1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Теорема 5. Матрица А й М„(К) обратима гаогда и только гпогда, когда она нгвырожденна. Доказательство. 1) Если АВ = Е (или ВА = Е), то по теореме 3 имеем и = гап1с Е = гап1с АВ < ппп (гый А, гийВ) < п, откуда гап1с А = п. 2) Если гап1с А = п, то (Е(1) ЕС»)) «мьи (АОО А(и)) и, стало быть, (15) ° =1 причем коэффициенты ас, составляющие матрицу А' = (а'," ) й М„(Е), определены однозначно. Согласно п. 1 з 2 (см. там уравнения (1) и (2)) соотношения (15) переписываются в виде Гл.
л. Матрицы откуда Е = (ЕП1,..., Е("1) = (ААА 1,..., АА'(и)) = АА'. Здесь мы интерпретировали матрицы Е и АА' как объединения отвечагощих им столбцов. Заметим теперь (см. п. 3), что вместе с А невырожденной является и транспонированная матрица 'А. Позтому в силу доказанного найдется матрица В такая, что гА В = Е.
Снова обращаясь к п. 3 и полагая А" = 'В, находим Е = гЕ = '(гАВ) = сВг(гА) = АоА Итак, АА' = Е = АоА. Остается заметить (см. (13)), что А" = А', а позтому в соответствии с (14) А' = А ', т.е. матрица А обратима. П Следствие 1. Если В и С вЂ” невырожденные квадратные матрицы порядков т и и соответственно, а А — произвольнал т х п-магприца, то гап1с ВАС = гый А. Доказательство.
В силу теорем 3 и 5 имеем гап)сВАС ( гап1гВА = гап)гВА(СС г) = = гап1г(ВАС)С ' < гапяВАС, откуда гап)г ВАС = гап1с ВА. Аналогично устанавливается равенство гап)гВА = гап1гА. П Следствие 2. Если А,В е М„(И) и АВ = Е или ВА = Е, то В=А '. Доказательство. Как показано в части 1) доказательства теоремы 5, АВ = Е ~ гыйА = и, т.е. А невырожденна и, следовательно, обратима. П Следствие 3.
Если А,В,...,С,Р— невырожденные п х имагприцы, то произведение АВ... СР гпакже невырожденно и (АВ...СР) ' = Р 'С '...В 'А '. Д о к а з а т ел ь с т в о. Невырожденность матрицы С = АВ... С Р видна из следствия 1, а равенство С ' = Р 'С '... В г А ' проверяется непосредственно: С(Р 'С '...В 'А ') = АВ...С(РР ')С ' ...В 'А ' = = АВ... (СС ')... В 'А ' =... = Е. П у о. Линейные отобраисения.
Действия с матрицами В9 а1 ... О А = гдвя(ам..., а ) = О ... а» то, очевидно, а»' ... О 1 Аы = сава(аыг,..., а~~) = О ... а„ Пример 2. Пусть Тогда индукпия по т покввыввет, что а"' — Ь'" с а — Ь аы Аы Ь»1 где ы Ьы аы- + а»1- Ь+ + аЬы- + Ьыа — Ь В частности, при а = Ь имеем аы та'" гс О аы Удобный способ вычисления обратной матрицы, обычно используемый на практике, будет приведен в п. 7. Одновременно получится еще одно доказательство теоремы 5.
Явную формулу для А 1 мы укажем в гл. 3. Сейчас лишь заметим, что фактическое вычисление А 1 для матрицы А с числовыми коэффициентами или вычисление произведения двух матриц обычно требует выполнения большого числа операций. На практике встречаются матрицы порядка п = 100 и более. Если А и  — две такие матрицы, то для вычисления С = АВ нужно найти пе элементов с, по формуле (7) (или (9)), что в каждом случае требует 2п — 1 умножений и сложений чисел. Всего нужно произвести (2п — 1)пэ операций,т.е. около двух миллионов операций при п = 100. Для современных ЭВМ это — сравнительно легкая задача, но реальные трудности возникнут, если потребуется найти степень Ат матрицы А с показателем т > 1000.
