1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 14
Текст из файла (страница 14)
2. Основные определения. Пусть л — какое-то фиксированное натуральное число. Вектлорным лростлранстлвом строк длнны и над К нэзываетсл множество Й" (его элементами являются вектлорыстлрокн или просто вектлоры), рассматриваемое вместе с операциями сложения векторов и умножения их на скаллры — вещественные числа. Скаляры обозначаются строчными буквами латинского или греческого алфавита, а векторы — заглавными латинскими буквами, как матрицы. По существу на вектор Х = (хт, хт,..., х„) можно смотреть как на 1 хи-матрицу. Пусть т' = (ут, уз,..., у„) — еще один вектор, Л вЂ” скаляр.
По определению Х+У = (хт+ут,хе+уз,...,х„+у„), ЛХ = (Лхт, Лхз,..., Ь„). Нулевой вектор (О, О,..., О) обозначается в дальнейшем обычным символом нуля О. Далее, мт принято отождествлять с В. Формальные правила действий с вещественными числами, безусловно, известные читателю, переносятся на и". Их перечисление, хотя и скучное, дает точное представление о том, что следует понимать под абсшрактлнмм вектлорнмм лростлранслтвом, которое изучается в более позднем курсе линейной алгебры и геометрии: ВПр Х + У = У + Х для любых векторов Х,У 6 й" (закон коммутлатлнвкостлн); ВПэ (Х+У)+Я = Х+(У+В) для любых трех векторов Х, У Я 6 6 й" (эакон ассоннатлнвносктн); ВПз.
существует специальный (нулевой) вектор О такой, что Х + + О = Х для всех Х 6 В"; ВПл каждому Х 6 й" отвечает противоположный (или обратный) вектор — Х такой, что Х+ (-Х) = О; ВПй 1Х = Х для всех Х 6 й"; ВПв. (тттт)Х = а(ттХ) для всех тт, Д 6 и, Х 6 й"; ВПк (тт + Д) Х = аХ + ДХ; ВПэ а(Х + У) = аХ + аУ. Единственность векторов О и — Х, о которых говорится в ВПз и ВПв, равно как и другие простые следствия из указанных правил (или аксиом, если имеетсл в выду абстрактное векторное пространство), мы не будем выводить, считая их достаточно прозрачными. Происхождение термина "векторное (или еще линейное) пространство" разъясняется в курсе аналитической геометрии (читаемом также в первом семестре), где устанавливается взаимно однозначное у 1. Вентпорные прострекотав стпрон и стполбиое 67 соответствие между точками (векторами) пространства — декартовой плоскости — и их координатами (х, у).
Сложению векторов по правилу параллелограмма и умноженюо их на число соответствуют как рез действия с векторами-строками в йз. Наряду с векторным пространством строк длины н рассматривается также векторное пространство столбцов высоты и х» ха = [хм хм,х„], как мы их условились обозначать в 3 3 гл.
1. Понятно, что различие между пространствами строк и столбцов чисто условное, но мы вскоре убедимся, что полезно иметь оба варианта пространства. Из контекста обычно ясно, о каках векторах, столбцах или строках идет речь, поэтому ннкакнх специапьных обозначений не вводится. 3. Линейные комбинации. Лииеиивя оболочка. Пусть Хм Хз,..., Х» — векторы пространства И" и ам аю..., ໠— скаляры. Вектор Х = а»Х» + а»Х» +... + а»Х» называется линейной комбиноиией векторов Х; с коэффнциентами а;. Например, (2, 3, 5, 5) — 3(1, 1, 1, 1) + 2(1, О, -1, -1) = (1, О, О, О).
Пусть, далее, У = ДХ» + ВзХз + ... + В»Х» — линейная комбинация тех же векторов Х; с коэффициентами Д, а а, Ф Е Й. Тогда аХ+)тУ = = а(а»Х1 + а»Х»+... +а»Х») +Яд»Х» +)ЗрХ»+... + Д»Х») = = (аа» + Яд)Х» + (ааз + Я3») Хз +... + (аа» + дЦ) Х» — снова линейная комбинация векторов Х; с коэффициентами аа; + РД. Мы видим, что множестпво У всех линейных комбиноиий донной системы вектпоров Хм Хз,..., Х» обладаетп свойством Х, У е У =ь аХ + ДУ е У (1) длл всех а,13 Е И. В частности, нулевой вектор всегда содержится в У. Обычно У обозначают символом (Х»,Х»,...,Х») и называют линейной оболочкой (или просто оболочкой) системы векторов Хы Х»,...,Х».
