаем, что левая часть соотношения (1) есть не что иное, как элемент с»» матрицы С = ААч.
Ам ... Аш аы .. аш с»» ... с » Аго " Аои а»„... апп с»о ° ° ° сои Согласно соотношению (1) (с,") = (б» деФ А) = (деФ А)Е. Таким образом, ААч (деФ А)Е откуда при деФ А ~ О получаем (деФА)»(ААч) = А(деФА) »Ач = Е Левая часть соотношеннл (2) является выражением элемента с'» матрицы С' = А" А. Так как правые части в (1) и (2) совпадают, то в случае деФ А 1~ О мы првходим к соотношениям А(деФА)-»Ач (деФА)-»АчА Е означающим, что А т = (деФ А) 'А". П Следствие. Определитпель раеен нулю тпогда и тполько птогда, когда его стпроки (и стполбиы) линейно зависимы. Доказательство.
Линейная зависимость строк (или столбцов) матрицы А й М„(Ж) эквивалентна неравенству тап»» А < п, т.е. вырожденности матрицы А, что по теореме 1 равносильно условию деФ А = О. С) Замечание. Импликацвя тап)»А < и =ь деФА = О является, конечно, непосредственным следствием основных свойств определителей (см. Р2, Рб в Ф 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