Здесь по определению А = ААт "; фактически Ат = АЬАг» ", 0 < й < т, — легкое следствие ассоциативности (см. следствие теоремы 2), как это будет показано в гл. 4 в более общем контексте. Для вычисления А используют разные дополнительные приемы, либо основанные на специфике матрицы А, либо заимствованные из курса линейной алгебры. В качестве иллюстрации рассмотрим три примера. Пример 1. Если 90 Гл. й. Мотврнцы Пример 3. Иидукцией по пз нетрудно убеднться в том, что пз-я степень матрицы имеет вид (16) Гдв ЦЕЛЫЕ ЧКСЛа уе ж О, 11 = 1, ув ж 1, /З = 2,...
ОПрЕдЕЛяЮтСя рЕКуррвитНЫМ соотношением Ьл+1 = Ьв+Ут-1 Это не что иное, как числа Фнбоначчи (см. пример 2 в конце З 3 гл. 1). Введем матрицу - ч'5л1 ч'5 с определителем 1 (см. 3 4 гл. 1), где Небольшое вычисление показывает, что А=В-' !! ",О !! В. В 1— Лйз яз 5 Но если три произвольные п х и-матркцы А,В,С, из коих В невырожденная, связаны соотношением А м В 1СВ, то А =В 1СВ В 'СВ.В 1СВ ....В 'СВжВ 1С"'В (внутренние множители ВВ 1, заменйнные на Е, сократились). В нашем случае с учетом примера 1 и соотношеяял (16) имеем ,УОА1 лз 5 5 ДДП1 -ЯД1,/5 (звездочками отмечены не интересуюшие нвс члены). 1+Я Л1 = —, 2 =В-'!! „О !!В= д п11 5 йз 1 5 5 1 — ~/5 Лг =— 2 чб 1 5 йз 1 5 5 1 (дпВ д и) пп Ф 9 8.
Линейные опвобраисекия. Действия с мавприиами 91 Сравнивая коэффициенты матриц в левон и правой частях этого равенства, получаем для числа Фвбоначчи с номером»п значение Дв -Дэ 1 1+Я 1 †»lб Мы видим, что Уш -» Д~~' при больших пв (геометрнческал прогрессия), поч»'б /1- Л'1 скольку 11пь,.чвв = О. 2 6.
Классы эквивалентных матриц. Как и при доказательстве теоремы 4, обозначим черве Е,» матрицу размера гп х гп, в которой на пересечении в-й строки и с-го столбца стоит 1, а все остальные элементы нулевые (такие матрицы называются иногда мппьричкмми единицами). Рассмотрим в М (11) так называемые элемскгперкме мопьриим следующих типов: Рвд = Е Евв Еее+Евг+Егв = еФ1; (1) 1 0 Ев,в = Е+ ХЕвь ш Е,р) эхЕ+(Л-цЕ„ша К(1,...,1,Л,1,...,1), Лба. (П1) Пусть А — произвольная гп х и-матрица. Тогда непосредственно проверяется, что матрица А' = ЕА получается из А посредством элементарного преобразования (э.п.) над строками типа (1) нлн (П) в зависимости от того, будет Е = Е,е или Е = Евв(д).
В случае Г = Е,(д) будем говорить об э.п. типа (П1) (умножение я-й строки А1,1 на д). Аналогично, матрица Ан = АЕ получается из А посредством э.п. столбцов. Мы уже знаем из п. 2 2 2 и из упр. 2 из 2 2, что э.п. типов (1) и (П), соверщаемыми над строками и столбцами, А приводится к матрице с диагональной невырожденной подматрицей Гл. Я. Матиравы 92 в левом верхнем углу размера г х г, где г = гапк А (при г = О матрица А нулевая). Так как аэ аз 0 0 'О 0 О 0 = Р~(а~)Рз(аз)... Р„(а„) то привлечение э.п. типа (1П) дает возможность получить из А мат- ! рицу вида (17) (здесь ń— единичная матрица в М„(К); нули обозначают матрицы размеров г х (п — г), (гл — г) х г и (тп — г) х (п — г)). Таким образом, РьРь-э" Р~МАэ Е, О (18) где Р„(соответственно ф) — элементарные матрицы порядка т (соответственно п).