Говорят отце, что оболочка (ХмХ»,...,Х») натянуто но ХыХ»,...Х» или порождена векторами ХыХ»,...,Х». Можно определить линейную оболочку любого подмножества Я С С Й", понимая под (В) совокупность всех линейных комбннаций конечных систем векторов из о'. Ясно, что если У вЂ” линейная оболочка в И", то (У) = У: любая линейная комбинация векторов Гл. й Мапзрииы 68 ю У принадлежит У.
В частности, Я С У =р (Я) С У, т.е. линей- ную оболочку (Я) можно определить как пересечение всех оболочек, содержащнх данное множество Я векторов ю Й": (Е)в» ПУ (2) яср На первый взгляд не очевидно, что стоящее в правой части (2) пересечение > >У какого-то множества оболочек будет лннейной оболочкой.
Но если Х, У 6 йУ, то Х, У 6 У для каждой оболочки У, входящей в множество. Значит, аХ+)уу 6 У для всех сс, Д Н й, а зто н дает нужное включение аХ + >3У 6 ПУ. Напротив, объединение У 0 У оболочек У н У, вообще говоря, не является оболочкой, как показывает хотя бы пример У = ((Л,О) ( Л 6 йЦ, У = ((О, Л) ! Л 6 ЙЦ в )йз Рассмотрим два общих примера Пример 1, Пусть П „ж ((Л>,..., Лм, О,..., О) ) Л; Е ИЦ С й", Ърв = ЦО,...,О,Лмт> °,Л»)! \а б й) С й 0 < с» <». Непосредственно проверяется, что П~», Ум — линейные оболочки, причем ((>м, У„) м й" и (>м >> У„ = (О). Пример 2. В пространстве й» рассмотрим так называемые единичные век»зори-строки 4.
Лннейная зависимость. Система векторов Х1,..., Х» пространства й» называется линейно эависимой, если найдутся й чисел с»1,..., а», одновременно не равных нулю н таких, что а>Х> + азХ» +... + а»Х» = О (4) (справа стоит нулевой вектор). Будем говорить также, что линейная зависимость (4) нетривиальна. Если же а>Х> + с»2Х2 +... + а»Х» = = О =р а> = аз — — ...а» = О, то векторы Х>, Хз,..., Х» называются линейно независимыми. Пример 2 в и. 3 показывает, что единичные векторы Е(П, Е(з>,... ..., Е(») линейно независимы. Один вектор Х з» О, очевидно, всегда линейно независим, поскольку (ЛХ = О, Х ~ 0) =р Л = О.
Далее, свойство системы Х1,...,Х» быть линейно незавнснмой никак не Е>ц — — (1,0,...,0), Е>з> =(0,1,...,0), ..., Е1»> =(0,0,...,1). (3) Каждый вектор Х = (хм хе,...,х») однозначно записывается в виде Х = х>Е1>>+ + хзЕОО+...
+ х»ЕО,>, Поэтому й" =(ЕО> Е(з> Е1»>) Единичные ее»взоры-с»колбин будем обозначать симвояами ЕП>=(1 0 0) Е(~>=(0 1 01 . Е(~>м(0 0 ° . 1) (3) Э 1. Вектпормые пространства строк и стполбаое 69 связано с порядком векторов, так как слагаемые а»Х» в равенстве (4) могут быть переставлены произвольным образом. Теорема 1. Имеют место следрюа»ие утверждения: 1) систпема вектпоров 1Хы...,Х») с линейно зависимоб подсистемой сама линейно зависима; й) любая часть линейно независимой систпемы вектпоров 1Хы... ..., Х») линейно независима; ш) среди линейно зависимых вектпорое Хы...,Х» хотя бы один являептся линейной комбинааиеб остпальных; 1ч) если один из вектпорое Хы..., Х» выражается через остальньте, тпо вектпоры Хы...,Х» линейно зависимы; ч) если вектпоры Хт,...,Х» лимебно независамы, а Хы...,Х»,Х линейно зависамы, тпо Х вЂ” линеймая комбинаиия вектпоров Хт,...
..., Х»; ч1) если векторы Хы..., Х» линейно независимы и вектпор Х».ьт нельзя через них выразить, то систпема Хы...,Х»,Х»+т линейно независима. Доказательство. 1) Пусть, например, первые е векторов Хы..., Х„е ( й, линейно зависимы, т.е. а»Х»+... +о,Х, =О, где не все ат равны нулю. Положив тогда а,+т — — ... — — о» = О, получим нетривиальную линейную зависимость о»Х» +... + а,Х, + а,+»Хт+т +...
+ о»Х» = О. Утверждение й) непосредственно следует из 1) (рассуждение от противного). ш) Пусть, например, а» ф О в соотношении (4). Тогда от ст»-т Х»=- — Х,—...— =Х,. о» а» 1ч) Пусть, например, Х» = Д»Хт +... +~3» »Х» т. Положив о» вЂ”вЂ” = А о»-» = 1т» ы ст» = — 1, придем к соотношению (4) с коэффициентом а» 1» О.
ч) Нетривиальное соотношение АХ +... + 11»Х» + РХ = О с Д ф О дает в силу ш) то, что нужно. Если, однако, Д = О, то Д =... = 11» = О, поскольку Хы..., Х» по условию линейно независимы. Утверждение ч1) непосредственно следует из ч). П 5. Базис. Размерность. Дадим теперь важное Определение. Пусть 1т — ненулевая линейная оболочка в К". Система векторов Хы..., Х„й )т называется базисом для 1т (или 7О Гл. Й. Моотрииы в У), если она линейно независима и ее линейная оболочка совпадает с У: (Х,...,Х„) = К Из определений бвзиса и линейной оболочки системы векторов следует, что каждый вектор Х б У записывается единственным образом в виде Х = атХт +...
+ а,Х„. Коэффициенты ат,..., а, Е Ж называются координатами вектора Х относительно базиса Хт,...,Х„. Как мы уже видели, линейно независимые единичные векторы (3) порождают Н". Стало быть, (Е(т), Е(г),..., Е(„) ) — базис пространства )й". Но этот так называемыи сатандарнгньтй базис — далеко не единственный базис в Н". Например, векторы Е((т) = Е(т) Е(г) = Е(ц + Е(г) Е(г) = Е(т) + Е(г) + Е(г) .. Е(„) = Е(т) + Е(г) + + Е(п) тоже составляют базис пространства Ж" (проверьте это аккуратно). С другой стороны, пока не ясно, каждая ли линейная оболочка в Н" обладает базисом, а если да, то будет ли количество базисных векторов постоянным.
Ответы на оба вопроса оказываются положительными. Наши рассуждения будут основаны на следующей лемме. Л е м м а. Пустпь У вЂ” линейнал оболочка в )й" с базисом Хт,..., Х„ и Ут, 1г, ..., У, — линейно неэависимал систаеиа вектлоров из У. Тогда в < г. Доказательство. КакивсевекторыизУ, Ут,...,У,являются линейными комбинациями базисных векторов. Пусть Ут = аыХт+огтХг+" +аттХ~, Уг = атгХт+аггХг+...
+ а„гХ„, У, = аыХт + аг,Хг +... + а„Х„, где ат — какие-то скаяяры (являясь координатами векторов 1', они однозначно определены, но это пока несущественно для нас). Рассуждаем от противного. Предположим, что в > г. Составим линейную комбинацию векторов Ут, с коэффициентами хт". хт Ут +... + х, Ут = = (амхт+атгхг+ ..+ат,х,)Хт+...+(а„тхт+а,.гхг+...+а„,х,)Х„. и рассмотрим систему из г линейных уравнений с в неизвестными аыхт + атгхг +... + аых, = О, а,.тхт + а,гхг+... + а„,х, = О. Так как по предположению в > г, то применимо следствие 2 г 3 гл.
1, согласно которому наша система обладает ненулевым решением у 1. Вектпорные простпронстпео стирок и столбцов 71 (хо„..., хо). Мы приходим к нетривиальной линейной зависимости х, Ут + хэ1'э + .. + х, У, = О, наличие которой, однако, противоречит условию леммы. Значит, в((г. П Те о рема 2. Козодоя ненулевая линебная оболочка У С Ж" обладаетп конечным базисом, Все базисы оболочки У состполтп иэ одинакового числа г < п вектпоров (этно число наэываетпсл размерностпью оболочки У и обозначаетпся дппн У или простпо дпп У). Доказательство. В соответствии с условием У содержит хотя бы один ненулевой вектор Хт (строку или столбец). Пусть мы нашли в У линейно независимую систему векторов Хы..., Х».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