Не раз отмечалось,что элементарные операции обратимы. Это согласуется с существованием обратных матриц (Р, ) =Р... Ркл(Л) ' =Р,, (-Л), Р,(Л) ' = Р,(Л '). В соответствии со следствием 3 теоремы 5 матрицы Р = Рь Р» с... Рд и (~ = Я~Яэ... ф тоже обратимы: р-1 р — 1 р — 1 р-1 д 1 д — 1 ~) 1д 1 Заметим, что Р, Д вЂ” элементарные матрицы.
Две матрицы А, В размера ш х и назовем экеивалеишкыма и за- пишем А В, если найдутся невырожденные матрицы порядков ш и и соответственно такие, что В = РАЯ. Как легко понять, является отношением эквивалентности: 1) А А (Р = Е~, Я = Е„); 9 Ю. Линеаные отображения Деаствив с матрицами 93 й) А В=эВ А,посколькуВ=РАЯ~А=Р 'Во ш1) В = Р Ао.', С = РоВЦо =~ С = РАЯ, где Р = РоР', О. = Я)Яи Согласно общим принципам (см. з 6 гл. 1) множество всех т х и-матриц разбивается по отношению - на непересекающиеся классы эквивалентных матриц. Так как ранги эквивалентных матриц равны (см. следствие 1 теоремы 5), то рассуждение, приведшее нас к равенству (18), показывает, что в качестве представителей классов можно брать матрицы (17).
Мы получаем следующее утверждение. Теорема 6. Множество матриц размера т хи разбивается на р = ппп(т,п) + 1 классов эквивалентности. Все матрицы ранга г попадают в один класс с представителем (17). Следствие. Всякая невырожденная и х п-матрица записывается в виде произведения элементарных матриц. Действительно, все невырожденные матрицы порядка и попадают в один класс с представителем — единичной матрицей, поскольку их ранги равны и. Соотношение (18) РьРь с...
Р~АЯЯг... ф = Е, переписанное в виде 4=Р ' "Ре' Рь 'Х'" ~г'Я~' (19) дает нужное утверждение. П Не утверждается, что запись А в виде произведения элементарных матриц единственна, но сам факт существования такой записи весьма полезен. В частности, его можно использовать для отыскания обратной матрицы.
В самом деле, нз (19) мы находим А ~ = Я~ Яг... Я~РеРе ~ ... Р~ = ОР. 7. Вычисление обратной матрицы. Если в рассуждениях предыдущего пункта ограничиться преобразованиями над строками и рассмотреть с самого начала расширенную матрицу (А~Е) размера и х 2п, то в случае невырожденной матрицы А 6 М„()й) возникнет цепочка (А(Е) — '+ (Р~А)Р~Е) — ~ .. ... — + (Р» ..РгРеА)Ре РгР1Е) = (Е)А ). Она оборвется на й-м шаге, когда в левой половине расширенной матрицы место А заполнит единичная матрица Е.
В правой половине при этом получится однозначный ответ: А' = А ~. В случае вырожденной матрицы А процесс оборвется, возможно, раньше— приведением А к ступенчатому виду и вычислением ранга г = сапе А. 94 Га. й. Маеирияы В матричной реализации, с которой начинался п. б, при и = 3 имеем 1 — 3 О О 1 О О О 1 1 О О О 1 О О 4 1 Р1д(-3) = Рзд(4) = О О 1 О 1 О 1 О О Пример 4. Пусть Ам 1 1 -1 Имеем О -'4 О г О 1 О О -11О 1 О1 О г О~1 О О ~ 'М' О -1 1 ~ О -г О -11-1!г 1 О ц 1!г О О *-4" -1 1 О -2 1 О г О~1 (А/Е) = 1 1 -1 О г 1 -1~О иез1-е1 1 О О -И 1 -+ О О О О О О 1 О 1! 2 О О О О 1 1!г -г Реально элементарные и х п-матрицы Ре слева не приписываются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
